Theorem assarrginv 33681

Description: If an element 𝑋 of an associative algebra 𝐴 over a division ring 𝐾 is regular, then it is a unit. Proposition 2. in Chapter 5. of [BourbakiAlg2] p. 113. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assarrginv.1	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝐴)
assarrginv.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
assarrginv.3	⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
assarrginv.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
assarrginv.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
assarrginv.6	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
assarrginv.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
assarrginv	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem assarrginv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)) = (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎))
4		assarrginv.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
5		assarrginv.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝐴)
6		assarrginv.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
7		assarrginv.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
8		assarrginv.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
9		assarrginv.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	assalactf1o 33680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)):(Base‘𝐴)–1-1-onto→(Base‘𝐴))
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
12	11, 1	mgpbas 20110	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
14	11, 13	ringidval 20148	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝐴))
15	11, 2	mgpplusg 20109	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
16		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑋(.r‘𝐴)𝑎) = (𝑋(.r‘𝐴)𝑏))
17	16	cbvmptv 5230	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑏))
18		assaring 21826	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
19	4, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
20	11	ringmgp 20204	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
22	5, 1	rrgss 20667	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝐴)
23	22, 9	sselid 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24	12, 14, 15, 17, 21, 23	mndlactf1o 33030	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)):(Base‘𝐴)–1-1-onto→(Base‘𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))))
25	10, 24	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴)))
26		assarrginv.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
27	1, 26, 2, 13, 23, 19	isunit3 33241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))))
28	25, 27	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   ↦ cmpt 5206  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  Scalarcsca 17279  Mndcmnd 18717  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  Unitcui 20320  RLRegcrlreg 20656  DivRingcdr 20694  AssAlgcasa 21815  dimcldim 33643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-reg 9611  ax-inf2 9660  ax-ac2 10482  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-rpss 7722  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-r1 9783  df-rank 9784  df-dju 9920  df-card 9958  df-acn 9961  df-ac 10135  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-xadd 13134  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ocomp 17297  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-mri 17605  df-acs 17606  df-proset 18311  df-drs 18312  df-poset 18330  df-ipo 18543  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-nzr 20478  df-subrg 20535  df-rlreg 20659  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-lmhm 20985  df-lmim 20986  df-lbs 21038  df-lvec 21066  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-dsmm 21697  df-frlm 21712  df-uvc 21748  df-lindf 21771  df-linds 21772  df-assa 21818  df-dim 33644

This theorem is referenced by:  assafld  33682