Theorem assarrginv 33632

Description: If an element 𝑋 of an associative algebra 𝐴 over a division ring 𝐾 is regular, then it is a unit. Proposition 2. in Chapter 5. of [BourbakiAlg2] p. 113. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assarrginv.1	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝐴)
assarrginv.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
assarrginv.3	⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
assarrginv.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
assarrginv.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
assarrginv.6	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
assarrginv.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
assarrginv	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem assarrginv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)) = (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎))
4		assarrginv.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
5		assarrginv.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝐴)
6		assarrginv.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
7		assarrginv.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
8		assarrginv.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
9		assarrginv.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	assalactf1o 33631	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)):(Base‘𝐴)–1-1-onto→(Base‘𝐴))
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
12	11, 1	mgpbas 20054	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
14	11, 13	ringidval 20092	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝐴))
15	11, 2	mgpplusg 20053	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
16		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑋(.r‘𝐴)𝑎) = (𝑋(.r‘𝐴)𝑏))
17	16	cbvmptv 5211	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑏))
18		assaring 21770	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
19	4, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
20	11	ringmgp 20148	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
22	5, 1	rrgss 20611	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝐴)
23	22, 9	sselid 3944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24	12, 14, 15, 17, 21, 23	mndlactf1o 32971	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)):(Base‘𝐴)–1-1-onto→(Base‘𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))))
25	10, 24	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴)))
26		assarrginv.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
27	1, 26, 2, 13, 23, 19	isunit3 33192	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))))
28	25, 27	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ↦ cmpt 5188  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223  Mndcmnd 18661  mulGrpcmgp 20049  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  Unitcui 20264  RLRegcrlreg 20600  DivRingcdr 20638  AssAlgcasa 21759  dimcldim 33594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-reg 9545  ax-inf2 9594  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-rpss 7699  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-r1 9717  df-rank 9718  df-dju 9854  df-card 9892  df-acn 9895  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-xadd 13073  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ocomp 17241  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-mri 17549  df-acs 17550  df-proset 18255  df-drs 18256  df-poset 18274  df-ipo 18487  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-lsm 19566  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-nzr 20422  df-subrg 20479  df-rlreg 20603  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lmhm 20929  df-lmim 20930  df-lbs 20982  df-lvec 21010  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-uvc 21692  df-lindf 21715  df-linds 21716  df-assa 21762  df-dim 33595

This theorem is referenced by:  assafld  33633