Theorem assarrginv 33774

Description: If an element 𝑋 of an associative algebra 𝐴 over a division ring 𝐾 is regular, then it is a unit. Proposition 2. in Chapter 5. of [BourbakiAlg2] p. 113. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assarrginv.1	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝐴)
assarrginv.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
assarrginv.3	⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
assarrginv.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
assarrginv.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
assarrginv.6	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
assarrginv.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
assarrginv	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem assarrginv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)) = (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎))
4		assarrginv.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
5		assarrginv.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝐴)
6		assarrginv.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
7		assarrginv.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
8		assarrginv.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
9		assarrginv.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	assalactf1o 33773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)):(Base‘𝐴)–1-1-onto→(Base‘𝐴))
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
12	11, 1	mgpbas 20084	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
14	11, 13	ringidval 20122	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝐴))
15	11, 2	mgpplusg 20083	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
16		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑋(.r‘𝐴)𝑎) = (𝑋(.r‘𝐴)𝑏))
17	16	cbvmptv 5203	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑏))
18		assaring 21820	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
19	4, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
20	11	ringmgp 20178	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
22	5, 1	rrgss 20639	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝐴)
23	22, 9	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24	12, 14, 15, 17, 21, 23	mndlactf1o 33093	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)):(Base‘𝐴)–1-1-onto→(Base‘𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))))
25	10, 24	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴)))
26		assarrginv.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
27	1, 26, 2, 13, 23, 19	isunit3 33304	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))))
28	25, 27	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ↦ cmpt 5180  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℕ₀cn0 12405  Basecbs 17140  ._rcmulr 17182  Scalarcsca 17184  Mndcmnd 18663  mulGrpcmgp 20079  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  Unitcui 20295  RLRegcrlreg 20628  DivRingcdr 20666  AssAlgcasa 21809  dimcldim 33736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-reg 9501  ax-inf2 9554  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-rpss 7670  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-r1 9680  df-rank 9681  df-dju 9817  df-card 9855  df-acn 9858  df-ac 10030  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-xadd 13031  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ocomp 17202  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-mri 17511  df-acs 17512  df-proset 18221  df-drs 18222  df-poset 18240  df-ipo 18455  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-lsm 19569  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-nzr 20450  df-subrg 20507  df-rlreg 20631  df-drng 20668  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lmhm 20978  df-lmim 20979  df-lbs 21031  df-lvec 21059  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-dsmm 21691  df-frlm 21706  df-uvc 21742  df-lindf 21765  df-linds 21766  df-assa 21812  df-dim 33737

This theorem is referenced by:  assafld  33775