Theorem assarrginv 34202

Description: If an element 𝑋 of an associative algebra 𝐴 over a division ring 𝐾 is regular, then it is a unit. Proposition 2. in Chapter 5. of [BourbakiAlg2] p. 113. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assarrginv.1	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝐴)
assarrginv.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
assarrginv.3	⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
assarrginv.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
assarrginv.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
assarrginv.6	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
assarrginv.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
assarrginv	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem assarrginv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)) = (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎))
4		assarrginv.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
5		assarrginv.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝐴)
6		assarrginv.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
7		assarrginv.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
8		assarrginv.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
9		assarrginv.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	assalactf1o 34201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)):(Base‘𝐴)–1-1-onto→(Base‘𝐴))
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
12	11, 1	mgpbas 20327	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
14	11, 13	ringidval 20371	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝐴))
15	11, 2	mgpplusg 20326	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
16		oveq2 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑋(.r‘𝐴)𝑎) = (𝑋(.r‘𝐴)𝑏))
17	16	cbvmptv 5208	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑏))
18		assaring 22131	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
19	4, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
20	11	ringmgp 20427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
21	19, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
22	5, 1	rrgss 20916	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝐴)
23	22, 9	sselid 3928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24	12, 14, 15, 17, 21, 23	mndlactf1o 33525	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)):(Base‘𝐴)–1-1-onto→(Base‘𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))))
25	10, 24	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴)))
26		assarrginv.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
27	1, 26, 2, 13, 23, 19	isunit3 33735	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))))
28	25, 27	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ↦ cmpt 5185  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℕ₀cn0 12576  Basecbs 17349  ._rcmulr 17391  Scalarcsca 17393  Mndcmnd 18885  mulGrpcmgp 20322  1_rcur 20369  Ringcrg 20421  Unitcui 20547  RLRegcrlreg 20905  DivRingcdr 20942  AssAlgcasa 22120  dimcldim 34165

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-reg 9564  ax-inf2 9620  ax-ac2 10513  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-rpss 7722  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-r1 9746  df-rank 9747  df-scott 9901  df-dju 9954  df-card 9992  df-acn 9995  df-ac 10167  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-xnn0 12650  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-xadd 13212  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-hash 14443  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ocomp 17411  df-ds 17412  df-hom 17414  df-cco 17415  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-prds 17580  df-pws 17582  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-mri 17720  df-acs 17721  df-proset 18430  df-drs 18431  df-poset 18449  df-ipo 18664  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-mhm 18940  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-subg 19295  df-ghm 19390  df-cntz 19493  df-lsm 19812  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-oppr 20529  df-dvdsr 20549  df-unit 20550  df-invr 20580  df-nzr 20725  df-subrg 20784  df-rlreg 20908  df-drng 20944  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-lsp 21209  df-lmhm 21259  df-lmim 21260  df-lbs 21312  df-lvec 21340  df-sra 21410  df-rgmod 21411  df-dsmm 22000  df-frlm 22015  df-uvc 22051  df-lindf 22074  df-linds 22075  df-assa 22123  df-dim 34166

This theorem is used by:  assafld  34203