Theorem assarrginv 33639

Description: If an element 𝑋 of an associative algebra 𝐴 over a division ring 𝐾 is regular, then it is a unit. Proposition 2. in Chapter 5. of [BourbakiAlg2] p. 113. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assarrginv.1	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝐴)
assarrginv.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
assarrginv.3	⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
assarrginv.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
assarrginv.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
assarrginv.6	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
assarrginv.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
assarrginv	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem assarrginv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)) = (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎))
4		assarrginv.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ AssAlg)
5		assarrginv.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝐴)
6		assarrginv.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
7		assarrginv.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
8		assarrginv.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
9		assarrginv.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	assalactf1o 33638	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)):(Base‘𝐴)–1-1-onto→(Base‘𝐴))
11		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
12	11, 1	mgpbas 20056	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
13		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
14	11, 13	ringidval 20094	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝐴))
15	11, 2	mgpplusg 20055	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
16		oveq2 7349	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑋(.r‘𝐴)𝑎) = (𝑋(.r‘𝐴)𝑏))
17	16	cbvmptv 5193	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑏))
18		assaring 21791	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
19	4, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
20	11	ringmgp 20150	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
22	5, 1	rrgss 20610	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝐴)
23	22, 9	sselid 3930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24	12, 14, 15, 17, 21, 23	mndlactf1o 33001	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐴) ↦ (𝑋(.r‘𝐴)𝑎)):(Base‘𝐴)–1-1-onto→(Base‘𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))))
25	10, 24	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴)))
26		assarrginv.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
27	1, 26, 2, 13, 23, 19	isunit3 33198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝐴)((𝑋(.r‘𝐴)𝑧) = (1r‘𝐴) ∧ (𝑧(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))))
28	25, 27	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3054   ↦ cmpt 5170  –1-1-onto→wf1o 6476  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℕ₀cn0 12373  Basecbs 17112  ._rcmulr 17154  Scalarcsca 17156  Mndcmnd 18634  mulGrpcmgp 20051  1_rcur 20092  Ringcrg 20144  Unitcui 20266  RLRegcrlreg 20599  DivRingcdr 20637  AssAlgcasa 21780  dimcldim 33601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-reg 9473  ax-inf2 9526  ax-ac2 10346  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-rpss 7651  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-r1 9649  df-rank 9650  df-dju 9786  df-card 9824  df-acn 9827  df-ac 9999  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-xadd 13004  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-hash 14230  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ocomp 17174  df-ds 17175  df-hom 17177  df-cco 17178  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-prds 17343  df-pws 17345  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-mri 17482  df-acs 17483  df-proset 18192  df-drs 18193  df-poset 18211  df-ipo 18426  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-ghm 19118  df-cntz 19222  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-nzr 20421  df-subrg 20478  df-rlreg 20602  df-drng 20639  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-lmhm 20949  df-lmim 20950  df-lbs 21002  df-lvec 21030  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-dsmm 21662  df-frlm 21677  df-uvc 21713  df-lindf 21736  df-linds 21737  df-assa 21783  df-dim 33602

This theorem is referenced by:  assafld  33640