MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesubadd2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lesubadd2d 10828
Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lesubadd2d (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem lesubadd2d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltadd1d.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 lesubadd2 10703 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1476 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cr 10137   + caddc 10141  cle 10277  cmin 10468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471
This theorem is referenced by:  difelfznle  12661  cshwcsh2id  13783  nlmvscnlem2  22709  cnllycmp  22975  ipcnlem2  23262  cncmet  23338  minveclem3b  23418  volcn  23594  vitalilem2  23597  dvfsumlem2  24010  dvfsum2  24017  coemullem  24226  coemulhi  24230  aaliou3lem7  24324  emcllem2  24944  harmonicubnd  24957  harmonicbnd4  24958  lgambdd  24984  chpub  25166  vmalogdivsum2  25448  pntrsumo1  25475  pntrlog2bndlem5  25491  pntpbnd2  25497  pntlemo  25517  mblfinlem3  33781  mblfinlem4  33782  iccbnd  33971  itgsbtaddcnst  40715  fourierdlem6  40847  fourierdlem82  40922  fourierdlem93  40933  2elfz2melfz  41856
  Copyright terms: Public domain W3C validator