MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddsubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddsubd 11238
Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltaddsubd (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵)))

Proof of Theorem ltaddsubd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltadd1d.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 ltaddsub 11112 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2115   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  cr 10534   + caddc 10538   < clt 10673  cmin 10868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871
This theorem is referenced by:  elfzodifsumelfzo  13107  elfzomelpfzo  13145  dfceil2  13213  modltm1p1mod  13295  modaddmodlo  13307  discr  13606  swrdccatin1  14087  pfxccatin12lem3  14094  repswswrd  14146  ovolshftlem1  24120  dvcvx  24630  efif1olem2  25142  logcnlem4  25243  ang180lem2  25403  ftalem5  25669  mersenne  25818  perfectlem2  25821  lgseisen  25970  pntlemr  26193  clwwlknonex2lem2  27900  knoppndvlem12  33923  itg2addnclem2  35058  rmspecsqrtnq  39768  jm2.24nn  39821  suplesup  41902  stoweidlem42  42615  stoweidlem60  42633  fourierdlem41  42721  fourierdlem97  42776  smfaddlem1  43327  zm1nn  43790  perfectALTVlem2  44171  sbgoldbst  44227  evengpoap3  44248  ltsubaddb  44854  2itscp  45126
  Copyright terms: Public domain W3C validator