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Theorem coemulhi 26003
Description: The leading coefficient of a product of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
coeadd.2 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
coemulhi.3 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
coemulhi.4 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
coemulhi ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜π‘)))

Proof of Theorem coemulhi
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coemulhi.3 . . . . 5 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
2 dgrcl 25982 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
31, 2eqeltrid 2835 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4 coemulhi.4 . . . . 5 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
5 dgrcl 25982 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
64, 5eqeltrid 2835 . . . 4 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 nn0addcl 12511 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
83, 6, 7syl2an 594 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
9 coefv0.1 . . . 4 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
10 coeadd.2 . . . 4 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
119, 10coemul 26001 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))))
128, 11mpd3an3 1460 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))))
136adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1413nn0ge0d 12539 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 0 ≀ 𝑁)
153adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
1615nn0red 12537 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
1713nn0red 12537 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1816, 17addge01d 11806 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑁)))
1914, 18mpbid 231 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑁))
20 nn0uz 12868 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2115, 20eleqtrdi 2841 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
228nn0zd 12588 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„€)
23 elfz5 13497 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ↔ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑁)))
2421, 22, 23syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝑀 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ↔ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑁)))
2519, 24mpbird 256 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
2625snssd 4811 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ {𝑀} βŠ† (0...(𝑀 + 𝑁)))
27 elsni 4644 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑀} β†’ π‘˜ = 𝑀)
2827adantl 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑀}) β†’ π‘˜ = 𝑀)
29 fveq2 6890 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘€))
30 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) = ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))
3130fveq2d 6894 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) = (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀)))
3229, 31oveq12d 7429 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))))
3328, 32syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑀}) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))))
3416recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3517recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
3634, 35pncan2d 11577 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀) = 𝑁)
3736fveq2d 6894 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀)) = (π΅β€˜π‘))
3837oveq2d 7427 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜π‘)))
399coef3 25981 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
4039adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
4140, 15ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚)
4210coef3 25981 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
4342adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
4443, 13ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (π΅β€˜π‘) ∈ β„‚)
4541, 44mulcld 11238 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜π‘)) ∈ β„‚)
4638, 45eqeltrd 2831 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))) ∈ β„‚)
4746adantr 479 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑀}) β†’ ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))) ∈ β„‚)
4833, 47eqeltrd 2831 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑀}) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) ∈ β„‚)
49 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
50 eldifi 4125 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀}) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
51 elfznn0 13598 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀}) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
539, 1dgrub 25983 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ≀ 𝑀)
54533expia 1119 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀))
5549, 52, 54syl2an 594 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀))
5655necon1bd 2956 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
5756imp 405 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
5857oveq1d 7426 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = (0 Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))))
5943ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
6050ad2antlr 723 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
61 fznn0sub 13537 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0)
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0)
6359, 62ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) ∈ β„‚)
6463mul02d 11416 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ (0 Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = 0)
6558, 64eqtrd 2770 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = 0)
6616adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
6750adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
6867, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
6968nn0red 12537 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
7017adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
7166, 69, 70leadd1d 11812 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (𝑀 ≀ π‘˜ ↔ (𝑀 + 𝑁) ≀ (π‘˜ + 𝑁)))
728adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
7372nn0red 12537 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
7473, 69, 70lesubadd2d 11817 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≀ (π‘˜ + 𝑁)))
7571, 74bitr4d 281 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (𝑀 ≀ π‘˜ ↔ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁))
7675notbid 317 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜ ↔ Β¬ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁))
7776biimpa 475 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ Β¬ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁)
78 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
7950, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀}) β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0)
8010, 4dgrub 25983 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0 ∧ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) β‰  0) β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁)
81803expia 1119 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0) β†’ ((π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) β‰  0 β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁))
8278, 79, 81syl2an 594 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ ((π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) β‰  0 β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁))
8382necon1bd 2956 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (Β¬ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁 β†’ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) = 0))
8483imp 405 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁) β†’ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) = 0)
8577, 84syldan 589 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) = 0)
8685oveq2d 7427 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0))
8740ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
8852ad2antlr 723 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8987, 88ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9089mul01d 11417 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0) = 0)
9186, 90eqtrd 2770 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = 0)
92 eldifsni 4792 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀}) β†’ π‘˜ β‰  𝑀)
9392adantl 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ π‘˜ β‰  𝑀)
9469, 66letri3d 11360 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (π‘˜ = 𝑀 ↔ (π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘˜)))
9594necon3abid 2975 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (π‘˜ β‰  𝑀 ↔ Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘˜)))
9693, 95mpbid 231 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘˜))
97 ianor 978 . . . . 5 (Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ↔ (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀 ∨ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜))
9896, 97sylib 217 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀 ∨ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜))
9965, 91, 98mpjaodan 955 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = 0)
100 fzfid 13942 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (0...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
10126, 48, 99, 100fsumss 15675 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑀} ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))))
10232sumsn 15696 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑀} ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))))
10315, 46, 102syl2anc 582 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑀} ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))))
104103, 38eqtrd 2770 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑀} ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜π‘)))
10512, 101, 1043eqtr2d 2776 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βˆ– cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  Ξ£csu 15636  Polycply 25933  coeffccoe 25935  degcdgr 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940
This theorem is referenced by:  dgrmul  26020  plymul0or  26030  plydivlem4  26045  vieta1lem2  26060
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