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Theorem coemulhi 24447
Description: The leading coefficient of a product of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
coeadd.2 𝐵 = (coeff‘𝐺)
coemulhi.3 𝑀 = (deg‘𝐹)
coemulhi.4 𝑁 = (deg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
coemulhi ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐹𝑓 · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐵𝑁)))

Proof of Theorem coemulhi
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coemulhi.3 . . . . 5 𝑀 = (deg‘𝐹)
2 dgrcl 24426 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31, 2syl5eqel 2863 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 coemulhi.4 . . . . 5 𝑁 = (deg‘𝐺)
5 dgrcl 24426 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
64, 5syl5eqel 2863 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 nn0addcl 11679 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
83, 6, 7syl2an 589 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
9 coefv0.1 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
10 coeadd.2 . . . 4 𝐵 = (coeff‘𝐺)
119, 10coemul 24445 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐹𝑓 · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))))
128, 11mpd3an3 1535 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐹𝑓 · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))))
136adantl 475 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1413nn0ge0d 11705 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 0 ≤ 𝑁)
153adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1615nn0red 11703 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
1713nn0red 11703 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑁 ∈ ℝ)
1816, 17addge01d 10963 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (0 ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
1914, 18mpbid 224 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
20 nn0uz 12028 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
2115, 20syl6eleq 2869 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
228nn0zd 11832 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
23 elfz5 12651 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ↔ 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2421, 22, 23syl2anc 579 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑀 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ↔ 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2519, 24mpbird 249 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑀 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
2625snssd 4571 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → {𝑀} ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
27 elsni 4415 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
2827adantl 475 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝑘 = 𝑀)
29 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑀))
30 oveq2 6930 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
3130fveq2d 6450 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) = (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)))
3229, 31oveq12d 6940 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) = ((𝐴𝑀) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))))
3328, 32syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) = ((𝐴𝑀) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))))
3416recnd 10405 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑀 ∈ ℂ)
3517recnd 10405 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3634, 35pncan2d 10736 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
3736fveq2d 6450 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) = (𝐵𝑁))
3837oveq2d 6938 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐴𝑀) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))) = ((𝐴𝑀) · (𝐵𝑁)))
399coef3 24425 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4039adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4140, 15ffvelrnd 6624 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
4210coef3 24425 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
4342adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
4443, 13ffvelrnd 6624 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
4541, 44mulcld 10397 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐴𝑀) · (𝐵𝑁)) ∈ ℂ)
4638, 45eqeltrd 2859 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐴𝑀) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))) ∈ ℂ)
4746adantr 474 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → ((𝐴𝑀) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))) ∈ ℂ)
4833, 47eqeltrd 2859 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) ∈ ℂ)
49 simpl 476 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
50 eldifi 3955 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀}) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
51 elfznn0 12751 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀}) → 𝑘 ∈ ℕ0)
539, 1dgrub 24427 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑀)
54533expia 1111 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀))
5549, 52, 54syl2an 589 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀))
5655necon1bd 2987 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → (¬ 𝑘𝑀 → (𝐴𝑘) = 0))
5756imp 397 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑘𝑀) → (𝐴𝑘) = 0)
5857oveq1d 6937 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑘𝑀) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) = (0 · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))))
5943ad2antrr 716 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑘𝑀) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
6050ad2antlr 717 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑘𝑀) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
61 fznn0sub 12690 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ ℕ0)
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑘𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ ℕ0)
6359, 62ffvelrnd 6624 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑘𝑀) → (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ ℂ)
6463mul02d 10574 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑘𝑀) → (0 · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) = 0)
6558, 64eqtrd 2814 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑘𝑀) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) = 0)
6616adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → 𝑀 ∈ ℝ)
6750adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
6867, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6968nn0red 11703 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → 𝑘 ∈ ℝ)
7017adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → 𝑁 ∈ ℝ)
7166, 69, 70leadd1d 10969 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → (𝑀𝑘 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝑘 + 𝑁)))
728adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
7372nn0red 11703 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
7473, 69, 70lesubadd2d 10974 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝑘 + 𝑁)))
7571, 74bitr4d 274 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → (𝑀𝑘 ↔ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ≤ 𝑁))
7675notbid 310 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → (¬ 𝑀𝑘 ↔ ¬ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ≤ 𝑁))
7776biimpa 470 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑀𝑘) → ¬ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ≤ 𝑁)
78 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
7950, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀}) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ ℕ0)
8010, 4dgrub 24427 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ≠ 0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ≤ 𝑁)
81803expia 1111 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ≠ 0 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ≤ 𝑁))
8278, 79, 81syl2an 589 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → ((𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ≠ 0 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ≤ 𝑁))
8382necon1bd 2987 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → (¬ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ≤ 𝑁 → (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) = 0))
8483imp 397 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ≤ 𝑁) → (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) = 0)
8577, 84syldan 585 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑀𝑘) → (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) = 0)
8685oveq2d 6938 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑀𝑘) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) = ((𝐴𝑘) · 0))
8740ad2antrr 716 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑀𝑘) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
8852ad2antlr 717 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑀𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8987, 88ffvelrnd 6624 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑀𝑘) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9089mul01d 10575 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑀𝑘) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
9186, 90eqtrd 2814 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) ∧ ¬ 𝑀𝑘) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) = 0)
92 eldifsni 4553 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀}) → 𝑘𝑀)
9392adantl 475 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → 𝑘𝑀)
9469, 66letri3d 10518 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → (𝑘 = 𝑀 ↔ (𝑘𝑀𝑀𝑘)))
9594necon3abid 3005 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → (𝑘𝑀 ↔ ¬ (𝑘𝑀𝑀𝑘)))
9693, 95mpbid 224 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → ¬ (𝑘𝑀𝑀𝑘))
97 ianor 967 . . . . 5 (¬ (𝑘𝑀𝑀𝑘) ↔ (¬ 𝑘𝑀 ∨ ¬ 𝑀𝑘))
9896, 97sylib 210 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → (¬ 𝑘𝑀 ∨ ¬ 𝑀𝑘))
9965, 91, 98mpjaodan 944 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ {𝑀})) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) = 0)
100 fzfid 13091 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (0...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
10126, 48, 99, 100fsumss 14863 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → Σ𝑘 ∈ {𝑀} ((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))))
10232sumsn 14882 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝑀) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀} ((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) = ((𝐴𝑀) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))))
10315, 46, 102syl2anc 579 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → Σ𝑘 ∈ {𝑀} ((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) = ((𝐴𝑀) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))))
104103, 38eqtrd 2814 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → Σ𝑘 ∈ {𝑀} ((𝐴𝑘) · (𝐵‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) = ((𝐴𝑀) · (𝐵𝑁)))
10512, 101, 1043eqtr2d 2820 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐹𝑓 · 𝐺))‘(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐵𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  cdif 3789  {csn 4398   class class class wbr 4886  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  𝑓 cof 7172  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272   + caddc 10275   · cmul 10277  cle 10412  cmin 10606  0cn0 11642  cz 11728  cuz 11992  ...cfz 12643  Σcsu 14824  Polycply 24377  coeffccoe 24379  degcdgr 24380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-0p 23874  df-ply 24381  df-coe 24383  df-dgr 24384
This theorem is referenced by:  dgrmul  24463  plymul0or  24473  plydivlem4  24488  vieta1lem2  24503
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