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Theorem coemulhi 26004
Description: The leading coefficient of a product of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
coeadd.2 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
coemulhi.3 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
coemulhi.4 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
coemulhi ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜π‘)))

Proof of Theorem coemulhi
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coemulhi.3 . . . . 5 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
2 dgrcl 25983 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
31, 2eqeltrid 2836 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4 coemulhi.4 . . . . 5 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
5 dgrcl 25983 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
64, 5eqeltrid 2836 . . . 4 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7 nn0addcl 12512 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
83, 6, 7syl2an 595 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
9 coefv0.1 . . . 4 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
10 coeadd.2 . . . 4 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
119, 10coemul 26002 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))))
128, 11mpd3an3 1461 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))))
136adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1413nn0ge0d 12540 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 0 ≀ 𝑁)
153adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
1615nn0red 12538 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
1713nn0red 12538 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1816, 17addge01d 11807 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑁)))
1914, 18mpbid 231 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑁))
20 nn0uz 12869 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2115, 20eleqtrdi 2842 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
228nn0zd 12589 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„€)
23 elfz5 13498 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ↔ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑁)))
2421, 22, 23syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝑀 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ↔ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑁)))
2519, 24mpbird 257 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
2625snssd 4812 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ {𝑀} βŠ† (0...(𝑀 + 𝑁)))
27 elsni 4645 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {𝑀} β†’ π‘˜ = 𝑀)
2827adantl 481 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑀}) β†’ π‘˜ = 𝑀)
29 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘€))
30 oveq2 7420 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) = ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))
3130fveq2d 6895 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) = (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀)))
3229, 31oveq12d 7430 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))))
3328, 32syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑀}) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))))
3416recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3517recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
3634, 35pncan2d 11578 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀) = 𝑁)
3736fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀)) = (π΅β€˜π‘))
3837oveq2d 7428 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜π‘)))
399coef3 25982 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
4140, 15ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚)
4210coef3 25982 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
4443, 13ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (π΅β€˜π‘) ∈ β„‚)
4541, 44mulcld 11239 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜π‘)) ∈ β„‚)
4638, 45eqeltrd 2832 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))) ∈ β„‚)
4746adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑀}) β†’ ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))) ∈ β„‚)
4833, 47eqeltrd 2832 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑀}) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) ∈ β„‚)
49 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
50 eldifi 4126 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀}) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
51 elfznn0 13599 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀}) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
539, 1dgrub 25984 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ≀ 𝑀)
54533expia 1120 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀))
5549, 52, 54syl2an 595 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀))
5655necon1bd 2957 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
5756imp 406 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
5857oveq1d 7427 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = (0 Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))))
5943ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
6050ad2antlr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
61 fznn0sub 13538 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0)
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0)
6359, 62ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) ∈ β„‚)
6463mul02d 11417 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ (0 Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = 0)
6558, 64eqtrd 2771 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = 0)
6616adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
6750adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
6867, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
6968nn0red 12538 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
7017adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
7166, 69, 70leadd1d 11813 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (𝑀 ≀ π‘˜ ↔ (𝑀 + 𝑁) ≀ (π‘˜ + 𝑁)))
728adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
7372nn0red 12538 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
7473, 69, 70lesubadd2d 11818 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≀ (π‘˜ + 𝑁)))
7571, 74bitr4d 282 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (𝑀 ≀ π‘˜ ↔ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁))
7675notbid 318 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜ ↔ Β¬ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁))
7776biimpa 476 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ Β¬ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁)
78 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
7950, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀}) β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0)
8010, 4dgrub 25984 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0 ∧ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) β‰  0) β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁)
81803expia 1120 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ∈ β„•0) β†’ ((π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) β‰  0 β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁))
8278, 79, 81syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ ((π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) β‰  0 β†’ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁))
8382necon1bd 2957 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (Β¬ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁 β†’ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) = 0))
8483imp 406 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ ((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜) ≀ 𝑁) β†’ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) = 0)
8577, 84syldan 590 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜)) = 0)
8685oveq2d 7428 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0))
8740ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
8852ad2antlr 724 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8987, 88ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9089mul01d 11418 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 0) = 0)
9186, 90eqtrd 2771 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = 0)
92 eldifsni 4793 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀}) β†’ π‘˜ β‰  𝑀)
9392adantl 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ π‘˜ β‰  𝑀)
9469, 66letri3d 11361 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (π‘˜ = 𝑀 ↔ (π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘˜)))
9594necon3abid 2976 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (π‘˜ β‰  𝑀 ↔ Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘˜)))
9693, 95mpbid 231 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘˜))
97 ianor 979 . . . . 5 (Β¬ (π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ↔ (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀 ∨ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜))
9896, 97sylib 217 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀 ∨ Β¬ 𝑀 ≀ π‘˜))
9965, 91, 98mpjaodan 956 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– {𝑀})) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = 0)
100 fzfid 13943 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (0...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
10126, 48, 99, 100fsumss 15676 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑀} ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))))
10232sumsn 15697 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑀} ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))))
10315, 46, 102syl2anc 583 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑀} ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ 𝑀))))
104103, 38eqtrd 2771 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑀} ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π΅β€˜((𝑀 + 𝑁) βˆ’ π‘˜))) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜π‘)))
10512, 101, 1043eqtr2d 2777 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜(𝑀 + 𝑁)) = ((π΄β€˜π‘€) Β· (π΅β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ– cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘f cof 7672  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117   Β· cmul 11119   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  Ξ£csu 15637  Polycply 25934  coeffccoe 25936  degcdgr 25937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-0p 25420  df-ply 25938  df-coe 25940  df-dgr 25941
This theorem is referenced by:  dgrmul  26021  plymul0or  26031  plydivlem4  26046  vieta1lem2  26061
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