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Theorem cshwcsh2id 14784
Description: A cyclically shifted word can be reconstructed by cyclically shifting it again twice. Lemma for erclwwlktr 29539 and erclwwlkntr 29588. (Contributed by AV, 9-Apr-2018.) (Revised by AV, 11-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cshwcsh2id.1 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ Word 𝑉)
cshwcsh2id.2 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘¦) = (β™―β€˜π‘§) ∧ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
cshwcsh2id (πœ‘ β†’ (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))π‘₯ = (𝑧 cyclShift 𝑛)))
Distinct variable group:   π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem cshwcsh2id
StepHypRef Expression
1 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜) β†’ (𝑦 cyclShift π‘š) = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š))
21eqeq2d 2742 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜) β†’ (π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š) ↔ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š)))
32anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) ↔ (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š))))
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) ↔ (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š))))
5 elfznn0 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
6 elfznn0 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
7 nn0addcl 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„•0)
85, 6, 7syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„•0)
98adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ ((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„•0)
10 elfz3nn0 13600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0)
1110ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ ((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0)
12 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ ((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§))
13 elfz2nn0 13597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ↔ ((π‘˜ + π‘š) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
149, 11, 12, 13syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ ((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)))
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ ((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) ∧ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š)) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)))
16 cshwcsh2id.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ Word 𝑉)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ 𝑧 ∈ Word 𝑉)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ ((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ 𝑧 ∈ Word 𝑉)
19 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
2019ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ ((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
21 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) β†’ π‘š ∈ β„€)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ π‘š ∈ β„€)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ ((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ π‘š ∈ β„€)
24 2cshw 14768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ Word 𝑉 ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š) = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š)))
2518, 20, 23, 24syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ ((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š) = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š)))
2625eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ ((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ (π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š) ↔ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š))))
2726biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ ((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) ∧ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š)) β†’ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š)))
2815, 27jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ ((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) ∧ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š))))
2928exp41 434 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ (((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ (π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š) β†’ ((π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š)))))))
3029com23 86 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) β†’ (((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ (π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š) β†’ ((π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š)))))))
3130com24 95 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ (((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š)))))))
3231imp 406 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ (((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š))))))
3332com12 32 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š)) β†’ (((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š))))))
3433adantl 481 . . . . . 6 ((𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š)) β†’ (((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š))))))
354, 34sylbid 239 . . . . 5 ((𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) β†’ (((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š))))))
3635ancoms 458 . . . 4 ((π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜)) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) β†’ (((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š))))))
3736impcom 407 . . 3 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜))) β†’ (((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š)))))
38 oveq2 7420 . . . 4 (𝑛 = (π‘˜ + π‘š) β†’ (𝑧 cyclShift 𝑛) = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š)))
3938rspceeqv 3634 . . 3 (((π‘˜ + π‘š) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))π‘₯ = (𝑧 cyclShift 𝑛))
4037, 39syl6com 37 . 2 (((π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))π‘₯ = (𝑧 cyclShift 𝑛)))
41 elfz2 13496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ↔ ((0 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ (0 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§))))
42 nn0z 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ β„€)
43 zaddcl 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„€)
4443ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (π‘š ∈ β„€ β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„€))
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((β™―β€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘š ∈ β„€ β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„€))
4645impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘š ∈ β„€ ∧ ((β™―β€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„€)
47 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘š ∈ β„€ ∧ ((β™―β€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„€)
4846, 47zsubcld 12676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘š ∈ β„€ ∧ ((β™―β€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„€)
4948ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘š ∈ β„€ β†’ (((β™―β€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„€))
5042, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (((β™―β€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„€))
5150com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„€))
52513adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„€))
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((0 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ (0 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§))) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„€))
5441, 53sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„€))
556, 54mpan9 506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„€)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„€)
57 elfz2nn0 13597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ↔ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§)))
58 nn0re 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
59 nn0re 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ)
6058, 59anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ))
61 nn0re 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ ℝ)
6260, 61anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ))
63 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ)
64 readdcl 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ ℝ)
6564adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ ℝ)
6663, 65ltnled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((β™―β€˜π‘§) < (π‘˜ + π‘š) ↔ Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
6763, 65posdifd 11806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((β™―β€˜π‘§) < (π‘˜ + π‘š) ↔ 0 < ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
6867biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((β™―β€˜π‘§) < (π‘˜ + π‘š) β†’ 0 < ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
6966, 68sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ 0 < ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
7062, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ 0 < ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
7170ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ 0 < ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)))))
72713adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§)) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ 0 < ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)))))
7357, 72sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ 0 < ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)))))
746, 73mpan9 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ 0 < ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
7574com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ 0 < ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ 0 < ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
7776impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ 0 < ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)))
78 elnnz 12573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„• ↔ (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„€ ∧ 0 < ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
7956, 77, 78sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„•)
8079nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„•0)
8110ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0)
82 cshwcsh2id.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘¦) = (β™―β€˜π‘§) ∧ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜π‘¦)))
83 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘¦) = (β™―β€˜π‘§) β†’ (0...(β™―β€˜π‘¦)) = (0...(β™―β€˜π‘§)))
8483eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜π‘¦) = (β™―β€˜π‘§) β†’ (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ↔ π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))))
8584anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘¦) = (β™―β€˜π‘§) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ↔ (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)))))
86 elfz2nn0 13597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ↔ (π‘š ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (β™―β€˜π‘§)))
8758adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
8887, 61anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ))
8959, 59jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ))
9089ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ))
91 le2add 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ ((π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ π‘š ≀ (β™―β€˜π‘§)) β†’ (π‘˜ + π‘š) ≀ ((β™―β€˜π‘§) + (β™―β€˜π‘§))))
9288, 90, 91syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ π‘š ≀ (β™―β€˜π‘§)) β†’ (π‘˜ + π‘š) ≀ ((β™―β€˜π‘§) + (β™―β€˜π‘§))))
93 nn0readdcl 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ ℝ)
9493adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ ℝ)
9559ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜π‘§) ∈ ℝ)
9694, 95, 95lesubadd2d 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§) ↔ (π‘˜ + π‘š) ≀ ((β™―β€˜π‘§) + (β™―β€˜π‘§))))
9792, 96sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ π‘š ≀ (β™―β€˜π‘§)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
9897expcomd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ (π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§))))
9998ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ (π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))))
10099com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ (π‘š ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))))
1011003impia 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§)) β†’ (π‘š ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ (π‘š ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§))))
102101com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š ≀ (β™―β€˜π‘§) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§))))
103102imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (β™―β€˜π‘§)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ≀ (β™―β€˜π‘§)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
10457, 103biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (β™―β€˜π‘§)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
1051043adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘š ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ π‘š ≀ (β™―β€˜π‘§)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
10686, 105sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
107106imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§))
10885, 107syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘¦) = (β™―β€˜π‘§) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β™―β€˜π‘¦) = (β™―β€˜π‘§) ∧ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜π‘¦)) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
11082, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
112111impcom 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§))
113 elfz2nn0 13597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ↔ (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
11480, 81, 112, 113syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)))
115114adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) ∧ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š)) β†’ ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)))
11616adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ 𝑧 ∈ Word 𝑉)
117116adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ 𝑧 ∈ Word 𝑉)
11819ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
11922adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ π‘š ∈ β„€)
120117, 118, 119, 24syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š) = (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š)))
12119, 21, 43syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„€)
122 cshwsublen 14751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„€) β†’ (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š)) = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
123116, 121, 122syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ (𝑧 cyclShift (π‘˜ + π‘š)) = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
124120, 123eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š) = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
125124eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) β†’ (π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š) ↔ π‘₯ = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)))))
126125biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) ∧ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š)) β†’ π‘₯ = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
127115, 126jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))) ∧ (Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘)) ∧ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š)) β†’ (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)))))
128127exp41 434 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ ((Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ (π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š) β†’ (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))))))
129128com23 86 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) β†’ ((Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ (π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š) β†’ (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))))))
130129com24 95 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ ((Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))))))
131130imp 406 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = ((𝑧 cyclShift π‘˜) cyclShift π‘š)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ ((Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)))))))
1323, 131syl6bi 252 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ ((Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))))))
133132com23 86 . . . . 5 (𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜) β†’ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) β†’ ((Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))))))
134133impcom 407 . . . 4 ((π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜)) β†’ ((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) β†’ ((Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)))))))
135134impcom 407 . . 3 (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜))) β†’ ((Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ (((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))))
136 oveq2 7420 . . . 4 (𝑛 = ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) β†’ (𝑧 cyclShift 𝑛) = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§))))
137136rspceeqv 3634 . . 3 ((((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)) ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ π‘₯ = (𝑧 cyclShift ((π‘˜ + π‘š) βˆ’ (β™―β€˜π‘§)))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))π‘₯ = (𝑧 cyclShift 𝑛))
138135, 137syl6com 37 . 2 ((Β¬ (π‘˜ + π‘š) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ πœ‘) β†’ (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))π‘₯ = (𝑧 cyclShift 𝑛)))
13940, 138pm2.61ian 809 1 (πœ‘ β†’ (((π‘š ∈ (0...(β™―β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = (𝑦 cyclShift π‘š)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (𝑧 cyclShift π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘§))π‘₯ = (𝑧 cyclShift 𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„cr 11112  0cc0 11113   + caddc 11116   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  ...cfz 13489  β™―chash 14295  Word cword 14469   cyclShift ccsh 14743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-csh 14744
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