Theorem ldualvsass 39250

Description: Associative law for scalar product operation. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsass.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsass.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsass.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualvsass.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsass.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
ldualvsass.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsass	⊢ (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝑋 · (𝑌 · 𝐺)))

Proof of Theorem ldualvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		ldualvsass.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		ldualvsass.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		ldualvsass.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
5		ldualvsass.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		ldualvsass.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualvsass.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
8		ldualvsass.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
9		ldualvsass.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lflvsass 39190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {(𝑌 × 𝑋)})) = ((𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌})) ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑋})))
11		ldualvsass.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
12		ldualvsass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
13	2	lmodring 20811	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
14	6, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	3, 4	ringcl 20178	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑌 × 𝑋) ∈ 𝐾)
16	14, 7, 8, 15	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) ∈ 𝐾)
17	5, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 16, 9	ldualvs 39246	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {(𝑌 × 𝑋)})))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 7	lflvscl 39186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌})) ∈ 𝐹)
19	5, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 8, 18	ldualvs 39246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌}))) = ((𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌})) ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑋})))
20	10, 17, 19	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝑋 · (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
21	5, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 7, 9	ldualvs 39246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) = (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌})))
22	21	oveq2d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · 𝐺)) = (𝑋 · (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
23	20, 22	eqtr4d 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝑋 · (𝑌 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4577   × cxp 5619  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617  Basecbs 17130  ._rcmulr 17172  Scalarcsca 17174   ·_𝑠 cvsca 17175  Ringcrg 20161  LModclmod 20803  LFnlclfn 39166  LDualcld 39232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-plusg 17184  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-mgp 20069  df-ring 20163  df-lmod 20805  df-lfl 39167  df-ldual 39233

This theorem is referenced by:  ldualvsass2  39251