Theorem ldualvsass 38315

Description: Associative law for scalar product operation. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsass.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsass.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsass.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualvsass.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsass.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
ldualvsass.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsass	⊢ (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝑋 · (𝑌 · 𝐺)))

Proof of Theorem ldualvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		ldualvsass.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		ldualvsass.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		ldualvsass.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
5		ldualvsass.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		ldualvsass.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualvsass.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
8		ldualvsass.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
9		ldualvsass.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lflvsass 38255	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {(𝑌 × 𝑋)})) = ((𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌})) ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑋})))
11		ldualvsass.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
12		ldualvsass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
13	2	lmodring 20623	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
14	6, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	3, 4	ringcl 20145	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑌 × 𝑋) ∈ 𝐾)
16	14, 7, 8, 15	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) ∈ 𝐾)
17	5, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 16, 9	ldualvs 38311	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {(𝑌 × 𝑋)})))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 7	lflvscl 38251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌})) ∈ 𝐹)
19	5, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 8, 18	ldualvs 38311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌}))) = ((𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌})) ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑋})))
20	10, 17, 19	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝑋 · (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
21	5, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 7, 9	ldualvs 38311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) = (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌})))
22	21	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · 𝐺)) = (𝑋 · (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
23	20, 22	eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝑋 · (𝑌 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {csn 4628   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7672  Basecbs 17149  ._rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·_𝑠 cvsca 17206  Ringcrg 20128  LModclmod 20615  LFnlclfn 38231  LDualcld 38297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-mgp 20030  df-ring 20130  df-lmod 20617  df-lfl 38232  df-ldual 38298

This theorem is referenced by:  ldualvsass2  38316