Theorem ldualvsass 37401

Description: Associative law for scalar product operation. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsass.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsass.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsass.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualvsass.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsass.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
ldualvsass.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsass	⊢ (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝑋 · (𝑌 · 𝐺)))

Proof of Theorem ldualvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		ldualvsass.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		ldualvsass.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		ldualvsass.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
5		ldualvsass.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		ldualvsass.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualvsass.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
8		ldualvsass.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
9		ldualvsass.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lflvsass 37341	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {(𝑌 × 𝑋)})) = ((𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌})) ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑋})))
11		ldualvsass.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
12		ldualvsass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
13	2	lmodring 20229	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
14	6, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	3, 4	ringcl 19887	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑌 × 𝑋) ∈ 𝐾)
16	14, 7, 8, 15	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) ∈ 𝐾)
17	5, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 16, 9	ldualvs 37397	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {(𝑌 × 𝑋)})))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 7	lflvscl 37337	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌})) ∈ 𝐹)
19	5, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 8, 18	ldualvs 37397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌}))) = ((𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌})) ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑋})))
20	10, 17, 19	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝑋 · (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
21	5, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 7, 9	ldualvs 37397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) = (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌})))
22	21	oveq2d 7345	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · 𝐺)) = (𝑋 · (𝐺 ∘f × ((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
23	20, 22	eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝑋 · (𝑌 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {csn 4572   × cxp 5612  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329   ∘_f cof 7585  Basecbs 17001  ._rcmulr 17052  Scalarcsca 17054   ·_𝑠 cvsca 17055  Ringcrg 19870  LModclmod 20221  LFnlclfn 37317  LDualcld 37383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-plusg 17064  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-grp 18668  df-mgp 19808  df-ring 19872  df-lmod 20223  df-lfl 37318  df-ldual 37384

This theorem is referenced by:  ldualvsass2  37402