Theorem liminfresicompt 45231

Description: The inferior limit doesn't change when a function is restricted to the upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfresicompt.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
liminfresicompt.2	⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
liminfresicompt.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
liminfresicompt	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfresicompt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resmpt3 6042	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)
2	1	eqcomi 2734	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍))
4	3	fveq2d 6898	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)) = (lim inf‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍)))
5		liminfresicompt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6		liminfresicompt.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
7		liminfresicompt.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8	7	mptexd 7234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
9	5, 6, 8	liminfresico 45222	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
10	4, 9	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3944   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5679  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  ℝcr 11137  +∞cpnf 11275  [,)cico 13358  lim infclsi 45202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-ico 13362  df-liminf 45203

This theorem is referenced by:  liminfval4  45240  liminfval3  45241