Theorem liminfresicompt 41603

Description: The inferior limit doesn't change when a function is restricted to the upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfresicompt.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
liminfresicompt.2	⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
liminfresicompt.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
liminfresicompt	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfresicompt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resmpt3 5787	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)
2	1	eqcomi 2804	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍))
4	3	fveq2d 6542	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)) = (lim inf‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍)))
5		liminfresicompt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6		liminfresicompt.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
7		liminfresicompt.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8	7	mptexd 6853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
9	5, 6, 8	liminfresico 41594	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
10	4, 9	eqtrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437   ∩ cin 3858   ↦ cmpt 5041   ↾ cres 5445  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  ℝcr 10382  +∞cpnf 10518  [,)cico 12590  lim infclsi 41574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-ico 12594  df-liminf 41575

This theorem is referenced by:  liminfval4  41612  liminfval3  41613