Theorem lsptpcl 20910

Description: The span of an unordered triple is a subspace (frequently used special case of lspcl 20907). (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lsptpcl.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsptpcl	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsptpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprcl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		df-tp 4581	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
3		lspprcl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		lspprcl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5	3, 4	prssd 4774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
6		lsptpcl.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
7	6	snssd 4761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ⊆ 𝑉)
8	5, 7	unssd 4142	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍}) ⊆ 𝑉)
9	2, 8	eqsstrid 3973	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉)
10		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13	10, 11, 12	lspcl 20907	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ∈ 𝑆)
14	1, 9, 13	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑍}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4576  {cpr 4578  {ctp 4580  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  LModclmod 20791  LSubSpclss 20862  LSpanclspn 20902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903

This theorem is referenced by: (None)