Theorem lspprcl 21099

Description: The span of a pair is a subspace (frequently used special case of lspcl 21097). (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprcl	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspprcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprcl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspprcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lspprcl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4	2, 3	prssd 4788	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
5		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	5, 6, 7	lspcl 21097	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝑆)
9	1, 4, 8	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  {cpr 4591  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052  LSpanclspn 21092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093

This theorem is referenced by:  lspprid1  21118  lspprvacl  21120  lsmelpr  21212  lspexch  21253  lspindpi  21256  lsppratlem4  21274  lsatfixedN  39783  dvh3dim2  42222  dvh3dim3N  42223  lclkrlem2v  42302  lcfrlem23  42339  lcfrlem25  42341  mapdindp  42445  baerlem3lem1  42481  baerlem5alem1  42482  baerlem5blem1  42483  baerlem5amN  42490  baerlem5bmN  42491  baerlem5abmN  42492  mapdh6aN  42509  mapdh6b0N  42510  mapdh6iN  42518  lspindp5  42544  mapdh8ab  42551  mapdh8ad  42553  mapdh8e  42558  mapdh9a  42563  mapdh9aOLDN  42564  hdmap1l6a  42583  hdmap1l6b0N  42584  hdmap1l6i  42592  hdmap1eulemOLDN  42597  hdmapval0  42607  hdmapval3lemN  42611  hdmap10lem  42613  hdmap11lem1  42615  hdmap11lem2  42616  hdmap14lem11  42652