Theorem lspprcl 21108

Description: The span of a pair is a subspace (frequently used special case of lspcl 21106). (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprcl	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspprcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprcl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspprcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lspprcl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4	2, 3	prssd 4788	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
5		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	5, 6, 7	lspcl 21106	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝑆)
9	1, 4, 8	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  {cpr 4591  ‘cfv 6536  Basecbs 17273  LModclmod 20990  LSubSpclss 21061  LSpanclspn 21101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-mgp 20221  df-ur 20268  df-ring 20321  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102

This theorem is used by:  lspprid1  21127  lspprvacl  21129  lsmelpr  21221  lspexch  21262  lspindpi  21265  lsppratlem4  21283  lsatfixedN  39811  dvh3dim2  42250  dvh3dim3N  42251  lclkrlem2v  42330  lcfrlem23  42367  lcfrlem25  42369  mapdindp  42473  baerlem3lem1  42509  baerlem5alem1  42510  baerlem5blem1  42511  baerlem5amN  42518  baerlem5bmN  42519  baerlem5abmN  42520  mapdh6aN  42537  mapdh6b0N  42538  mapdh6iN  42546  lspindp5  42572  mapdh8ab  42579  mapdh8ad  42581  mapdh8e  42586  mapdh9a  42591  mapdh9aOLDN  42592  hdmap1l6a  42611  hdmap1l6b0N  42612  hdmap1l6i  42620  hdmap1eulemOLDN  42625  hdmapval0  42635  hdmapval3lemN  42639  hdmap10lem  42641  hdmap11lem1  42643  hdmap11lem2  42644  hdmap14lem11  42680