Theorem lspprcl 19344

Description: The span of a pair is a subspace (frequently used special case of lspcl 19342). (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprcl	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspprcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprcl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspprcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lspprcl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4		prssi 4572	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
5	2, 3, 4	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
6		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9	6, 7, 8	lspcl 19342	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝑆)
10	1, 5, 9	syl2anc 579	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  {cpr 4401  ‘cfv 6127  Basecbs 16229  LModclmod 19226  LSubSpclss 19295  LSpanclspn 19337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338

This theorem is referenced by:  lspprid1  19363  lspprvacl  19365  lsmelpr  19457  lspexch  19496  lspindpi  19499  lsppratlem4  19518  lsatfixedN  35079  dvh3dim2  37518  dvh3dim3N  37519  lclkrlem2v  37598  lcfrlem23  37635  lcfrlem25  37637  mapdindp  37741  baerlem3lem1  37777  baerlem5alem1  37778  baerlem5blem1  37779  baerlem5amN  37786  baerlem5bmN  37787  baerlem5abmN  37788  mapdh6aN  37805  mapdh6b0N  37806  mapdh6iN  37814  lspindp5  37840  mapdh8ab  37847  mapdh8ad  37849  mapdh8e  37854  mapdh9a  37859  mapdh9aOLDN  37860  hdmap1l6a  37879  hdmap1l6b0N  37880  hdmap1l6i  37888  hdmap1eulemOLDN  37893  hdmapval0  37903  hdmapval3lemN  37907  hdmap10lem  37909  hdmap11lem1  37911  hdmap11lem2  37912  hdmap14lem11  37948