Theorem lssssr 21056

Description: Conclude subspace ordering from nonzero vector membership. (ssrdv 3944 analog.) (Contributed by NM, 17-Aug-2014.) (Revised by AV, 13-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssssr.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lssssr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssssr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssssr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
lssssr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssssr.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lssssr	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lssssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 = 0 )
2		lssssr.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lssssr.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
4		lssssr.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		lssssr.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6	4, 5	lss0cl 21049	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑈)
7	2, 3, 6	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0 ) → 0 ∈ 𝑈)
9	1, 8	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 ∈ 𝑈)
10	9	a1d 26	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))
11		lssssr.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
12	11	sseld 3937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑉))
13	12	ancrd 560	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)))
14	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)))
15		eldifsn 4754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
16		lssssr.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))
17	15, 16	sylan2br 606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))
18	17	exp32 425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
19	18	com23 87	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
20	19	imp4b 426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑈))
21	14, 20	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))
22	10, 21	pm2.61dane 3045	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))
23	22	ssrdv 3944	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ‘cfv 6538  0_gc0g 17493  LModclmod 20962  LSubSpclss 21033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mgp 20218  df-ur 20265  df-ring 20318  df-lmod 20964  df-lss 21034

This theorem is referenced by:  dihjat1lem  42183