Theorem lssssr 21044

Description: Conclude subspace ordering from nonzero vector membership. (ssrdv 3945 analog.) (Contributed by NM, 17-Aug-2014.) (Revised by AV, 13-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssssr.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lssssr.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssssr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssssr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
lssssr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssssr.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lssssr	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lssssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 = 0 )
2		lssssr.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lssssr.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
4		lssssr.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		lssssr.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6	4, 5	lss0cl 21037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑈)
7	2, 3, 6	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0 ) → 0 ∈ 𝑈)
9	1, 8	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 ∈ 𝑈)
10	9	a1d 26	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))
11		lssssr.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
12	11	sseld 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑉))
13	12	ancrd 560	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)))
14	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)))
15		eldifsn 4749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
16		lssssr.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))
17	15, 16	sylan2br 606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))
18	17	exp32 425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
19	18	com23 87	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
20	19	imp4b 426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑈))
21	14, 20	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))
22	10, 21	pm2.61dane 3047	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑈))
23	22	ssrdv 3945	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  {csn 4585  ‘cfv 6525  0_gc0g 17482  LModclmod 20950  LSubSpclss 21021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-lmod 20952  df-lss 21022

This theorem is referenced by:  dihjat1lem  42064