Theorem subgmulg 19251

Description: A group multiple is the same if evaluated in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgmulgcl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
subgmulg.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
subgmulg.t	⊢ ∙ = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subgmulg	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑁 ∙ 𝑋))

Proof of Theorem subgmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgmulg.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	subg0 19242	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
4	3	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
5	4	ifeq1d 4509	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))))
6		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	1, 6	ressplusg 17366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
9	8	seqeq2d 14062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})))
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})))
11	10	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
12	11	ifeq1d 4509	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁))) = if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁))))
13		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	zred 12716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		0re 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		axlttri 11296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 < 0 ↔ ¬ (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 < 0 ↔ ¬ (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁)))
18		ioran 999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑁 = 0 ∨ 0 < 𝑁) ↔ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 0 < 𝑁))
19	17, 18	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 < 0 ↔ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 0 < 𝑁)))
20	19	biimpar 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 0 < 𝑁)) → 𝑁 < 0)
21		simpl1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 < 0) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
22	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	znegcld 12718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 < 0) → -𝑁 ∈ ℤ)
24	14	lt0neg1d 11798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
25	24	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 < 0) → 0 < -𝑁)
26		elnnz 12616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ ↔ (-𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑁))
27	23, 25, 26	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 < 0) → -𝑁 ∈ ℕ)
28		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
29	28	subgss 19237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
30	29	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
31		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
32	30, 31	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 < 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
34		subgmulgcl.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.g‘𝐺)
35		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
36	28, 6, 34, 35	mulgnn 19185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (-𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁))
37	27, 33, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 < 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁))
38	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 < 0) → 𝑋 ∈ 𝑆)
39	34	subgmulgcl 19250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
40	21, 23, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 < 0) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
41	37, 40	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 < 0) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁) ∈ 𝑆)
42		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
43		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
44	1, 42, 43	subginv 19243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁) ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)) = ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))
45	21, 41, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 < 0) → ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)) = ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))
46	20, 45	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 0 < 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)) = ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))
47	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 0 < 𝑁)) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})))
48	47	fveq1d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 0 < 𝑁)) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁))
49	48	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 0 < 𝑁)) → ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)) = ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))
50	46, 49	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 0 < 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)) = ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))
51	50	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑁 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑁) → ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)) = ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))
52	51	ifeq2da 4522	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁))) = if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁))))
53	12, 52	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑁 = 0) → if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁))) = if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁))))
54	53	ifeq2da 4522	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))))
55	5, 54	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))))
56	28, 6, 2, 42, 34, 35	mulgval 19181	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))))
57	13, 32, 56	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))))
58	1	subgbas 19240	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
59	58	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
60	31, 59	eleqtrd 2867	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
61		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
62		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
63		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
64		subgmulg.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.g‘𝐻)
65		eqid 2765	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
66	61, 62, 63, 43, 64, 65	mulgval 19181	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁 ∙ 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))))
67	13, 60, 66	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∙ 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑁, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁)))))
68	55, 57, 67	3eqtr4d 2810	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑁 ∙ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  {csn 4591   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   < clt 11258  -cneg 11457  ℕcn 12248  ℤcz 12606  seqcseq 14055  Basecbs 17291   ↾_s cress 17312  +_gcplusg 17332  0_gc0g 17514  inv_gcminusg 19045  ._gcmg 19177  SubGrpcsubg 19230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-seq 14056  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-mulg 19178  df-subg 19233

This theorem is used by:  cycsubgcyg  20015  ablfac2  20205  zringmulg  21656  zringcyg  21669  remulg  21807  subgmulgcld  33427  rezh  34423