MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgmulg 19022
Description: A group multiple is the same if evaluated in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgmulgcl.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
subgmulg.h ๐ป = (๐บ โ†พs ๐‘†)
subgmulg.t โˆ™ = (.gโ€˜๐ป)
Assertion
Ref Expression
subgmulg ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ โˆ™ ๐‘‹))

Proof of Theorem subgmulg
StepHypRef Expression
1 subgmulg.h . . . . . 6 ๐ป = (๐บ โ†พs ๐‘†)
2 eqid 2732 . . . . . 6 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
31, 2subg0 19014 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐ป))
433ad2ant1 1133 . . . 4 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐ป))
54ifeq1d 4547 . . 3 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
6 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
71, 6ressplusg 17237 . . . . . . . . . 10 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐ป))
873ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐ป))
98seqeq2d 13975 . . . . . . . 8 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹})))
109adantr 481 . . . . . . 7 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹})))
1110fveq1d 6893 . . . . . 6 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘) = (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘))
1211ifeq1d 4547 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))) = if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))))
13 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1413zred 12668 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
15 0re 11218 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„
16 axlttri 11287 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ < 0 โ†” ยฌ (๐‘ = 0 โˆจ 0 < ๐‘)))
1714, 15, 16sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ < 0 โ†” ยฌ (๐‘ = 0 โˆจ 0 < ๐‘)))
18 ioran 982 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (๐‘ = 0 โˆจ 0 < ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘))
1917, 18bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ < 0 โ†” (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)))
2019biimpar 478 . . . . . . . . 9 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)) โ†’ ๐‘ < 0)
21 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2213adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2322znegcld 12670 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
2414lt0neg1d 11785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ < 0 โ†” 0 < -๐‘))
2524biimpa 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ 0 < -๐‘)
26 elnnz 12570 . . . . . . . . . . . . 13 (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†” (-๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < -๐‘))
2723, 25, 26sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•)
28 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
2928subgss 19009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
30293ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
31 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
3230, 31sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
34 subgmulgcl.t . . . . . . . . . . . . 13 ยท = (.gโ€˜๐บ)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))
3628, 6, 34, 35mulgnn 18960 . . . . . . . . . . . 12 ((-๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))
3727, 33, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))
3831adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
3934subgmulgcl 19021 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐‘†)
4021, 23, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐‘†)
4137, 40eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘) โˆˆ ๐‘†)
42 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
43 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (invgโ€˜๐ป) = (invgโ€˜๐ป)
441, 42, 43subginv 19015 . . . . . . . . . 10 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘) โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))
4521, 41, 44syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))
4620, 45syldan 591 . . . . . . . 8 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))
479adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)) โ†’ seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹})))
4847fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘) = (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))
4948fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)) โ†’ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))
5046, 49eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))
5150anassrs 468 . . . . . 6 ((((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โˆง ยฌ 0 < ๐‘) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))
5251ifeq2da 4560 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))) = if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))))
5312, 52eqtrd 2772 . . . 4 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))) = if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))))
5453ifeq2da 4560 . . 3 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
555, 54eqtrd 2772 . 2 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
5628, 6, 2, 42, 34, 35mulgval 18956 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
5713, 32, 56syl2anc 584 . 2 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
581subgbas 19012 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜๐ป))
59583ad2ant1 1133 . . . 4 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜๐ป))
6031, 59eleqtrd 2835 . . 3 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป))
61 eqid 2732 . . . 4 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
62 eqid 2732 . . . 4 (+gโ€˜๐ป) = (+gโ€˜๐ป)
63 eqid 2732 . . . 4 (0gโ€˜๐ป) = (0gโ€˜๐ป)
64 subgmulg.t . . . 4 โˆ™ = (.gโ€˜๐ป)
65 eqid 2732 . . . 4 seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))
6661, 62, 63, 43, 64, 65mulgval 18956 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป)) โ†’ (๐‘ โˆ™ ๐‘‹) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
6713, 60, 66syl2anc 584 . 2 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โˆ™ ๐‘‹) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
6855, 57, 673eqtr4d 2782 1 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ โˆ™ ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11250  -cneg 11447  โ„•cn 12214  โ„คcz 12560  seqcseq 13968  Basecbs 17146   โ†พs cress 17175  +gcplusg 17199  0gc0g 17387  invgcminusg 18822  .gcmg 18952  SubGrpcsubg 19002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-seq 13969  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mulg 18953  df-subg 19005
This theorem is referenced by:  cycsubgcyg  19771  ablfac2  19961  zringmulg  21032  zringcyg  21045  remulg  21166  rezh  33020
  Copyright terms: Public domain W3C validator