MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgmulg 19020
Description: A group multiple is the same if evaluated in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgmulgcl.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
subgmulg.h ๐ป = (๐บ โ†พs ๐‘†)
subgmulg.t โˆ™ = (.gโ€˜๐ป)
Assertion
Ref Expression
subgmulg ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ โˆ™ ๐‘‹))

Proof of Theorem subgmulg
StepHypRef Expression
1 subgmulg.h . . . . . 6 ๐ป = (๐บ โ†พs ๐‘†)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
31, 2subg0 19012 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐ป))
433ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐ป))
54ifeq1d 4548 . . 3 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
6 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
71, 6ressplusg 17235 . . . . . . . . . 10 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐ป))
873ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐ป))
98seqeq2d 13973 . . . . . . . 8 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹})))
109adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹})))
1110fveq1d 6894 . . . . . 6 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘) = (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘))
1211ifeq1d 4548 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))) = if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))))
13 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1413zred 12666 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
15 0re 11216 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„
16 axlttri 11285 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ < 0 โ†” ยฌ (๐‘ = 0 โˆจ 0 < ๐‘)))
1714, 15, 16sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ < 0 โ†” ยฌ (๐‘ = 0 โˆจ 0 < ๐‘)))
18 ioran 983 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (๐‘ = 0 โˆจ 0 < ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘))
1917, 18bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ < 0 โ†” (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)))
2019biimpar 479 . . . . . . . . 9 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)) โ†’ ๐‘ < 0)
21 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2213adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2322znegcld 12668 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
2414lt0neg1d 11783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ < 0 โ†” 0 < -๐‘))
2524biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ 0 < -๐‘)
26 elnnz 12568 . . . . . . . . . . . . 13 (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†” (-๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < -๐‘))
2723, 25, 26sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•)
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
2928subgss 19007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
30293ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
31 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
3230, 31sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
3332adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
34 subgmulgcl.t . . . . . . . . . . . . 13 ยท = (.gโ€˜๐บ)
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))
3628, 6, 34, 35mulgnn 18958 . . . . . . . . . . . 12 ((-๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))
3727, 33, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))
3831adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
3934subgmulgcl 19019 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐‘†)
4021, 23, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐‘†)
4137, 40eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘) โˆˆ ๐‘†)
42 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
43 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (invgโ€˜๐ป) = (invgโ€˜๐ป)
441, 42, 43subginv 19013 . . . . . . . . . 10 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘) โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))
4521, 41, 44syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))
4620, 45syldan 592 . . . . . . . 8 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))
479adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)) โ†’ seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹})))
4847fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘) = (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))
4948fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)) โ†’ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))
5046, 49eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (ยฌ ๐‘ = 0 โˆง ยฌ 0 < ๐‘)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))
5150anassrs 469 . . . . . 6 ((((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โˆง ยฌ 0 < ๐‘) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))
5251ifeq2da 4561 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))) = if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))))
5312, 52eqtrd 2773 . . . 4 (((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ยฌ ๐‘ = 0) โ†’ if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))) = if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘))))
5453ifeq2da 4561 . . 3 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
555, 54eqtrd 2773 . 2 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
5628, 6, 2, 42, 34, 35mulgval 18954 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
5713, 32, 56syl2anc 585 . 2 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
581subgbas 19010 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜๐ป))
59583ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜๐ป))
6031, 59eleqtrd 2836 . . 3 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป))
61 eqid 2733 . . . 4 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
62 eqid 2733 . . . 4 (+gโ€˜๐ป) = (+gโ€˜๐ป)
63 eqid 2733 . . . 4 (0gโ€˜๐ป) = (0gโ€˜๐ป)
64 subgmulg.t . . . 4 โˆ™ = (.gโ€˜๐ป)
65 eqid 2733 . . . 4 seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))
6661, 62, 63, 43, 64, 65mulgval 18954 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป)) โ†’ (๐‘ โˆ™ ๐‘‹) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
6713, 60, 66syl2anc 585 . 2 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โˆ™ ๐‘‹) = if(๐‘ = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜-๐‘)))))
6855, 57, 673eqtr4d 2783 1 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ โˆ™ ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248  -cneg 11445  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  seqcseq 13966  Basecbs 17144   โ†พs cress 17173  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  invgcminusg 18820  .gcmg 18950  SubGrpcsubg 19000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003
This theorem is referenced by:  cycsubgcyg  19769  ablfac2  19959  zringmulg  21026  zringcyg  21039  remulg  21160  rezh  32951
  Copyright terms: Public domain W3C validator