MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanabsge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanabsge 26249
Description: The tangent function is greater than or equal to its argument in absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanabsge (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (absβ€˜π΄) ≀ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)))

Proof of Theorem tanabsge
StepHypRef Expression
1 elioore 13359 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32renegcld 11646 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 ∈ ℝ)
41lt0neg1d 11788 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
54biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 < -𝐴)
6 eliooord 13388 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (-(Ο€ / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)))
76simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ -(Ο€ / 2) < 𝐴)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -(Ο€ / 2) < 𝐴)
9 halfpire 26207 . . . . . . . . . . 11 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
10 ltnegcon1 11720 . . . . . . . . . . 11 (((Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (-(Ο€ / 2) < 𝐴 ↔ -𝐴 < (Ο€ / 2)))
119, 2, 10sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (-(Ο€ / 2) < 𝐴 ↔ -𝐴 < (Ο€ / 2)))
128, 11mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 < (Ο€ / 2))
13 0xr 11266 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
149rexri 11277 . . . . . . . . . 10 (Ο€ / 2) ∈ ℝ*
15 elioo2 13370 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ*) β†’ (-𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴 ∧ -𝐴 < (Ο€ / 2))))
1613, 14, 15mp2an 689 . . . . . . . . 9 (-𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴 ∧ -𝐴 < (Ο€ / 2)))
173, 5, 12, 16syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)))
18 sincosq1sgn 26241 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < (sinβ€˜-𝐴) ∧ 0 < (cosβ€˜-𝐴)))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (0 < (sinβ€˜-𝐴) ∧ 0 < (cosβ€˜-𝐴)))
2019simprd 495 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 < (cosβ€˜-𝐴))
2120gt0ne0d 11783 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (cosβ€˜-𝐴) β‰  0)
223, 21retancld 16093 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (tanβ€˜-𝐴) ∈ ℝ)
23 tangtx 26248 . . . . 5 (-𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ -𝐴 < (tanβ€˜-𝐴))
2417, 23syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 < (tanβ€˜-𝐴))
253, 22, 24ltled 11367 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 ≀ (tanβ€˜-𝐴))
26 0re 11221 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
27 ltle 11307 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 0 β†’ 𝐴 ≀ 0))
281, 26, 27sylancl 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 < 0 β†’ 𝐴 ≀ 0))
2928imp 406 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 𝐴 ≀ 0)
302, 29absnidd 15365 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (absβ€˜π΄) = -𝐴)
311recnd 11247 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3231adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3332negnegd 11567 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ --𝐴 = 𝐴)
3433fveq2d 6896 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (tanβ€˜--𝐴) = (tanβ€˜π΄))
3532negcld 11563 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
36 tanneg 16096 . . . . . . 7 ((-𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜-𝐴) β‰  0) β†’ (tanβ€˜--𝐴) = -(tanβ€˜-𝐴))
3735, 21, 36syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (tanβ€˜--𝐴) = -(tanβ€˜-𝐴))
3834, 37eqtr3d 2773 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (tanβ€˜π΄) = -(tanβ€˜-𝐴))
3938fveq2d 6896 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)) = (absβ€˜-(tanβ€˜-𝐴)))
4022recnd 11247 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (tanβ€˜-𝐴) ∈ β„‚)
4140absnegd 15401 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (absβ€˜-(tanβ€˜-𝐴)) = (absβ€˜(tanβ€˜-𝐴)))
42 0red 11222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
43 ltle 11307 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 < -𝐴 β†’ 0 ≀ -𝐴))
4426, 3, 43sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (0 < -𝐴 β†’ 0 ≀ -𝐴))
455, 44mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 ≀ -𝐴)
4642, 3, 22, 45, 25letrd 11376 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 ≀ (tanβ€˜-𝐴))
4722, 46absidd 15374 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (absβ€˜(tanβ€˜-𝐴)) = (tanβ€˜-𝐴))
4839, 41, 473eqtrd 2775 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)) = (tanβ€˜-𝐴))
4925, 30, 483brtr4d 5181 . 2 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (absβ€˜π΄) ≀ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)))
50 abs0 15237 . . . . . 6 (absβ€˜0) = 0
5150, 26eqeltri 2828 . . . . 5 (absβ€˜0) ∈ ℝ
5251leidi 11753 . . . 4 (absβ€˜0) ≀ (absβ€˜0)
5352a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (absβ€˜0) ≀ (absβ€˜0))
54 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐴 = 0)
5554fveq2d 6896 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (absβ€˜π΄) = (absβ€˜0))
5654fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (tanβ€˜π΄) = (tanβ€˜0))
57 tan0 16099 . . . . 5 (tanβ€˜0) = 0
5856, 57eqtrdi 2787 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (tanβ€˜π΄) = 0)
5958fveq2d 6896 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)) = (absβ€˜0))
6053, 55, 593brtr4d 5181 . 2 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (absβ€˜π΄) ≀ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)))
611adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
62 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < 𝐴)
636simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (Ο€ / 2))
6463adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 < (Ο€ / 2))
65 elioo2 13370 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2))))
6613, 14, 65mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)))
6761, 62, 64, 66syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)))
68 sincosq1sgn 26241 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
6967, 68syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
7069simprd 495 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < (cosβ€˜π΄))
7170gt0ne0d 11783 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
7261, 71retancld 16093 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (tanβ€˜π΄) ∈ ℝ)
73 tangtx 26248 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (tanβ€˜π΄))
7467, 73syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 < (tanβ€˜π΄))
7561, 72, 74ltled 11367 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ (tanβ€˜π΄))
76 ltle 11307 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
7726, 1, 76sylancr 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
7877imp 406 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 ≀ 𝐴)
7961, 78absidd 15374 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (absβ€˜π΄) = 𝐴)
80 0red 11222 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
8180, 61, 72, 78, 75letrd 11376 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 ≀ (tanβ€˜π΄))
8272, 81absidd 15374 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)) = (tanβ€˜π΄))
8375, 79, 823brtr4d 5181 . 2 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (absβ€˜π΄) ≀ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)))
84 lttri4 11303 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
851, 26, 84sylancl 585 . 2 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
8649, 60, 83, 85mpjao3dan 1430 1 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (absβ€˜π΄) ≀ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  -cneg 11450   / cdiv 11876  2c2 12272  (,)cioo 13329  abscabs 15186  sincsin 16012  cosccos 16013  tanctan 16014  Ο€cpi 16015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  logcnlem4  26386
  Copyright terms: Public domain W3C validator