MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanabsge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanabsge 26023
Description: The tangent function is greater than or equal to its argument in absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanabsge (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (absβ€˜π΄) ≀ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)))

Proof of Theorem tanabsge
StepHypRef Expression
1 elioore 13356 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32renegcld 11643 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 ∈ ℝ)
41lt0neg1d 11785 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
54biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 < -𝐴)
6 eliooord 13385 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (-(Ο€ / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)))
76simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ -(Ο€ / 2) < 𝐴)
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -(Ο€ / 2) < 𝐴)
9 halfpire 25981 . . . . . . . . . . 11 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
10 ltnegcon1 11717 . . . . . . . . . . 11 (((Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (-(Ο€ / 2) < 𝐴 ↔ -𝐴 < (Ο€ / 2)))
119, 2, 10sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (-(Ο€ / 2) < 𝐴 ↔ -𝐴 < (Ο€ / 2)))
128, 11mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 < (Ο€ / 2))
13 0xr 11263 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
149rexri 11274 . . . . . . . . . 10 (Ο€ / 2) ∈ ℝ*
15 elioo2 13367 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ*) β†’ (-𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴 ∧ -𝐴 < (Ο€ / 2))))
1613, 14, 15mp2an 690 . . . . . . . . 9 (-𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴 ∧ -𝐴 < (Ο€ / 2)))
173, 5, 12, 16syl3anbrc 1343 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)))
18 sincosq1sgn 26015 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < (sinβ€˜-𝐴) ∧ 0 < (cosβ€˜-𝐴)))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (0 < (sinβ€˜-𝐴) ∧ 0 < (cosβ€˜-𝐴)))
2019simprd 496 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 < (cosβ€˜-𝐴))
2120gt0ne0d 11780 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (cosβ€˜-𝐴) β‰  0)
223, 21retancld 16090 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (tanβ€˜-𝐴) ∈ ℝ)
23 tangtx 26022 . . . . 5 (-𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ -𝐴 < (tanβ€˜-𝐴))
2417, 23syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 < (tanβ€˜-𝐴))
253, 22, 24ltled 11364 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 ≀ (tanβ€˜-𝐴))
26 0re 11218 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
27 ltle 11304 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 0 β†’ 𝐴 ≀ 0))
281, 26, 27sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 < 0 β†’ 𝐴 ≀ 0))
2928imp 407 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 𝐴 ≀ 0)
302, 29absnidd 15362 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (absβ€˜π΄) = -𝐴)
311recnd 11244 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3231adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3332negnegd 11564 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ --𝐴 = 𝐴)
3433fveq2d 6895 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (tanβ€˜--𝐴) = (tanβ€˜π΄))
3532negcld 11560 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
36 tanneg 16093 . . . . . . 7 ((-𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜-𝐴) β‰  0) β†’ (tanβ€˜--𝐴) = -(tanβ€˜-𝐴))
3735, 21, 36syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (tanβ€˜--𝐴) = -(tanβ€˜-𝐴))
3834, 37eqtr3d 2774 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (tanβ€˜π΄) = -(tanβ€˜-𝐴))
3938fveq2d 6895 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)) = (absβ€˜-(tanβ€˜-𝐴)))
4022recnd 11244 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (tanβ€˜-𝐴) ∈ β„‚)
4140absnegd 15398 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (absβ€˜-(tanβ€˜-𝐴)) = (absβ€˜(tanβ€˜-𝐴)))
42 0red 11219 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
43 ltle 11304 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 < -𝐴 β†’ 0 ≀ -𝐴))
4426, 3, 43sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (0 < -𝐴 β†’ 0 ≀ -𝐴))
455, 44mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 ≀ -𝐴)
4642, 3, 22, 45, 25letrd 11373 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 ≀ (tanβ€˜-𝐴))
4722, 46absidd 15371 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (absβ€˜(tanβ€˜-𝐴)) = (tanβ€˜-𝐴))
4839, 41, 473eqtrd 2776 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)) = (tanβ€˜-𝐴))
4925, 30, 483brtr4d 5180 . 2 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (absβ€˜π΄) ≀ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)))
50 abs0 15234 . . . . . 6 (absβ€˜0) = 0
5150, 26eqeltri 2829 . . . . 5 (absβ€˜0) ∈ ℝ
5251leidi 11750 . . . 4 (absβ€˜0) ≀ (absβ€˜0)
5352a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (absβ€˜0) ≀ (absβ€˜0))
54 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐴 = 0)
5554fveq2d 6895 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (absβ€˜π΄) = (absβ€˜0))
5654fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (tanβ€˜π΄) = (tanβ€˜0))
57 tan0 16096 . . . . 5 (tanβ€˜0) = 0
5856, 57eqtrdi 2788 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (tanβ€˜π΄) = 0)
5958fveq2d 6895 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)) = (absβ€˜0))
6053, 55, 593brtr4d 5180 . 2 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (absβ€˜π΄) ≀ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)))
611adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
62 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < 𝐴)
636simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (Ο€ / 2))
6463adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 < (Ο€ / 2))
65 elioo2 13367 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2))))
6613, 14, 65mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)))
6761, 62, 64, 66syl3anbrc 1343 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)))
68 sincosq1sgn 26015 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
6967, 68syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
7069simprd 496 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < (cosβ€˜π΄))
7170gt0ne0d 11780 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
7261, 71retancld 16090 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (tanβ€˜π΄) ∈ ℝ)
73 tangtx 26022 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 < (tanβ€˜π΄))
7467, 73syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 < (tanβ€˜π΄))
7561, 72, 74ltled 11364 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ (tanβ€˜π΄))
76 ltle 11304 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
7726, 1, 76sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
7877imp 407 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 ≀ 𝐴)
7961, 78absidd 15371 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (absβ€˜π΄) = 𝐴)
80 0red 11219 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
8180, 61, 72, 78, 75letrd 11373 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 ≀ (tanβ€˜π΄))
8272, 81absidd 15371 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)) = (tanβ€˜π΄))
8375, 79, 823brtr4d 5180 . 2 ((𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (absβ€˜π΄) ≀ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)))
84 lttri4 11300 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
851, 26, 84sylancl 586 . 2 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
8649, 60, 83, 85mpjao3dan 1431 1 (𝐴 ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) β†’ (absβ€˜π΄) ≀ (absβ€˜(tanβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  (,)cioo 13326  abscabs 15183  sincsin 16009  cosccos 16010  tanctan 16011  Ο€cpi 16012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by:  logcnlem4  26160
  Copyright terms: Public domain W3C validator