MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanabsge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanabsge 25863
Description: The tangent function is greater than or equal to its argument in absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanabsge (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (abs‘𝐴) ≤ (abs‘(tan‘𝐴)))

Proof of Theorem tanabsge
StepHypRef Expression
1 elioore 13294 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
32renegcld 11582 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
41lt0neg1d 11724 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
54biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
6 eliooord 13323 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (-(π / 2) < 𝐴𝐴 < (π / 2)))
76simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → -(π / 2) < 𝐴)
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → -(π / 2) < 𝐴)
9 halfpire 25821 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℝ
10 ltnegcon1 11656 . . . . . . . . . . 11 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-(π / 2) < 𝐴 ↔ -𝐴 < (π / 2)))
119, 2, 10sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (-(π / 2) < 𝐴 ↔ -𝐴 < (π / 2)))
128, 11mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (π / 2))
13 0xr 11202 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
149rexri 11213 . . . . . . . . . 10 (π / 2) ∈ ℝ*
15 elioo2 13305 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (-𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴 ∧ -𝐴 < (π / 2))))
1613, 14, 15mp2an 690 . . . . . . . . 9 (-𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴 ∧ -𝐴 < (π / 2)))
173, 5, 12, 16syl3anbrc 1343 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)))
18 sincosq1sgn 25855 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘-𝐴) ∧ 0 < (cos‘-𝐴)))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < (sin‘-𝐴) ∧ 0 < (cos‘-𝐴)))
2019simprd 496 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < (cos‘-𝐴))
2120gt0ne0d 11719 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘-𝐴) ≠ 0)
223, 21retancld 16027 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (tan‘-𝐴) ∈ ℝ)
23 tangtx 25862 . . . . 5 (-𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → -𝐴 < (tan‘-𝐴))
2417, 23syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (tan‘-𝐴))
253, 22, 24ltled 11303 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ≤ (tan‘-𝐴))
26 0re 11157 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
27 ltle 11243 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
281, 26, 27sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
2928imp 407 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ≤ 0)
302, 29absnidd 15298 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
311recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3231adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3332negnegd 11503 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → --𝐴 = 𝐴)
3433fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (tan‘--𝐴) = (tan‘𝐴))
3532negcld 11499 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
36 tanneg 16030 . . . . . . 7 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘-𝐴) ≠ 0) → (tan‘--𝐴) = -(tan‘-𝐴))
3735, 21, 36syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (tan‘--𝐴) = -(tan‘-𝐴))
3834, 37eqtr3d 2778 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (tan‘𝐴) = -(tan‘-𝐴))
3938fveq2d 6846 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (abs‘(tan‘𝐴)) = (abs‘-(tan‘-𝐴)))
4022recnd 11183 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (tan‘-𝐴) ∈ ℂ)
4140absnegd 15334 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (abs‘-(tan‘-𝐴)) = (abs‘(tan‘-𝐴)))
42 0red 11158 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
43 ltle 11243 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (0 < -𝐴 → 0 ≤ -𝐴))
4426, 3, 43sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < -𝐴 → 0 ≤ -𝐴))
455, 44mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ -𝐴)
4642, 3, 22, 45, 25letrd 11312 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ (tan‘-𝐴))
4722, 46absidd 15307 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (abs‘(tan‘-𝐴)) = (tan‘-𝐴))
4839, 41, 473eqtrd 2780 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (abs‘(tan‘𝐴)) = (tan‘-𝐴))
4925, 30, 483brtr4d 5137 . 2 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (abs‘𝐴) ≤ (abs‘(tan‘𝐴)))
50 abs0 15170 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
5150, 26eqeltri 2834 . . . . 5 (abs‘0) ∈ ℝ
5251leidi 11689 . . . 4 (abs‘0) ≤ (abs‘0)
5352a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘0) ≤ (abs‘0))
54 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
5554fveq2d 6846 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
5654fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 = 0) → (tan‘𝐴) = (tan‘0))
57 tan0 16033 . . . . 5 (tan‘0) = 0
5856, 57eqtrdi 2792 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 = 0) → (tan‘𝐴) = 0)
5958fveq2d 6846 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘(tan‘𝐴)) = (abs‘0))
6053, 55, 593brtr4d 5137 . 2 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘𝐴) ≤ (abs‘(tan‘𝐴)))
611adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
62 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
636simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
6463adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (π / 2))
65 elioo2 13305 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < (π / 2))))
6613, 14, 65mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < (π / 2)))
6761, 62, 64, 66syl3anbrc 1343 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)))
68 sincosq1sgn 25855 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
6967, 68syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
7069simprd 496 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (cos‘𝐴))
7170gt0ne0d 11719 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
7261, 71retancld 16027 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → (tan‘𝐴) ∈ ℝ)
73 tangtx 25862 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 < (tan‘𝐴))
7467, 73syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (tan‘𝐴))
7561, 72, 74ltled 11303 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (tan‘𝐴))
76 ltle 11243 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
7726, 1, 76sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
7877imp 407 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
7961, 78absidd 15307 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
80 0red 11158 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
8180, 61, 72, 78, 75letrd 11312 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (tan‘𝐴))
8272, 81absidd 15307 . . 3 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘(tan‘𝐴)) = (tan‘𝐴))
8375, 79, 823brtr4d 5137 . 2 ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) ≤ (abs‘(tan‘𝐴)))
84 lttri4 11239 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
851, 26, 84sylancl 586 . 2 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
8649, 60, 83, 85mpjao3dan 1431 1 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (abs‘𝐴) ≤ (abs‘(tan‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  (,)cioo 13264  abscabs 15119  sincsin 15946  cosccos 15947  tanctan 15948  πcpi 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  logcnlem4  26000
  Copyright terms: Public domain W3C validator