Theorem fourierdlem47 46850

Description: For 𝑟 large enough, the final expression is less than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem47.ibl	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐹) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.iblmul	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem47.g	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absg	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
fourierdlem47.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem47.x	⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem47.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem47.y	⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem47.z	⊢ 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
fourierdlem47.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem47.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem47.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
fourierdlem47.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem47	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝐷,𝑚   𝑚,𝐸   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐼,𝑥   𝑚,𝑀,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑥,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑟)   𝐸(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑟)   𝐼(𝑟)   𝑋(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑍(𝑥,𝑚,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem47.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
2		fourierdlem47.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
3		fourierdlem47.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	abscld 15492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	2, 4	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6		fourierdlem47.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
7		fourierdlem47.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	abscld 15492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
10	5, 9	readdcld 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
11		fourierdlem47.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
12		fourierdlem47.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
13	12	abscld 15492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
14		fourierdlem47.ibl	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐹) ∈ 𝐿1)
15	12, 14	iblabs 25969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
16	13, 15	itgrecl 25938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥 ∈ ℝ)
17	11, 16	eqeltrid 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
18	10, 17	readdcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
19		fourierdlem47.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 13061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
21	19	rpne0d 13066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
22	18, 20, 21	redivcld 12044	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
23		1red 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 11239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
25	24	flcld 13833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ)
26		0red 11212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27		reflcl 13831	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
28	24, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
29		0lt1 11737	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
31	3	absge0d 15500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
32	31, 2	breqtrrdi 5154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
33	7	absge0d 15500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
34	33, 6	breqtrrdi 5154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
35	5, 9, 32, 34	addge0d 11791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
36	12	absge0d 15500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
37	15, 13, 36	itgge0 25951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
38	37, 11	breqtrrdi 5154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
39	10, 17, 35, 38	addge0d 11791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
40	18, 19, 39	divge0d 13101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
41		flge0nn0 13855	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
42	22, 40, 41	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
43		nn0addge1 12551	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
44	23, 42, 43	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
45		1z 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
46		fladdz 13860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
47	22, 45, 46	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
48	42	nn0cnd 12568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℂ)
49	23	recnd 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
50	48, 49	addcomd 11413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1) = (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
51	47, 50	eqtr2d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))) = (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
52	44, 51	breqtrd 5138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
53	26, 23, 28, 30, 52	ltletrd 11371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
54		elnnz 12602	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))))
55	25, 53, 54	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ)
56	55	peano2nnd 12251	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℕ)
57	1, 56	eqeltrid 2867	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
58		elioore 13403	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
59		fourierdlem47.iblmul	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
60	58, 59	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
61	12	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
62		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝜑)
63		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
64	58	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑟 ∈ ℝ)
65	64	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑟 ∈ ℂ)
66		fourierdlem47.g	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
67	62, 63, 65, 66	syl21anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
68	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℂ)
70		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
71	19	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
72	58	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
73	2	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝐴) = 𝑋
74	6	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝐶) = 𝑌
75	73, 74	oveq12i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
76	75	oveq1i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
77	4	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
78	8	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
79	77, 78	readdcld 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
80	67	negcld 11557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
81	61, 80	mulcld 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
82	81, 60	itgcl 25924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
83	82	abscld 15492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
84	79, 83	readdcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
85	76, 84	eqeltrrid 2868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
86	20	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ)
87	21	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ≠ 0)
88	85, 86, 87	redivcld 12044	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ∈ ℝ)
89		1red 11210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
90	88, 89	readdcld 11239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
91	2, 77	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
92	6, 78	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑌 ∈ ℝ)
93	91, 92	readdcld 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
94	17	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑍 ∈ ℝ)
95	93, 94	readdcld 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
96	95, 86, 87	redivcld 12044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
97	96, 89	readdcld 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
98	97, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
99	98, 89	readdcld 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
100	1, 99	eqeltrid 2867	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
101	81	abscld 15492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ∈ ℝ)
102	81, 60	iblabs 25969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (abs‘(𝐹 · -𝐺))) ∈ 𝐿1)
103	101, 102	itgrecl 25938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ∈ ℝ)
104	81, 60	itgabs 25975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
105	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
106	61	abscld 15492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
107	61, 80	absmuld 15510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) = ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)))
108	80	abscld 15492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘-𝐺) ∈ ℝ)
109		1red 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℝ)
110	61	absge0d 15500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
111		recn 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℂ)
112	111, 66	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝐺 ∈ ℂ)
113	112	absnegd 15505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) = (abs‘𝐺))
114		fourierdlem47.absg	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
115	113, 114	eqbrtrd 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
116	62, 63, 64, 115	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
117	108, 109, 106, 110, 116	lemul2ad 12156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ ((abs‘𝐹) · 1))
118	106	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℂ)
119	118	mulridd 11227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝐹) · 1) = (abs‘𝐹))
120	117, 119	breqtrd 5138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
121	107, 120	eqbrtrd 5134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
122	102, 105, 101, 106, 121	itgle 25950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
123	122, 11	breqtrrdi 5154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ≤ 𝑍)
124	83, 103, 94, 104, 123	letrd 11368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ 𝑍)
125	83, 94, 93, 124	leadd2dd 11830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
126	85, 95, 71, 125	lediv1dd 13119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
127		flltp1 13835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
128	96, 127	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
129	96, 45, 46	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
130	128, 129	breqtrrd 5140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
131	88, 96, 98, 126, 130	lelttrd 11369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
132	88, 98, 89, 131	ltadd1dd 11826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1))
133	132, 1	breqtrrdi 5154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑀)
134	100	rexrd 11260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
135		pnfxr 11264	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
136	135	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
137		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞))
138		ioogtlb 46194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
139	134, 136, 137, 138	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
140	90, 100, 72, 133, 139	lttrd 11372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑟)
141	90, 72, 140	ltled 11359	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑟)
142	72	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
143		fourierdlem47.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
144	142, 143	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
145		fourierdlem47.absb	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
146	58, 145	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
147		fourierdlem47.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
148	142, 147	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℂ)
149		fourierdlem47.absd	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
150	58, 149	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
151	60, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150	fourierdlem30 46834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
152	151	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
153		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚(,)+∞) = (𝑀(,)+∞))
154	153	raleqdv 3323	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸))
155	154	rspcev 3582	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
156	57, 152, 155	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  -cneg 11443   / cdiv 11872  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ℝ⁺crp 13017  (,)cioo 13373  ⌊cfl 13825  abscabs 15287  𝐿¹cibl 25757  ∫citg 25758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-cmp 23525  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-ovol 25604  df-vol 25605  df-mbf 25759  df-itg1 25760  df-itg2 25761  df-ibl 25762  df-itg 25763  df-0p 25810

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  46876