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Theorem fourierdlem47 44468
Description: For π‘Ÿ large enough, the final expression is less than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem47.ibl (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐹) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.iblmul ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 Β· -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.f ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
fourierdlem47.g (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ 𝐺 ∈ β„‚)
fourierdlem47.absg (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜πΊ) ≀ 1)
fourierdlem47.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
fourierdlem47.x 𝑋 = (absβ€˜π΄)
fourierdlem47.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
fourierdlem47.y π‘Œ = (absβ€˜πΆ)
fourierdlem47.z 𝑍 = ∫𝐼(absβ€˜πΉ) dπ‘₯
fourierdlem47.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem47.b ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fourierdlem47.absb ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π΅) ≀ 1)
fourierdlem47.d ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
fourierdlem47.absd ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π·) ≀ 1)
fourierdlem47.m 𝑀 = ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem47 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š   𝐡,π‘š   𝐢,π‘š   𝐷,π‘š   π‘š,𝐸   π‘š,𝐹   π‘š,𝐺   π‘š,𝐼,π‘₯   π‘š,𝑀,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,π‘Ÿ,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐴(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐡(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐢(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐷(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐸(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐼(π‘Ÿ)   𝑋(π‘₯,π‘š,π‘Ÿ)   π‘Œ(π‘₯,π‘š,π‘Ÿ)   𝑍(π‘₯,π‘š,π‘Ÿ)

Proof of Theorem fourierdlem47
StepHypRef Expression
1 fourierdlem47.m . . 3 𝑀 = ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
2 fourierdlem47.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (absβ€˜π΄)
3 fourierdlem47.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
43abscld 15328 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
52, 4eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem47.y . . . . . . . . . . 11 π‘Œ = (absβ€˜πΆ)
7 fourierdlem47.c . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
87abscld 15328 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
96, 8eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
105, 9readdcld 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ℝ)
11 fourierdlem47.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = ∫𝐼(absβ€˜πΉ) dπ‘₯
12 fourierdlem47.f . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
1312abscld 15328 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
14 fourierdlem47.ibl . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐹) ∈ 𝐿1)
1512, 14iblabs 25209 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (absβ€˜πΉ)) ∈ 𝐿1)
1613, 15itgrecl 25178 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∫𝐼(absβ€˜πΉ) dπ‘₯ ∈ ℝ)
1711, 16eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 11191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) ∈ ℝ)
19 fourierdlem47.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
2019rpred 12964 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
2119rpne0d 12969 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  0)
2218, 20, 21redivcld 11990 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
23 1red 11163 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 11191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
2524flcld 13710 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ β„€)
26 0red 11165 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
27 reflcl 13708 . . . . . . 7 (((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
2824, 27syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
29 0lt1 11684 . . . . . . 7 0 < 1
3029a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
313absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΄))
3231, 2breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑋)
337absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜πΆ))
3433, 6breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ π‘Œ)
355, 9, 32, 34addge0d 11738 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑋 + π‘Œ))
3612absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (absβ€˜πΉ))
3715, 13, 36itgge0 25191 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ∫𝐼(absβ€˜πΉ) dπ‘₯)
3837, 11breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑍)
3910, 17, 35, 38addge0d 11738 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
4018, 19, 39divge0d 13004 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸))
41 flge0nn0 13732 . . . . . . . . 9 (((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) β†’ (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ β„•0)
4222, 40, 41syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ β„•0)
43 nn0addge1 12466 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ β„•0) β†’ 1 ≀ (1 + (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸))))
4423, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (1 + (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸))))
45 1z 12540 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
46 fladdz 13737 . . . . . . . . 9 (((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
4722, 45, 46sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
4842nn0cnd 12482 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ β„‚)
4923recnd 11190 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
5048, 49addcomd 11364 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) + 1) = (1 + (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸))))
5147, 50eqtr2d 2778 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 + (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸))) = (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
5244, 51breqtrd 5136 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
5326, 23, 28, 30, 52ltletrd 11322 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
54 elnnz 12516 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ β„• ↔ ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ β„€ ∧ 0 < (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1))))
5525, 53, 54sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ β„•)
5655peano2nnd 12177 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ β„•)
571, 56eqeltrid 2842 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
58 elioore 13301 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
59 fourierdlem47.iblmul . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 Β· -𝐺)) ∈ 𝐿1)
6058, 59sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 Β· -𝐺)) ∈ 𝐿1)
6112adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
62 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ πœ‘)
63 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
6458ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
6564recnd 11190 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
66 fourierdlem47.g . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ 𝐺 ∈ β„‚)
6762, 63, 65, 66syl21anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ β„‚)
683adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
697adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
70 eqid 2737 . . . 4 (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯) = (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)
7119adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
7258adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
732eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜π΄) = 𝑋
746eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜πΆ) = π‘Œ
7573, 74oveq12i 7374 . . . . . . . . 9 ((absβ€˜π΄) + (absβ€˜πΆ)) = (𝑋 + π‘Œ)
7675oveq1i 7372 . . . . . . . 8 (((absβ€˜π΄) + (absβ€˜πΆ)) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) = ((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯))
774adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
788adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
7977, 78readdcld 11191 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((absβ€˜π΄) + (absβ€˜πΆ)) ∈ ℝ)
8067negcld 11506 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ -𝐺 ∈ β„‚)
8161, 80mulcld 11182 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐹 Β· -𝐺) ∈ β„‚)
8281, 60itgcl 25164 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ∫𝐼(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯ ∈ β„‚)
8382abscld 15328 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯) ∈ ℝ)
8479, 83readdcld 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((absβ€˜π΄) + (absβ€˜πΆ)) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
8576, 84eqeltrrid 2843 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
8620adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
8721adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐸 β‰  0)
8885, 86, 87redivcld 11990 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) ∈ ℝ)
89 1red 11163 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
9088, 89readdcld 11191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
912, 77eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
926, 78eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ℝ)
9417adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝑍 ∈ ℝ)
9593, 94readdcld 11191 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) ∈ ℝ)
9695, 86, 87redivcld 11990 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
9796, 89readdcld 11191 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
9897, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
9998, 89readdcld 11191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
1001, 99eqeltrid 2842 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
10181abscld 15328 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) ∈ ℝ)
10281, 60iblabs 25209 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺))) ∈ 𝐿1)
103101, 102itgrecl 25178 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ∫𝐼(absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) dπ‘₯ ∈ ℝ)
10481, 60itgabs 25215 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯) ≀ ∫𝐼(absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) dπ‘₯)
10515adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (absβ€˜πΉ)) ∈ 𝐿1)
10661abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
10761, 80absmuld 15346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) = ((absβ€˜πΉ) Β· (absβ€˜-𝐺)))
10880abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜-𝐺) ∈ ℝ)
109 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 1 ∈ ℝ)
11061absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (absβ€˜πΉ))
111 recn 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
112111, 66sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ 𝐺 ∈ β„‚)
113112absnegd 15341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜-𝐺) = (absβ€˜πΊ))
114 fourierdlem47.absg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜πΊ) ≀ 1)
115113, 114eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜-𝐺) ≀ 1)
11662, 63, 64, 115syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜-𝐺) ≀ 1)
117108, 109, 106, 110, 116lemul2ad 12102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜πΉ) Β· (absβ€˜-𝐺)) ≀ ((absβ€˜πΉ) Β· 1))
118106recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
119118mulid1d 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜πΉ) Β· 1) = (absβ€˜πΉ))
120117, 119breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜πΉ) Β· (absβ€˜-𝐺)) ≀ (absβ€˜πΉ))
121107, 120eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) ≀ (absβ€˜πΉ))
122102, 105, 101, 106, 121itgle 25190 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ∫𝐼(absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) dπ‘₯ ≀ ∫𝐼(absβ€˜πΉ) dπ‘₯)
123122, 11breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ∫𝐼(absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) dπ‘₯ ≀ 𝑍)
12483, 103, 94, 104, 123letrd 11319 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯) ≀ 𝑍)
12583, 94, 93, 124leadd2dd 11777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) ≀ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
12685, 95, 71, 125lediv1dd 13022 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) ≀ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸))
127 flltp1 13712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) < ((βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
12896, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) < ((βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
12996, 45, 46sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
130128, 129breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) < (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13188, 96, 98, 126, 130lelttrd 11320 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) < (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13288, 98, 89, 131ltadd1dd 11773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) + 1) < ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1))
133132, 1breqtrrdi 5152 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) + 1) < 𝑀)
134100rexrd 11212 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
135 pnfxr 11216 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
136135a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
137 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞))
138 ioogtlb 43807 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝑀 < π‘Ÿ)
139134, 136, 137, 138syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝑀 < π‘Ÿ)
14090, 100, 72, 133, 139lttrd 11323 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) + 1) < π‘Ÿ)
14190, 72, 140ltled 11310 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) + 1) ≀ π‘Ÿ)
14272recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
143 fourierdlem47.b . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
144142, 143syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
145 fourierdlem47.absb . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π΅) ≀ 1)
14658, 145sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜π΅) ≀ 1)
147 fourierdlem47.d . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
148142, 147syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
149 fourierdlem47.absd . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π·) ≀ 1)
15058, 149sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜π·) ≀ 1)
15160, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150fourierdlem30 44452 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸)
152151ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸)
153 oveq1 7369 . . . 4 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘š(,)+∞) = (𝑀(,)+∞))
154153raleqdv 3316 . . 3 (π‘š = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸))
155154rspcev 3584 . 2 ((𝑀 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸)
15657, 152, 155syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  βŒŠcfl 13702  abscabs 15126  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  44494
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