Theorem fourierdlem47 46675

Description: For 𝑟 large enough, the final expression is less than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem47.ibl	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐹) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.iblmul	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem47.g	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absg	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
fourierdlem47.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem47.x	⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem47.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem47.y	⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem47.z	⊢ 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
fourierdlem47.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem47.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem47.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
fourierdlem47.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem47	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝐷,𝑚   𝑚,𝐸   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐼,𝑥   𝑚,𝑀,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑥,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑟)   𝐸(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑟)   𝐼(𝑟)   𝑋(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑍(𝑥,𝑚,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem47.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
2		fourierdlem47.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
3		fourierdlem47.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	abscld 15442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	2, 4	eqeltrid 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6		fourierdlem47.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
7		fourierdlem47.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	abscld 15442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrid 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
10	5, 9	readdcld 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
11		fourierdlem47.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
12		fourierdlem47.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
13	12	abscld 15442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
14		fourierdlem47.ibl	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐹) ∈ 𝐿1)
15	12, 14	iblabs 25864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
16	13, 15	itgrecl 25833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥 ∈ ℝ)
17	11, 16	eqeltrid 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
18	10, 17	readdcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
19		fourierdlem47.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 13027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
21	19	rpne0d 13032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
22	18, 20, 21	redivcld 12009	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
23		1red 11172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 11201	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
25	24	flcld 13798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ)
26		0red 11174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27		reflcl 13796	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
28	24, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
29		0lt1 11699	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
31	3	absge0d 15450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
32	31, 2	breqtrrdi 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
33	7	absge0d 15450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
34	33, 6	breqtrrdi 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
35	5, 9, 32, 34	addge0d 11753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
36	12	absge0d 15450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
37	15, 13, 36	itgge0 25846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
38	37, 11	breqtrrdi 5136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
39	10, 17, 35, 38	addge0d 11753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
40	18, 19, 39	divge0d 13067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
41		flge0nn0 13820	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
42	22, 40, 41	syl2anc 592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
43		nn0addge1 12517	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
44	23, 42, 43	syl2anc 592	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
45		1z 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
46		fladdz 13825	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
47	22, 45, 46	sylancl 594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
48	42	nn0cnd 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℂ)
49	23	recnd 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
50	48, 49	addcomd 11375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1) = (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
51	47, 50	eqtr2d 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))) = (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
52	44, 51	breqtrd 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
53	26, 23, 28, 30, 52	ltletrd 11333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
54		elnnz 12568	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))))
55	25, 53, 54	sylanbrc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ)
56	55	peano2nnd 12217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℕ)
57	1, 56	eqeltrid 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
58		elioore 13369	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
59		fourierdlem47.iblmul	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
60	58, 59	sylan2 601	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
61	12	adantlr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
62		simpll 774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝜑)
63		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
64	58	ad2antlr 735	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑟 ∈ ℝ)
65	64	recnd 11200	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑟 ∈ ℂ)
66		fourierdlem47.g	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
67	62, 63, 65, 66	syl21anc 846	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
68	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	7	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℂ)
70		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
71	19	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
72	58	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
73	2	eqcomi 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝐴) = 𝑋
74	6	eqcomi 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝐶) = 𝑌
75	73, 74	oveq12i 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
76	75	oveq1i 7395	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
77	4	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
78	8	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
79	77, 78	readdcld 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
80	67	negcld 11519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
81	61, 80	mulcld 11192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
82	81, 60	itgcl 25819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
83	82	abscld 15442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
84	79, 83	readdcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
85	76, 84	eqeltrrid 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
86	20	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ)
87	21	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ≠ 0)
88	85, 86, 87	redivcld 12009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ∈ ℝ)
89		1red 11172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
90	88, 89	readdcld 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
91	2, 77	eqeltrid 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
92	6, 78	eqeltrid 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑌 ∈ ℝ)
93	91, 92	readdcld 11201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
94	17	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑍 ∈ ℝ)
95	93, 94	readdcld 11201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
96	95, 86, 87	redivcld 12009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
97	96, 89	readdcld 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
98	97, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
99	98, 89	readdcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
100	1, 99	eqeltrid 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
101	81	abscld 15442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ∈ ℝ)
102	81, 60	iblabs 25864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (abs‘(𝐹 · -𝐺))) ∈ 𝐿1)
103	101, 102	itgrecl 25833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ∈ ℝ)
104	81, 60	itgabs 25870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
105	15	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
106	61	abscld 15442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
107	61, 80	absmuld 15460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) = ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)))
108	80	abscld 15442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘-𝐺) ∈ ℝ)
109		1red 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℝ)
110	61	absge0d 15450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
111		recn 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℂ)
112	111, 66	sylan2 601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝐺 ∈ ℂ)
113	112	absnegd 15455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) = (abs‘𝐺))
114		fourierdlem47.absg	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
115	113, 114	eqbrtrd 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
116	62, 63, 64, 115	syl21anc 846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
117	108, 109, 106, 110, 116	lemul2ad 12122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ ((abs‘𝐹) · 1))
118	106	recnd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℂ)
119	118	mulridd 11189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝐹) · 1) = (abs‘𝐹))
120	117, 119	breqtrd 5120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
121	107, 120	eqbrtrd 5116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
122	102, 105, 101, 106, 121	itgle 25845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
123	122, 11	breqtrrdi 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ≤ 𝑍)
124	83, 103, 94, 104, 123	letrd 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ 𝑍)
125	83, 94, 93, 124	leadd2dd 11792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
126	85, 95, 71, 125	lediv1dd 13085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
127		flltp1 13800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
128	96, 127	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
129	96, 45, 46	sylancl 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
130	128, 129	breqtrrd 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
131	88, 96, 98, 126, 130	lelttrd 11331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
132	88, 98, 89, 131	ltadd1dd 11788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1))
133	132, 1	breqtrrdi 5136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑀)
134	100	rexrd 11222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
135		pnfxr 11226	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
136	135	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
137		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞))
138		ioogtlb 46019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
139	134, 136, 137, 138	syl3anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
140	90, 100, 72, 133, 139	lttrd 11334	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑟)
141	90, 72, 140	ltled 11321	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑟)
142	72	recnd 11200	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
143		fourierdlem47.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
144	142, 143	syldan 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
145		fourierdlem47.absb	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
146	58, 145	sylan2 601	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
147		fourierdlem47.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
148	142, 147	syldan 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℂ)
149		fourierdlem47.absd	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
150	58, 149	sylan2 601	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
151	60, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150	fourierdlem30 46659	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
152	151	ralrimiva 3148	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
153		oveq1 7392	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚(,)+∞) = (𝑀(,)+∞))
154	153	raleqdv 3314	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸))
155	154	rspcev 3576	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
156	57, 152, 155	syl2anc 592	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3080   class class class wbr 5094   ↦ cmpt 5175  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  ℝcr 11062  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068  +∞cpnf 11203  ℝ^*cxr 11205   < clt 11206   ≤ cle 11207   − cmin 11404  -cneg 11405   / cdiv 11834  ℕcn 12200  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12983  (,)cioo 13339  ⌊cfl 13790  abscabs 15237  𝐿¹cibl 25652  ∫citg 25653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cc 10382  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-disj 5062  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-ofr 7650  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-oadd 8429  df-omul 8430  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-dju 9849  df-card 9887  df-acn 9890  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-ioo 13343  df-ioc 13344  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-rest 17427  df-topn 17428  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-topgen 17448  df-pt 17449  df-prds 17452  df-xrs 17508  df-qtop 17513  df-imas 17514  df-xps 17516  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-mulg 19086  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-mopn 21393  df-cnfld 21398  df-top 22927  df-topon 22944  df-topsp 22966  df-bases 22979  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-cmp 23420  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-cncf 24913  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  46701