Theorem fourierdlem47 46173

Description: For 𝑟 large enough, the final expression is less than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem47.ibl	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐹) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.iblmul	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem47.g	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absg	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
fourierdlem47.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem47.x	⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem47.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem47.y	⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem47.z	⊢ 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
fourierdlem47.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem47.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem47.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
fourierdlem47.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem47	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝐷,𝑚   𝑚,𝐸   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐼,𝑥   𝑚,𝑀,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑥,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑟)   𝐸(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑟)   𝐼(𝑟)   𝑋(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑍(𝑥,𝑚,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem47.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
2		fourierdlem47.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
3		fourierdlem47.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	abscld 15476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	2, 4	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6		fourierdlem47.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
7		fourierdlem47.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	abscld 15476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
10	5, 9	readdcld 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
11		fourierdlem47.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
12		fourierdlem47.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
13	12	abscld 15476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
14		fourierdlem47.ibl	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐹) ∈ 𝐿1)
15	12, 14	iblabs 25865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
16	13, 15	itgrecl 25834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥 ∈ ℝ)
17	11, 16	eqeltrid 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
18	10, 17	readdcld 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
19		fourierdlem47.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 13078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
21	19	rpne0d 13083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
22	18, 20, 21	redivcld 12096	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
23		1red 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 11291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
25	24	flcld 13839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ)
26		0red 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27		reflcl 13837	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
28	24, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
29		0lt1 11786	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
31	3	absge0d 15484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
32	31, 2	breqtrrdi 5184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
33	7	absge0d 15484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
34	33, 6	breqtrrdi 5184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
35	5, 9, 32, 34	addge0d 11840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
36	12	absge0d 15484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
37	15, 13, 36	itgge0 25847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
38	37, 11	breqtrrdi 5184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
39	10, 17, 35, 38	addge0d 11840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
40	18, 19, 39	divge0d 13118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
41		flge0nn0 13861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
42	22, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
43		nn0addge1 12574	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
44	23, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
45		1z 12649	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
46		fladdz 13866	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
47	22, 45, 46	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
48	42	nn0cnd 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℂ)
49	23	recnd 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
50	48, 49	addcomd 11464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1) = (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
51	47, 50	eqtr2d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))) = (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
52	44, 51	breqtrd 5168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
53	26, 23, 28, 30, 52	ltletrd 11422	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
54		elnnz 12625	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))))
55	25, 53, 54	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ)
56	55	peano2nnd 12284	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℕ)
57	1, 56	eqeltrid 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
58		elioore 13418	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
59		fourierdlem47.iblmul	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
60	58, 59	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
61	12	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
62		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝜑)
63		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
64	58	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑟 ∈ ℝ)
65	64	recnd 11290	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑟 ∈ ℂ)
66		fourierdlem47.g	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
67	62, 63, 65, 66	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
68	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℂ)
70		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
71	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
72	58	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
73	2	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝐴) = 𝑋
74	6	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝐶) = 𝑌
75	73, 74	oveq12i 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
76	75	oveq1i 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
77	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
78	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
79	77, 78	readdcld 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
80	67	negcld 11608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
81	61, 80	mulcld 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
82	81, 60	itgcl 25820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
83	82	abscld 15476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
84	79, 83	readdcld 11291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
85	76, 84	eqeltrrid 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
86	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ)
87	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ≠ 0)
88	85, 86, 87	redivcld 12096	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ∈ ℝ)
89		1red 11263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
90	88, 89	readdcld 11291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
91	2, 77	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
92	6, 78	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑌 ∈ ℝ)
93	91, 92	readdcld 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
94	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑍 ∈ ℝ)
95	93, 94	readdcld 11291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
96	95, 86, 87	redivcld 12096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
97	96, 89	readdcld 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
98	97, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
99	98, 89	readdcld 11291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
100	1, 99	eqeltrid 2844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
101	81	abscld 15476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ∈ ℝ)
102	81, 60	iblabs 25865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (abs‘(𝐹 · -𝐺))) ∈ 𝐿1)
103	101, 102	itgrecl 25834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ∈ ℝ)
104	81, 60	itgabs 25871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
105	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
106	61	abscld 15476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
107	61, 80	absmuld 15494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) = ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)))
108	80	abscld 15476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘-𝐺) ∈ ℝ)
109		1red 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℝ)
110	61	absge0d 15484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
111		recn 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℂ)
112	111, 66	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝐺 ∈ ℂ)
113	112	absnegd 15489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) = (abs‘𝐺))
114		fourierdlem47.absg	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
115	113, 114	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
116	62, 63, 64, 115	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
117	108, 109, 106, 110, 116	lemul2ad 12209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ ((abs‘𝐹) · 1))
118	106	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℂ)
119	118	mulridd 11279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝐹) · 1) = (abs‘𝐹))
120	117, 119	breqtrd 5168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
121	107, 120	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
122	102, 105, 101, 106, 121	itgle 25846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
123	122, 11	breqtrrdi 5184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ≤ 𝑍)
124	83, 103, 94, 104, 123	letrd 11419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ 𝑍)
125	83, 94, 93, 124	leadd2dd 11879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
126	85, 95, 71, 125	lediv1dd 13136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
127		flltp1 13841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
128	96, 127	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
129	96, 45, 46	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
130	128, 129	breqtrrd 5170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
131	88, 96, 98, 126, 130	lelttrd 11420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
132	88, 98, 89, 131	ltadd1dd 11875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1))
133	132, 1	breqtrrdi 5184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑀)
134	100	rexrd 11312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
135		pnfxr 11316	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
136	135	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
137		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞))
138		ioogtlb 45513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
139	134, 136, 137, 138	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
140	90, 100, 72, 133, 139	lttrd 11423	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑟)
141	90, 72, 140	ltled 11410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑟)
142	72	recnd 11290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
143		fourierdlem47.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
144	142, 143	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
145		fourierdlem47.absb	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
146	58, 145	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
147		fourierdlem47.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
148	142, 147	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℂ)
149		fourierdlem47.absd	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
150	58, 149	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
151	60, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150	fourierdlem30 46157	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
152	151	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
153		oveq1 7439	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚(,)+∞) = (𝑀(,)+∞))
154	153	raleqdv 3325	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸))
155	154	rspcev 3621	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
156	57, 152, 155	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  +∞cpnf 11293  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13035  (,)cioo 13388  ⌊cfl 13831  abscabs 15274  𝐿¹cibl 25653  ∫citg 25654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cc 10476  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656  df-itg2 25657  df-ibl 25658  df-itg 25659  df-0p 25706

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  46199