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Theorem fourierdlem47 44869
Description: For π‘Ÿ large enough, the final expression is less than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem47.ibl (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐹) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.iblmul ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 Β· -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.f ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
fourierdlem47.g (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ 𝐺 ∈ β„‚)
fourierdlem47.absg (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜πΊ) ≀ 1)
fourierdlem47.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
fourierdlem47.x 𝑋 = (absβ€˜π΄)
fourierdlem47.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
fourierdlem47.y π‘Œ = (absβ€˜πΆ)
fourierdlem47.z 𝑍 = ∫𝐼(absβ€˜πΉ) dπ‘₯
fourierdlem47.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem47.b ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fourierdlem47.absb ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π΅) ≀ 1)
fourierdlem47.d ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
fourierdlem47.absd ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π·) ≀ 1)
fourierdlem47.m 𝑀 = ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem47 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š   𝐡,π‘š   𝐢,π‘š   𝐷,π‘š   π‘š,𝐸   π‘š,𝐹   π‘š,𝐺   π‘š,𝐼,π‘₯   π‘š,𝑀,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,π‘Ÿ,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐴(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐡(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐢(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐷(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐸(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,π‘Ÿ)   𝐼(π‘Ÿ)   𝑋(π‘₯,π‘š,π‘Ÿ)   π‘Œ(π‘₯,π‘š,π‘Ÿ)   𝑍(π‘₯,π‘š,π‘Ÿ)

Proof of Theorem fourierdlem47
StepHypRef Expression
1 fourierdlem47.m . . 3 𝑀 = ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
2 fourierdlem47.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (absβ€˜π΄)
3 fourierdlem47.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
43abscld 15383 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
52, 4eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem47.y . . . . . . . . . . 11 π‘Œ = (absβ€˜πΆ)
7 fourierdlem47.c . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
87abscld 15383 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
96, 8eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
105, 9readdcld 11243 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ℝ)
11 fourierdlem47.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = ∫𝐼(absβ€˜πΉ) dπ‘₯
12 fourierdlem47.f . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
1312abscld 15383 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
14 fourierdlem47.ibl . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐹) ∈ 𝐿1)
1512, 14iblabs 25346 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (absβ€˜πΉ)) ∈ 𝐿1)
1613, 15itgrecl 25315 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∫𝐼(absβ€˜πΉ) dπ‘₯ ∈ ℝ)
1711, 16eqeltrid 2838 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 11243 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) ∈ ℝ)
19 fourierdlem47.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
2019rpred 13016 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
2119rpne0d 13021 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  0)
2218, 20, 21redivcld 12042 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
23 1red 11215 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 11243 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
2524flcld 13763 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ β„€)
26 0red 11217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
27 reflcl 13761 . . . . . . 7 (((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
2824, 27syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
29 0lt1 11736 . . . . . . 7 0 < 1
3029a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
313absge0d 15391 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΄))
3231, 2breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑋)
337absge0d 15391 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜πΆ))
3433, 6breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ π‘Œ)
355, 9, 32, 34addge0d 11790 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑋 + π‘Œ))
3612absge0d 15391 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (absβ€˜πΉ))
3715, 13, 36itgge0 25328 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ∫𝐼(absβ€˜πΉ) dπ‘₯)
3837, 11breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑍)
3910, 17, 35, 38addge0d 11790 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
4018, 19, 39divge0d 13056 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸))
41 flge0nn0 13785 . . . . . . . . 9 (((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) β†’ (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ β„•0)
4222, 40, 41syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ β„•0)
43 nn0addge1 12518 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ β„•0) β†’ 1 ≀ (1 + (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸))))
4423, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (1 + (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸))))
45 1z 12592 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
46 fladdz 13790 . . . . . . . . 9 (((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
4722, 45, 46sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
4842nn0cnd 12534 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ β„‚)
4923recnd 11242 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
5048, 49addcomd 11416 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) + 1) = (1 + (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸))))
5147, 50eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 + (βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸))) = (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
5244, 51breqtrd 5175 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
5326, 23, 28, 30, 52ltletrd 11374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
54 elnnz 12568 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ β„• ↔ ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ β„€ ∧ 0 < (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1))))
5525, 53, 54sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ β„•)
5655peano2nnd 12229 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ β„•)
571, 56eqeltrid 2838 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
58 elioore 13354 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
59 fourierdlem47.iblmul . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 Β· -𝐺)) ∈ 𝐿1)
6058, 59sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 Β· -𝐺)) ∈ 𝐿1)
6112adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
62 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ πœ‘)
63 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
6458ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
6564recnd 11242 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
66 fourierdlem47.g . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ 𝐺 ∈ β„‚)
6762, 63, 65, 66syl21anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ β„‚)
683adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
697adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
70 eqid 2733 . . . 4 (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯) = (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)
7119adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
7258adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
732eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜π΄) = 𝑋
746eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜πΆ) = π‘Œ
7573, 74oveq12i 7421 . . . . . . . . 9 ((absβ€˜π΄) + (absβ€˜πΆ)) = (𝑋 + π‘Œ)
7675oveq1i 7419 . . . . . . . 8 (((absβ€˜π΄) + (absβ€˜πΆ)) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) = ((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯))
774adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
788adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
7977, 78readdcld 11243 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((absβ€˜π΄) + (absβ€˜πΆ)) ∈ ℝ)
8067negcld 11558 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ -𝐺 ∈ β„‚)
8161, 80mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐹 Β· -𝐺) ∈ β„‚)
8281, 60itgcl 25301 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ∫𝐼(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯ ∈ β„‚)
8382abscld 15383 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯) ∈ ℝ)
8479, 83readdcld 11243 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((absβ€˜π΄) + (absβ€˜πΆ)) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
8576, 84eqeltrrid 2839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) ∈ ℝ)
8620adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
8721adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐸 β‰  0)
8885, 86, 87redivcld 12042 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) ∈ ℝ)
89 1red 11215 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
9088, 89readdcld 11243 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
912, 77eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
926, 78eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ℝ)
9417adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝑍 ∈ ℝ)
9593, 94readdcld 11243 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) ∈ ℝ)
9695, 86, 87redivcld 12042 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
9796, 89readdcld 11243 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
9897, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
9998, 89readdcld 11243 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
1001, 99eqeltrid 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
10181abscld 15383 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) ∈ ℝ)
10281, 60iblabs 25346 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺))) ∈ 𝐿1)
103101, 102itgrecl 25315 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ∫𝐼(absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) dπ‘₯ ∈ ℝ)
10481, 60itgabs 25352 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯) ≀ ∫𝐼(absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) dπ‘₯)
10515adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (absβ€˜πΉ)) ∈ 𝐿1)
10661abscld 15383 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
10761, 80absmuld 15401 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) = ((absβ€˜πΉ) Β· (absβ€˜-𝐺)))
10880abscld 15383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜-𝐺) ∈ ℝ)
109 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 1 ∈ ℝ)
11061absge0d 15391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (absβ€˜πΉ))
111 recn 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
112111, 66sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ 𝐺 ∈ β„‚)
113112absnegd 15396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜-𝐺) = (absβ€˜πΊ))
114 fourierdlem47.absg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜πΊ) ≀ 1)
115113, 114eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜-𝐺) ≀ 1)
11662, 63, 64, 115syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜-𝐺) ≀ 1)
117108, 109, 106, 110, 116lemul2ad 12154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜πΉ) Β· (absβ€˜-𝐺)) ≀ ((absβ€˜πΉ) Β· 1))
118106recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
119118mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜πΉ) Β· 1) = (absβ€˜πΉ))
120117, 119breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜πΉ) Β· (absβ€˜-𝐺)) ≀ (absβ€˜πΉ))
121107, 120eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) ≀ (absβ€˜πΉ))
122102, 105, 101, 106, 121itgle 25327 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ∫𝐼(absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) dπ‘₯ ≀ ∫𝐼(absβ€˜πΉ) dπ‘₯)
123122, 11breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ∫𝐼(absβ€˜(𝐹 Β· -𝐺)) dπ‘₯ ≀ 𝑍)
12483, 103, 94, 104, 123letrd 11371 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯) ≀ 𝑍)
12583, 94, 93, 124leadd2dd 11829 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) ≀ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
12685, 95, 71, 125lediv1dd 13074 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) ≀ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸))
127 flltp1 13765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) < ((βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
12896, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) < ((βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
12996, 45, 46sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((βŒŠβ€˜(((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
130128, 129breqtrrd 5177 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) < (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13188, 96, 98, 126, 130lelttrd 11372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) < (βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13288, 98, 89, 131ltadd1dd 11825 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) + 1) < ((βŒŠβ€˜((((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1))
133132, 1breqtrrdi 5191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) + 1) < 𝑀)
134100rexrd 11264 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
135 pnfxr 11268 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
136135a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
137 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞))
138 ioogtlb 44208 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝑀 < π‘Ÿ)
139134, 136, 137, 138syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝑀 < π‘Ÿ)
14090, 100, 72, 133, 139lttrd 11375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) + 1) < π‘Ÿ)
14190, 72, 140ltled 11362 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ ((((𝑋 + π‘Œ) + (absβ€˜βˆ«πΌ(𝐹 Β· -𝐺) dπ‘₯)) / 𝐸) + 1) ≀ π‘Ÿ)
14272recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
143 fourierdlem47.b . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
144142, 143syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
145 fourierdlem47.absb . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π΅) ≀ 1)
14658, 145sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜π΅) ≀ 1)
147 fourierdlem47.d . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„‚) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
148142, 147syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
149 fourierdlem47.absd . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π·) ≀ 1)
15058, 149sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜π·) ≀ 1)
15160, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150fourierdlem30 44853 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)) β†’ (absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸)
152151ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸)
153 oveq1 7416 . . . 4 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘š(,)+∞) = (𝑀(,)+∞))
154153raleqdv 3326 . . 3 (π‘š = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸))
155154rspcev 3613 . 2 ((𝑀 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (𝑀(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸)
15657, 152, 155syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• βˆ€π‘Ÿ ∈ (π‘š(,)+∞)(absβ€˜(((𝐴 Β· -(𝐡 / π‘Ÿ)) βˆ’ (𝐢 Β· -(𝐷 / π‘Ÿ))) βˆ’ ∫𝐼(𝐹 Β· -(𝐺 / π‘Ÿ)) dπ‘₯)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  βŒŠcfl 13755  abscabs 15181  πΏ1cibl 25134  βˆ«citg 25135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  44895
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