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Theorem fourierdlem47 45807
Description: For 𝑟 large enough, the final expression is less than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem47.ibl (𝜑 → (𝑥𝐼𝐹) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.iblmul ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.f ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem47.g (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absg (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
fourierdlem47.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem47.x 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem47.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem47.y 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem47.z 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
fourierdlem47.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem47.b ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absb ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem47.d ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absd ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
fourierdlem47.m 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem47 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝐷,𝑚   𝑚,𝐸   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐼,𝑥   𝑚,𝑀,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑥,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑟)   𝐸(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑟)   𝐼(𝑟)   𝑋(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑍(𝑥,𝑚,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem47
StepHypRef Expression
1 fourierdlem47.m . . 3 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
2 fourierdlem47.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (abs‘𝐴)
3 fourierdlem47.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43abscld 15433 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
52, 4eqeltrid 2830 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem47.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (abs‘𝐶)
7 fourierdlem47.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87abscld 15433 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
96, 8eqeltrid 2830 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
105, 9readdcld 11281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
11 fourierdlem47.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
12 fourierdlem47.f . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
1312abscld 15433 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
14 fourierdlem47.ibl . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐹) ∈ 𝐿1)
1512, 14iblabs 25843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
1613, 15itgrecl 25812 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥 ∈ ℝ)
1711, 16eqeltrid 2830 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
19 fourierdlem47.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2019rpred 13061 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2119rpne0d 13066 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ≠ 0)
2218, 20, 21redivcld 12084 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
23 1red 11253 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 11281 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
2524flcld 13809 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ)
26 0red 11255 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27 reflcl 13807 . . . . . . 7 (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
2824, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
29 0lt1 11774 . . . . . . 7 0 < 1
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 1)
313absge0d 15441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3231, 2breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
337absge0d 15441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
3433, 6breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
355, 9, 32, 34addge0d 11828 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
3612absge0d 15441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
3715, 13, 36itgge0 25825 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
3837, 11breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
3910, 17, 35, 38addge0d 11828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
4018, 19, 39divge0d 13101 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
41 flge0nn0 13831 . . . . . . . . 9 (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
4222, 40, 41syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
43 nn0addge1 12561 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
4423, 42, 43syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
45 1z 12635 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
46 fladdz 13836 . . . . . . . . 9 (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
4722, 45, 46sylancl 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
4842nn0cnd 12577 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℂ)
4923recnd 11280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5048, 49addcomd 11454 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1) = (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
5147, 50eqtr2d 2767 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))) = (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
5244, 51breqtrd 5169 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
5326, 23, 28, 30, 52ltletrd 11412 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
54 elnnz 12611 . . . . 5 ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))))
5525, 53, 54sylanbrc 581 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ)
5655peano2nnd 12272 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℕ)
571, 56eqeltrid 2830 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
58 elioore 13399 . . . . 5 (𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
59 fourierdlem47.iblmul . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
6058, 59sylan2 591 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
6112adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
62 simpll 765 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝜑)
63 simpr 483 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
6458ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑟 ∈ ℝ)
6564recnd 11280 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑟 ∈ ℂ)
66 fourierdlem47.g . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
6762, 63, 65, 66syl21anc 836 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
683adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
697adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℂ)
70 eqid 2726 . . . 4 (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
7119adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
7258adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
732eqcomi 2735 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝐴) = 𝑋
746eqcomi 2735 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝐶) = 𝑌
7573, 74oveq12i 7425 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
7675oveq1i 7423 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
774adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
788adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
7977, 78readdcld 11281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
8067negcld 11596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
8161, 80mulcld 11272 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
8281, 60itgcl 25798 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
8382abscld 15433 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
8479, 83readdcld 11281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8576, 84eqeltrrid 2831 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8620adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ)
8721adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ≠ 0)
8885, 86, 87redivcld 12084 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ∈ ℝ)
89 1red 11253 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
9088, 89readdcld 11281 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
912, 77eqeltrid 2830 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
926, 78eqeltrid 2830 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑌 ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 11281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
9417adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑍 ∈ ℝ)
9593, 94readdcld 11281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
9695, 86, 87redivcld 12084 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
9796, 89readdcld 11281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
9897, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
9998, 89readdcld 11281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
1001, 99eqeltrid 2830 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
10181abscld 15433 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ∈ ℝ)
10281, 60iblabs 25843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥𝐼 ↦ (abs‘(𝐹 · -𝐺))) ∈ 𝐿1)
103101, 102itgrecl 25812 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ∈ ℝ)
10481, 60itgabs 25849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
10515adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
10661abscld 15433 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
10761, 80absmuld 15451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) = ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)))
10880abscld 15433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘-𝐺) ∈ ℝ)
109 1red 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 1 ∈ ℝ)
11061absge0d 15441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
111 recn 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℂ)
112111, 66sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝐺 ∈ ℂ)
113112absnegd 15446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) = (abs‘𝐺))
114 fourierdlem47.absg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
115113, 114eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
11662, 63, 64, 115syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
117108, 109, 106, 110, 116lemul2ad 12197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ ((abs‘𝐹) · 1))
118106recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℂ)
119118mulridd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → ((abs‘𝐹) · 1) = (abs‘𝐹))
120117, 119breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
121107, 120eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
122102, 105, 101, 106, 121itgle 25824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
123122, 11breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥𝑍)
12483, 103, 94, 104, 123letrd 11409 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ 𝑍)
12583, 94, 93, 124leadd2dd 11867 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
12685, 95, 71, 125lediv1dd 13119 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
127 flltp1 13811 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
12896, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
12996, 45, 46sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
130128, 129breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13188, 96, 98, 126, 130lelttrd 11410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13288, 98, 89, 131ltadd1dd 11863 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1))
133132, 1breqtrrdi 5185 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑀)
134100rexrd 11302 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
135 pnfxr 11306 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
136135a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
137 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞))
138 ioogtlb 45146 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
139134, 136, 137, 138syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
14090, 100, 72, 133, 139lttrd 11413 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑟)
14190, 72, 140ltled 11400 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑟)
14272recnd 11280 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
143 fourierdlem47.b . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
144142, 143syldan 589 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
145 fourierdlem47.absb . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
14658, 145sylan2 591 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
147 fourierdlem47.d . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
148142, 147syldan 589 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℂ)
149 fourierdlem47.absd . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
15058, 149sylan2 591 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
15160, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150fourierdlem30 45791 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
152151ralrimiva 3136 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
153 oveq1 7420 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚(,)+∞) = (𝑀(,)+∞))
154153raleqdv 3315 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸))
155154rspcev 3607 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
15657, 152, 155syl2anc 582 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cfv 6543  (class class class)co 7413  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151  +∞cpnf 11283  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482  -cneg 11483   / cdiv 11909  cn 12255  0cn0 12515  cz 12601  +crp 13019  (,)cioo 13369  cfl 13801  abscabs 15231  𝐿1cibl 25631  citg 25632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-inf2 9674  ax-cc 10466  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12516  df-z 12602  df-dec 12721  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13373  df-ioc 13374  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13673  df-fl 13803  df-mod 13881  df-seq 14013  df-exp 14073  df-hash 14340  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-clim 15482  df-rlim 15483  df-sum 15683  df-struct 17141  df-sets 17158  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-ress 17235  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-rest 17429  df-topn 17430  df-0g 17448  df-gsum 17449  df-topgen 17450  df-pt 17451  df-prds 17454  df-xrs 17509  df-qtop 17514  df-imas 17515  df-xps 17517  df-mre 17591  df-mrc 17592  df-acs 17594  df-mgm 18625  df-sgrp 18704  df-mnd 18720  df-submnd 18766  df-mulg 19055  df-cntz 19304  df-cmn 19773  df-psmet 21328  df-xmet 21329  df-met 21330  df-bl 21331  df-mopn 21332  df-cnfld 21337  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22934  df-cn 23216  df-cnp 23217  df-cmp 23376  df-tx 23551  df-hmeo 23744  df-xms 24311  df-ms 24312  df-tms 24313  df-cncf 24883  df-ovol 25478  df-vol 25479  df-mbf 25633  df-itg1 25634  df-itg2 25635  df-ibl 25636  df-itg 25637  df-0p 25684
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