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Theorem fourierdlem47 43938
Description: For 𝑟 large enough, the final expression is less than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem47.ibl (𝜑 → (𝑥𝐼𝐹) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.iblmul ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.f ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem47.g (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absg (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
fourierdlem47.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem47.x 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem47.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem47.y 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem47.z 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
fourierdlem47.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem47.b ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absb ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem47.d ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absd ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
fourierdlem47.m 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem47 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝐷,𝑚   𝑚,𝐸   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐼,𝑥   𝑚,𝑀,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑥,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑟)   𝐸(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑟)   𝐼(𝑟)   𝑋(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑍(𝑥,𝑚,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem47
StepHypRef Expression
1 fourierdlem47.m . . 3 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
2 fourierdlem47.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (abs‘𝐴)
3 fourierdlem47.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43abscld 15217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
52, 4eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem47.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (abs‘𝐶)
7 fourierdlem47.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87abscld 15217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
96, 8eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
105, 9readdcld 11074 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
11 fourierdlem47.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
12 fourierdlem47.f . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
1312abscld 15217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
14 fourierdlem47.ibl . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐹) ∈ 𝐿1)
1512, 14iblabs 25064 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
1613, 15itgrecl 25033 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥 ∈ ℝ)
1711, 16eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 11074 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
19 fourierdlem47.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2019rpred 12842 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2119rpne0d 12847 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ≠ 0)
2218, 20, 21redivcld 11873 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
23 1red 11046 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 11074 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
2524flcld 13588 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ)
26 0red 11048 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27 reflcl 13586 . . . . . . 7 (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
2824, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
29 0lt1 11567 . . . . . . 7 0 < 1
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 1)
313absge0d 15225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3231, 2breqtrrdi 5127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
337absge0d 15225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
3433, 6breqtrrdi 5127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
355, 9, 32, 34addge0d 11621 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
3612absge0d 15225 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
3715, 13, 36itgge0 25046 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
3837, 11breqtrrdi 5127 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
3910, 17, 35, 38addge0d 11621 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
4018, 19, 39divge0d 12882 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
41 flge0nn0 13610 . . . . . . . . 9 (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
4222, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
43 nn0addge1 12349 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
4423, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
45 1z 12420 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
46 fladdz 13615 . . . . . . . . 9 (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
4722, 45, 46sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
4842nn0cnd 12365 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℂ)
4923recnd 11073 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5048, 49addcomd 11247 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1) = (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
5147, 50eqtr2d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))) = (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
5244, 51breqtrd 5111 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
5326, 23, 28, 30, 52ltletrd 11205 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
54 elnnz 12399 . . . . 5 ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))))
5525, 53, 54sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ)
5655peano2nnd 12060 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℕ)
571, 56eqeltrid 2842 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
58 elioore 13179 . . . . 5 (𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
59 fourierdlem47.iblmul . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
6058, 59sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
6112adantlr 712 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
62 simpll 764 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝜑)
63 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
6458ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑟 ∈ ℝ)
6564recnd 11073 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑟 ∈ ℂ)
66 fourierdlem47.g . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
6762, 63, 65, 66syl21anc 835 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
683adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
697adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℂ)
70 eqid 2737 . . . 4 (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
7119adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
7258adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
732eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝐴) = 𝑋
746eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝐶) = 𝑌
7573, 74oveq12i 7325 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
7675oveq1i 7323 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
774adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
788adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
7977, 78readdcld 11074 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
8067negcld 11389 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
8161, 80mulcld 11065 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
8281, 60itgcl 25019 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
8382abscld 15217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
8479, 83readdcld 11074 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8576, 84eqeltrrid 2843 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8620adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ)
8721adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ≠ 0)
8885, 86, 87redivcld 11873 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ∈ ℝ)
89 1red 11046 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
9088, 89readdcld 11074 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
912, 77eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
926, 78eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑌 ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 11074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
9417adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑍 ∈ ℝ)
9593, 94readdcld 11074 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
9695, 86, 87redivcld 11873 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
9796, 89readdcld 11074 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
9897, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
9998, 89readdcld 11074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
1001, 99eqeltrid 2842 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
10181abscld 15217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ∈ ℝ)
10281, 60iblabs 25064 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥𝐼 ↦ (abs‘(𝐹 · -𝐺))) ∈ 𝐿1)
103101, 102itgrecl 25033 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ∈ ℝ)
10481, 60itgabs 25070 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
10515adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
10661abscld 15217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
10761, 80absmuld 15235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) = ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)))
10880abscld 15217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘-𝐺) ∈ ℝ)
109 1red 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 1 ∈ ℝ)
11061absge0d 15225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
111 recn 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℂ)
112111, 66sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝐺 ∈ ℂ)
113112absnegd 15230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) = (abs‘𝐺))
114 fourierdlem47.absg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
115113, 114eqbrtrd 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
11662, 63, 64, 115syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
117108, 109, 106, 110, 116lemul2ad 11985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ ((abs‘𝐹) · 1))
118106recnd 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℂ)
119118mulid1d 11062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → ((abs‘𝐹) · 1) = (abs‘𝐹))
120117, 119breqtrd 5111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
121107, 120eqbrtrd 5107 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
122102, 105, 101, 106, 121itgle 25045 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
123122, 11breqtrrdi 5127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥𝑍)
12483, 103, 94, 104, 123letrd 11202 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ 𝑍)
12583, 94, 93, 124leadd2dd 11660 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
12685, 95, 71, 125lediv1dd 12900 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
127 flltp1 13590 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
12896, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
12996, 45, 46sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
130128, 129breqtrrd 5113 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13188, 96, 98, 126, 130lelttrd 11203 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13288, 98, 89, 131ltadd1dd 11656 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1))
133132, 1breqtrrdi 5127 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑀)
134100rexrd 11095 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
135 pnfxr 11099 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
136135a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
137 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞))
138 ioogtlb 43277 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
139134, 136, 137, 138syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
14090, 100, 72, 133, 139lttrd 11206 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑟)
14190, 72, 140ltled 11193 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑟)
14272recnd 11073 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
143 fourierdlem47.b . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
144142, 143syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
145 fourierdlem47.absb . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
14658, 145sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
147 fourierdlem47.d . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
148142, 147syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℂ)
149 fourierdlem47.absd . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
15058, 149sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
15160, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150fourierdlem30 43922 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
152151ralrimiva 3140 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
153 oveq1 7320 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚(,)+∞) = (𝑀(,)+∞))
154153raleqdv 3310 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸))
155154rspcev 3570 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
15657, 152, 155syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5085  cmpt 5168  cfv 6463  (class class class)co 7313  cc 10939  cr 10940  0cc0 10941  1c1 10942   + caddc 10944   · cmul 10946  +∞cpnf 11076  *cxr 11078   < clt 11079  cle 11080  cmin 11275  -cneg 11276   / cdiv 11702  cn 12043  0cn0 12303  cz 12389  +crp 12800  (,)cioo 13149  cfl 13580  abscabs 15014  𝐿1cibl 24852  citg 24853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-inf2 9467  ax-cc 10261  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019  ax-addf 11020  ax-mulf 11021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-iin 4938  df-disj 5051  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-of 7571  df-ofr 7572  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-supp 8023  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-2o 8343  df-oadd 8346  df-omul 8347  df-er 8544  df-map 8663  df-pm 8664  df-ixp 8732  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-fsupp 9197  df-fi 9238  df-sup 9269  df-inf 9270  df-oi 9337  df-dju 9727  df-card 9765  df-acn 9768  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xneg 12918  df-xadd 12919  df-xmul 12920  df-ioo 13153  df-ioc 13154  df-ico 13155  df-icc 13156  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-fl 13582  df-mod 13660  df-seq 13792  df-exp 13853  df-hash 14115  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-clim 15266  df-rlim 15267  df-sum 15467  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-starv 17044  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-ip 17047  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-unif 17052  df-hom 17053  df-cco 17054  df-rest 17200  df-topn 17201  df-0g 17219  df-gsum 17220  df-topgen 17221  df-pt 17222  df-prds 17225  df-xrs 17280  df-qtop 17285  df-imas 17286  df-xps 17288  df-mre 17362  df-mrc 17363  df-acs 17365  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-submnd 18498  df-mulg 18768  df-cntz 18990  df-cmn 19455  df-psmet 20660  df-xmet 20661  df-met 20662  df-bl 20663  df-mopn 20664  df-cnfld 20669  df-top 22114  df-topon 22131  df-topsp 22153  df-bases 22167  df-cn 22449  df-cnp 22450  df-cmp 22609  df-tx 22784  df-hmeo 22977  df-xms 23544  df-ms 23545  df-tms 23546  df-cncf 24112  df-ovol 24699  df-vol 24700  df-mbf 24854  df-itg1 24855  df-itg2 24856  df-ibl 24857  df-itg 24858  df-0p 24905
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