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Theorem fourierdlem47 42963
 Description: For 𝑟 large enough, the final expression is less than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem47.ibl (𝜑 → (𝑥𝐼𝐹) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.iblmul ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.f ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem47.g (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absg (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
fourierdlem47.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem47.x 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem47.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem47.y 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem47.z 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
fourierdlem47.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem47.b ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absb ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem47.d ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absd ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
fourierdlem47.m 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem47 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝐷,𝑚   𝑚,𝐸   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐼,𝑥   𝑚,𝑀,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑥,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑟)   𝐸(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑟)   𝐼(𝑟)   𝑋(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑍(𝑥,𝑚,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem47
StepHypRef Expression
1 fourierdlem47.m . . 3 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
2 fourierdlem47.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (abs‘𝐴)
3 fourierdlem47.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43abscld 14808 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
52, 4eqeltrid 2894 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem47.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (abs‘𝐶)
7 fourierdlem47.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87abscld 14808 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
96, 8eqeltrid 2894 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
105, 9readdcld 10677 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
11 fourierdlem47.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
12 fourierdlem47.f . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
1312abscld 14808 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
14 fourierdlem47.ibl . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐹) ∈ 𝐿1)
1512, 14iblabs 24473 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
1613, 15itgrecl 24442 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥 ∈ ℝ)
1711, 16eqeltrid 2894 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 10677 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
19 fourierdlem47.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2019rpred 12439 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2119rpne0d 12444 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ≠ 0)
2218, 20, 21redivcld 11475 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
23 1red 10649 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 10677 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
2524flcld 13183 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ)
26 0red 10651 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27 reflcl 13181 . . . . . . 7 (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
2824, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
29 0lt1 11169 . . . . . . 7 0 < 1
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 1)
313absge0d 14816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3231, 2breqtrrdi 5076 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
337absge0d 14816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
3433, 6breqtrrdi 5076 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
355, 9, 32, 34addge0d 11223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
3612absge0d 14816 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
3715, 13, 36itgge0 24455 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
3837, 11breqtrrdi 5076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
3910, 17, 35, 38addge0d 11223 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
4018, 19, 39divge0d 12479 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
41 flge0nn0 13205 . . . . . . . . 9 (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
4222, 40, 41syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
43 nn0addge1 11949 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
4423, 42, 43syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
45 1z 12020 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
46 fladdz 13210 . . . . . . . . 9 (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
4722, 45, 46sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
4842nn0cnd 11965 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℂ)
4923recnd 10676 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5048, 49addcomd 10849 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1) = (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
5147, 50eqtr2d 2834 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))) = (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
5244, 51breqtrd 5060 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
5326, 23, 28, 30, 52ltletrd 10807 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
54 elnnz 11999 . . . . 5 ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))))
5525, 53, 54sylanbrc 586 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ)
5655peano2nnd 11660 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℕ)
571, 56eqeltrid 2894 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
58 elioore 12776 . . . . 5 (𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
59 fourierdlem47.iblmul . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
6058, 59sylan2 595 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
6112adantlr 714 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
62 simpll 766 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝜑)
63 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
6458ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑟 ∈ ℝ)
6564recnd 10676 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑟 ∈ ℂ)
66 fourierdlem47.g . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
6762, 63, 65, 66syl21anc 836 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
683adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
697adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℂ)
70 eqid 2798 . . . 4 (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
7119adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
7258adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
732eqcomi 2807 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝐴) = 𝑋
746eqcomi 2807 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝐶) = 𝑌
7573, 74oveq12i 7157 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
7675oveq1i 7155 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
774adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
788adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
7977, 78readdcld 10677 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
8067negcld 10991 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
8161, 80mulcld 10668 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
8281, 60itgcl 24428 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
8382abscld 14808 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
8479, 83readdcld 10677 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8576, 84eqeltrrid 2895 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8620adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ)
8721adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ≠ 0)
8885, 86, 87redivcld 11475 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ∈ ℝ)
89 1red 10649 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
9088, 89readdcld 10677 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
912, 77eqeltrid 2894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
926, 78eqeltrid 2894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑌 ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 10677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
9417adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑍 ∈ ℝ)
9593, 94readdcld 10677 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
9695, 86, 87redivcld 11475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
9796, 89readdcld 10677 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
9897, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
9998, 89readdcld 10677 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
1001, 99eqeltrid 2894 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
10181abscld 14808 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ∈ ℝ)
10281, 60iblabs 24473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥𝐼 ↦ (abs‘(𝐹 · -𝐺))) ∈ 𝐿1)
103101, 102itgrecl 24442 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ∈ ℝ)
10481, 60itgabs 24479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
10515adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
10661abscld 14808 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
10761, 80absmuld 14826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) = ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)))
10880abscld 14808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘-𝐺) ∈ ℝ)
109 1red 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 1 ∈ ℝ)
11061absge0d 14816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
111 recn 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℂ)
112111, 66sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝐺 ∈ ℂ)
113112absnegd 14821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) = (abs‘𝐺))
114 fourierdlem47.absg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
115113, 114eqbrtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
11662, 63, 64, 115syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
117108, 109, 106, 110, 116lemul2ad 11587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ ((abs‘𝐹) · 1))
118106recnd 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℂ)
119118mulid1d 10665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → ((abs‘𝐹) · 1) = (abs‘𝐹))
120117, 119breqtrd 5060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
121107, 120eqbrtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
122102, 105, 101, 106, 121itgle 24454 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
123122, 11breqtrrdi 5076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥𝑍)
12483, 103, 94, 104, 123letrd 10804 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ 𝑍)
12583, 94, 93, 124leadd2dd 11262 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
12685, 95, 71, 125lediv1dd 12497 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
127 flltp1 13185 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
12896, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
12996, 45, 46sylancl 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
130128, 129breqtrrd 5062 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13188, 96, 98, 126, 130lelttrd 10805 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13288, 98, 89, 131ltadd1dd 11258 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1))
133132, 1breqtrrdi 5076 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑀)
134100rexrd 10698 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
135 pnfxr 10702 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
136135a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
137 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞))
138 ioogtlb 42300 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
139134, 136, 137, 138syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
14090, 100, 72, 133, 139lttrd 10808 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑟)
14190, 72, 140ltled 10795 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑟)
14272recnd 10676 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
143 fourierdlem47.b . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
144142, 143syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
145 fourierdlem47.absb . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
14658, 145sylan2 595 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
147 fourierdlem47.d . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
148142, 147syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℂ)
149 fourierdlem47.absd . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
15058, 149sylan2 595 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
15160, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150fourierdlem30 42947 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
152151ralrimiva 3149 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
153 oveq1 7152 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚(,)+∞) = (𝑀(,)+∞))
154153raleqdv 3365 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸))
155154rspcev 3572 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
15657, 152, 155syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  ℝcr 10543  0cc0 10544  1c1 10545   + caddc 10547   · cmul 10549  +∞cpnf 10679  ℝ*cxr 10681   < clt 10682   ≤ cle 10683   − cmin 10877  -cneg 10878   / cdiv 11304  ℕcn 11643  ℕ0cn0 11903  ℤcz 11989  ℝ+crp 12397  (,)cioo 12746  ⌊cfl 13175  abscabs 14605  𝐿1cibl 24262  ∫citg 24263 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cc 9864  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-disj 5000  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-ofr 7401  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-omul 8108  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ioc 12751  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-mod 13253  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-cmp 22033  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970  df-cncf 23524  df-ovol 24109  df-vol 24110  df-mbf 24264  df-itg1 24265  df-itg2 24266  df-ibl 24267  df-itg 24268  df-0p 24315 This theorem is referenced by:  fourierdlem73  42989
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