Theorem fourierdlem47 47257

Description: For 𝑟 large enough, the final expression is less than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem47.ibl	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐹) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.iblmul	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem47.g	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absg	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
fourierdlem47.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem47.x	⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem47.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem47.y	⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem47.z	⊢ 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
fourierdlem47.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem47.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem47.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
fourierdlem47.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem47	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝐷,𝑚   𝑚,𝐸   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐼,𝑥   𝑚,𝑀,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑥, 𝑟)   𝐵(𝑥, 𝑟)   𝐶(𝑥, 𝑟)   𝐷(𝑥, 𝑟)   𝐸(𝑥, 𝑟)   𝐹(𝑥, 𝑟)   𝐺(𝑥, 𝑟)   𝐼(𝑟)   𝑋(𝑥, 𝑚, 𝑟)   𝑌(𝑥, 𝑚, 𝑟)   𝑍(𝑥, 𝑚, 𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem47.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
2		fourierdlem47.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (abs‘𝐴)
3		fourierdlem47.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	abscld 15612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	2, 4	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6		fourierdlem47.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 = (abs‘𝐶)
7		fourierdlem47.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	abscld 15612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
9	6, 8	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
10	5, 9	readdcld 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
11		fourierdlem47.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
12		fourierdlem47.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
13	12	abscld 15612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
14		fourierdlem47.ibl	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐹) ∈ 𝐿1)
15	12, 14	iblabs 26155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
16	13, 15	itgrecl 26124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥 ∈ ℝ)
17	11, 16	eqeltrid 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ)
18	10, 17	readdcld 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
19		fourierdlem47.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 13168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
21	19	rpne0d 13173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
22	18, 20, 21	redivcld 12149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
23		1red 11313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 11342	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
25	24	flcld 13942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ)
26		0red 11315	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27		reflcl 13940	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
28	24, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
29		0lt1 11842	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
31	3	absge0d 15620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
32	31, 2	breqtrrdi 5146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
33	7	absge0d 15620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
34	33, 6	breqtrrdi 5146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
35	5, 9, 32, 34	addge0d 11896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
36	12	absge0d 15620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
37	15, 13, 36	itgge0 26137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
38	37, 11	breqtrrdi 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
39	10, 17, 35, 38	addge0d 11896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
40	18, 19, 39	divge0d 13208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
41		flge0nn0 13964	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
42	22, 40, 41	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
43		nn0addge1 12656	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
44	23, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
45		1z 12730	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
46		fladdz 13969	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
47	22, 45, 46	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
48	42	nn0cnd 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℂ)
49	23	recnd 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
50	48, 49	addcomd 11516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1) = (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
51	47, 50	eqtr2d 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))) = (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
52	44, 51	breqtrd 5130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
53	26, 23, 28, 30, 52	ltletrd 11474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
54		elnnz 12707	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))))
55	25, 53, 54	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ)
56	55	peano2nnd 12356	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℕ)
57	1, 56	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
58		elioore 13510	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
59		fourierdlem47.iblmul	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
60	58, 59	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
61	12	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
62		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝜑)
63		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
64	58	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑟 ∈ ℝ)
65	64	recnd 11341	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑟 ∈ ℂ)
66		fourierdlem47.g	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
67	62, 63, 65, 66	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
68	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℂ)
70		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
71	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
72	58	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
73	2	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝐴) = 𝑋
74	6	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘𝐶) = 𝑌
75	73, 74	oveq12i 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
76	75	oveq1i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
77	4	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
78	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
79	77, 78	readdcld 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
80	67	negcld 11660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
81	61, 80	mulcld 11333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
82	81, 60	itgcl 26110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
83	82	abscld 15612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
84	79, 83	readdcld 11342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
85	76, 84	eqeltrrid 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
86	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ)
87	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ≠ 0)
88	85, 86, 87	redivcld 12149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ∈ ℝ)
89		1red 11313	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
90	88, 89	readdcld 11342	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
91	2, 77	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
92	6, 78	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑌 ∈ ℝ)
93	91, 92	readdcld 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
94	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑍 ∈ ℝ)
95	93, 94	readdcld 11342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
96	95, 86, 87	redivcld 12149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
97	96, 89	readdcld 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
98	97, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
99	98, 89	readdcld 11342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
100	1, 99	eqeltrid 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
101	81	abscld 15612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ∈ ℝ)
102	81, 60	iblabs 26155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (abs‘(𝐹 · -𝐺))) ∈ 𝐿1)
103	101, 102	itgrecl 26124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ∈ ℝ)
104	81, 60	itgabs 26161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
105	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
106	61	abscld 15612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
107	61, 80	absmuld 15630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) = ((abs‘𝐹) · (abs‘ -𝐺)))
108	80	abscld 15612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘ -𝐺) ∈ ℝ)
109		1red 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℝ)
110	61	absge0d 15620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
111		recn 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℂ)
112	111, 66	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝐺 ∈ ℂ)
113	112	absnegd 15625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘ -𝐺) = (abs‘𝐺))
114		fourierdlem47.absg	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
115	113, 114	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘ -𝐺) ≤ 1)
116	62, 63, 64, 115	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘ -𝐺) ≤ 1)
117	108, 109, 106, 110, 116	lemul2ad 12261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘ -𝐺)) ≤ ((abs‘𝐹) · 1))
118	106	recnd 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℂ)
119	118	mulridd 11330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝐹) · 1) = (abs‘𝐹))
120	117, 119	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘ -𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
121	107, 120	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
122	102, 105, 101, 106, 121	itgle 26136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
123	122, 11	breqtrrdi 5146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ≤ 𝑍)
124	83, 103, 94, 104, 123	letrd 11471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ 𝑍)
125	83, 94, 93, 124	leadd2dd 11935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
126	85, 95, 71, 125	lediv1dd 13226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
127		flltp1 13944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
128	96, 127	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
129	96, 45, 46	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
130	128, 129	breqtrrd 5132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
131	88, 96, 98, 126, 130	lelttrd 11472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
132	88, 98, 89, 131	ltadd1dd 11931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1))
133	132, 1	breqtrrdi 5146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑀)
134	100	rexrd 11363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
135		pnfxr 11367	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
136	135	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
137		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞))
138		ioogtlb 46601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
139	134, 136, 137, 138	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
140	90, 100, 72, 133, 139	lttrd 11475	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑟)
141	90, 72, 140	ltled 11462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑟)
142	72	recnd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
143		fourierdlem47.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
144	142, 143	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
145		fourierdlem47.absb	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
146	58, 145	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
147		fourierdlem47.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
148	142, 147	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℂ)
149		fourierdlem47.absd	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
150	58, 149	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
151	60, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150	fourierdlem30 47241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
152	151	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
153		oveq1 7428	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚(,)+∞) = (𝑀(,)+∞))
154	153	raleqdv 3319	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸))
155	154	rspcev 3576	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
156	57, 152, 155	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209  +∞cpnf 11344  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545   -cneg 11546   / cdiv 11977  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ℝ⁺crp 13124  (,)cioo 13480  ⌊cfl 13934  abscabs 15407  𝐿¹cibl 25944  ∫citg 25945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cc 10517  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024  df-acn 10027  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-cmp 23711  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-ovol 25791  df-vol 25792  df-mbf 25946  df-itg1 25947  df-itg2 25948  df-ibl 25949  df-itg 25950  df-0p 25997

This theorem is used by:  fourierdlem73  47283