Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem47 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem47 45168
Description: For ๐‘Ÿ large enough, the final expression is less than the given positive ๐ธ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem47.ibl (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐น) โˆˆ ๐ฟ1)
fourierdlem47.iblmul ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐น ยท -๐บ)) โˆˆ ๐ฟ1)
fourierdlem47.f ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
fourierdlem47.g (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
fourierdlem47.absg (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐บ) โ‰ค 1)
fourierdlem47.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
fourierdlem47.x ๐‘‹ = (absโ€˜๐ด)
fourierdlem47.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
fourierdlem47.y ๐‘Œ = (absโ€˜๐ถ)
fourierdlem47.z ๐‘ = โˆซ๐ผ(absโ€˜๐น) d๐‘ฅ
fourierdlem47.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
fourierdlem47.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fourierdlem47.absb ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค 1)
fourierdlem47.d ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
fourierdlem47.absd ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐ท) โ‰ค 1)
fourierdlem47.m ๐‘€ = ((โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) + 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem47 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘š(,)+โˆž)(absโ€˜(((๐ด ยท -(๐ต / ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ถ ยท -(๐ท / ๐‘Ÿ))) โˆ’ โˆซ๐ผ(๐น ยท -(๐บ / ๐‘Ÿ)) d๐‘ฅ)) < ๐ธ)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š   ๐ต,๐‘š   ๐ถ,๐‘š   ๐ท,๐‘š   ๐‘š,๐ธ   ๐‘š,๐น   ๐‘š,๐บ   ๐‘š,๐ผ,๐‘ฅ   ๐‘š,๐‘€,๐‘Ÿ,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘Ÿ,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘š)   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘Ÿ)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘Ÿ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘Ÿ)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘Ÿ)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘Ÿ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘Ÿ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘Ÿ)   ๐ผ(๐‘Ÿ)   ๐‘‹(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘Ÿ)   ๐‘Œ(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘Ÿ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘Ÿ)

Proof of Theorem fourierdlem47
StepHypRef Expression
1 fourierdlem47.m . . 3 ๐‘€ = ((โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) + 1)
2 fourierdlem47.x . . . . . . . . . . 11 ๐‘‹ = (absโ€˜๐ด)
3 fourierdlem47.a . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43abscld 15388 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
52, 4eqeltrid 2836 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
6 fourierdlem47.y . . . . . . . . . . 11 ๐‘Œ = (absโ€˜๐ถ)
7 fourierdlem47.c . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
87abscld 15388 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
96, 8eqeltrid 2836 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
105, 9readdcld 11248 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
11 fourierdlem47.z . . . . . . . . . 10 ๐‘ = โˆซ๐ผ(absโ€˜๐น) d๐‘ฅ
12 fourierdlem47.f . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
1312abscld 15388 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (absโ€˜๐น) โˆˆ โ„)
14 fourierdlem47.ibl . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐น) โˆˆ ๐ฟ1)
1512, 14iblabs 25579 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (absโ€˜๐น)) โˆˆ ๐ฟ1)
1613, 15itgrecl 25548 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ผ(absโ€˜๐น) d๐‘ฅ โˆˆ โ„)
1711, 16eqeltrid 2836 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1810, 17readdcld 11248 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) โˆˆ โ„)
19 fourierdlem47.e . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
2019rpred 13021 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
2119rpne0d 13026 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โ‰  0)
2218, 20, 21redivcld 12047 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) โˆˆ โ„)
23 1red 11220 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2422, 23readdcld 11248 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1) โˆˆ โ„)
2524flcld 13768 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) โˆˆ โ„ค)
26 0red 11222 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
27 reflcl 13766 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) โˆˆ โ„)
2824, 27syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) โˆˆ โ„)
29 0lt1 11741 . . . . . . 7 0 < 1
3029a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
313absge0d 15396 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
3231, 2breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‹)
337absge0d 15396 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ถ))
3433, 6breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Œ)
355, 9, 32, 34addge0d 11795 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹ + ๐‘Œ))
3612absge0d 15396 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐น))
3715, 13, 36itgge0 25561 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆซ๐ผ(absโ€˜๐น) d๐‘ฅ)
3837, 11breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
3910, 17, 35, 38addge0d 11795 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘))
4018, 19, 39divge0d 13061 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ))
41 flge0nn0 13790 . . . . . . . . 9 (((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ)) โˆˆ โ„•0)
4222, 40, 41syl2anc 583 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ)) โˆˆ โ„•0)
43 nn0addge1 12523 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ)) โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (1 + (โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ))))
4423, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (1 + (โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ))))
45 1z 12597 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
46 fladdz 13795 . . . . . . . . 9 (((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) = ((โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ)) + 1))
4722, 45, 46sylancl 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) = ((โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ)) + 1))
4842nn0cnd 12539 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ)) โˆˆ โ„‚)
4923recnd 11247 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5048, 49addcomd 11421 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ)) + 1) = (1 + (โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ))))
5147, 50eqtr2d 2772 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 + (โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ))) = (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)))
5244, 51breqtrd 5174 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)))
5326, 23, 28, 30, 52ltletrd 11379 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)))
54 elnnz 12573 . . . . 5 ((โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) โˆˆ โ„• โ†” ((โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1))))
5525, 53, 54sylanbrc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) โˆˆ โ„•)
5655peano2nnd 12234 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) + 1) โˆˆ โ„•)
571, 56eqeltrid 2836 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
58 elioore 13359 . . . . 5 (๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
59 fourierdlem47.iblmul . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐น ยท -๐บ)) โˆˆ ๐ฟ1)
6058, 59sylan2 592 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐น ยท -๐บ)) โˆˆ ๐ฟ1)
6112adantlr 712 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
62 simpll 764 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐œ‘)
63 simpr 484 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ)
6458ad2antlr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
6564recnd 11247 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
66 fourierdlem47.g . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
6762, 63, 65, 66syl21anc 835 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
683adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
697adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
70 eqid 2731 . . . 4 (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ) = (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)
7119adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
7258adantl 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„)
732eqcomi 2740 . . . . . . . . . 10 (absโ€˜๐ด) = ๐‘‹
746eqcomi 2740 . . . . . . . . . 10 (absโ€˜๐ถ) = ๐‘Œ
7573, 74oveq12i 7424 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ถ)) = (๐‘‹ + ๐‘Œ)
7675oveq1i 7422 . . . . . . . 8 (((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ถ)) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)) = ((๐‘‹ + ๐‘Œ) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ))
774adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
788adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
7977, 78readdcld 11248 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„)
8067negcld 11563 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ -๐บ โˆˆ โ„‚)
8161, 80mulcld 11239 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐น ยท -๐บ) โˆˆ โ„‚)
8281, 60itgcl 25534 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
8382abscld 15388 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
8479, 83readdcld 11248 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ถ)) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8576, 84eqeltrrid 2837 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘Œ) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8620adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
8721adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐ธ โ‰  0)
8885, 86, 87redivcld 12047 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (((๐‘‹ + ๐‘Œ) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)) / ๐ธ) โˆˆ โ„)
89 1red 11220 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
9088, 89readdcld 11248 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)) / ๐ธ) + 1) โˆˆ โ„)
912, 77eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
926, 78eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
9391, 92readdcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
9417adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
9593, 94readdcld 11248 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) โˆˆ โ„)
9695, 86, 87redivcld 12047 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) โˆˆ โ„)
9796, 89readdcld 11248 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1) โˆˆ โ„)
9897, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) โˆˆ โ„)
9998, 89readdcld 11248 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) + 1) โˆˆ โ„)
1001, 99eqeltrid 2836 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
10181abscld 15388 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (absโ€˜(๐น ยท -๐บ)) โˆˆ โ„)
10281, 60iblabs 25579 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (absโ€˜(๐น ยท -๐บ))) โˆˆ ๐ฟ1)
103101, 102itgrecl 25548 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ โˆซ๐ผ(absโ€˜(๐น ยท -๐บ)) d๐‘ฅ โˆˆ โ„)
10481, 60itgabs 25585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ) โ‰ค โˆซ๐ผ(absโ€˜(๐น ยท -๐บ)) d๐‘ฅ)
10515adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (absโ€˜๐น)) โˆˆ ๐ฟ1)
10661abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (absโ€˜๐น) โˆˆ โ„)
10761, 80absmuld 15406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (absโ€˜(๐น ยท -๐บ)) = ((absโ€˜๐น) ยท (absโ€˜-๐บ)))
10880abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (absโ€˜-๐บ) โˆˆ โ„)
109 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
11061absge0d 15396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐น))
111 recn 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
112111, 66sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
113112absnegd 15401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜-๐บ) = (absโ€˜๐บ))
114 fourierdlem47.absg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐บ) โ‰ค 1)
115113, 114eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜-๐บ) โ‰ค 1)
11662, 63, 64, 115syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (absโ€˜-๐บ) โ‰ค 1)
117108, 109, 106, 110, 116lemul2ad 12159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((absโ€˜๐น) ยท (absโ€˜-๐บ)) โ‰ค ((absโ€˜๐น) ยท 1))
118106recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (absโ€˜๐น) โˆˆ โ„‚)
119118mulridd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((absโ€˜๐น) ยท 1) = (absโ€˜๐น))
120117, 119breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((absโ€˜๐น) ยท (absโ€˜-๐บ)) โ‰ค (absโ€˜๐น))
121107, 120eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (absโ€˜(๐น ยท -๐บ)) โ‰ค (absโ€˜๐น))
122102, 105, 101, 106, 121itgle 25560 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ โˆซ๐ผ(absโ€˜(๐น ยท -๐บ)) d๐‘ฅ โ‰ค โˆซ๐ผ(absโ€˜๐น) d๐‘ฅ)
123122, 11breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ โˆซ๐ผ(absโ€˜(๐น ยท -๐บ)) d๐‘ฅ โ‰ค ๐‘)
12483, 103, 94, 104, 123letrd 11376 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘)
12583, 94, 93, 124leadd2dd 11834 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘Œ) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)) โ‰ค ((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘))
12685, 95, 71, 125lediv1dd 13079 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (((๐‘‹ + ๐‘Œ) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)) / ๐ธ) โ‰ค (((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ))
127 flltp1 13770 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) < ((โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ)) + 1))
12896, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) < ((โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ)) + 1))
12996, 45, 46sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) = ((โŒŠโ€˜(((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ)) + 1))
130128, 129breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) < (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)))
13188, 96, 98, 126, 130lelttrd 11377 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (((๐‘‹ + ๐‘Œ) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)) / ๐ธ) < (โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)))
13288, 98, 89, 131ltadd1dd 11830 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)) / ๐ธ) + 1) < ((โŒŠโ€˜((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + ๐‘) / ๐ธ) + 1)) + 1))
133132, 1breqtrrdi 5190 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)) / ๐ธ) + 1) < ๐‘€)
134100rexrd 11269 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)
135 pnfxr 11273 . . . . . . . 8 +โˆž โˆˆ โ„*
136135a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
137 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž))
138 ioogtlb 44507 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘€ < ๐‘Ÿ)
139134, 136, 137, 138syl3anc 1370 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘€ < ๐‘Ÿ)
14090, 100, 72, 133, 139lttrd 11380 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)) / ๐ธ) + 1) < ๐‘Ÿ)
14190, 72, 140ltled 11367 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ((((๐‘‹ + ๐‘Œ) + (absโ€˜โˆซ๐ผ(๐น ยท -๐บ) d๐‘ฅ)) / ๐ธ) + 1) โ‰ค ๐‘Ÿ)
14272recnd 11247 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
143 fourierdlem47.b . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
144142, 143syldan 590 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
145 fourierdlem47.absb . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค 1)
14658, 145sylan2 592 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜๐ต) โ‰ค 1)
147 fourierdlem47.d . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
148142, 147syldan 590 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
149 fourierdlem47.absd . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„) โ†’ (absโ€˜๐ท) โ‰ค 1)
15058, 149sylan2 592 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜๐ท) โ‰ค 1)
15160, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150fourierdlem30 45152 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)) โ†’ (absโ€˜(((๐ด ยท -(๐ต / ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ถ ยท -(๐ท / ๐‘Ÿ))) โˆ’ โˆซ๐ผ(๐น ยท -(๐บ / ๐‘Ÿ)) d๐‘ฅ)) < ๐ธ)
152151ralrimiva 3145 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)(absโ€˜(((๐ด ยท -(๐ต / ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ถ ยท -(๐ท / ๐‘Ÿ))) โˆ’ โˆซ๐ผ(๐น ยท -(๐บ / ๐‘Ÿ)) d๐‘ฅ)) < ๐ธ)
153 oveq1 7419 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘š(,)+โˆž) = (๐‘€(,)+โˆž))
154153raleqdv 3324 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘š(,)+โˆž)(absโ€˜(((๐ด ยท -(๐ต / ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ถ ยท -(๐ท / ๐‘Ÿ))) โˆ’ โˆซ๐ผ(๐น ยท -(๐บ / ๐‘Ÿ)) d๐‘ฅ)) < ๐ธ โ†” โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)(absโ€˜(((๐ด ยท -(๐ต / ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ถ ยท -(๐ท / ๐‘Ÿ))) โˆ’ โˆซ๐ผ(๐น ยท -(๐บ / ๐‘Ÿ)) d๐‘ฅ)) < ๐ธ))
155154rspcev 3612 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘€(,)+โˆž)(absโ€˜(((๐ด ยท -(๐ต / ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ถ ยท -(๐ท / ๐‘Ÿ))) โˆ’ โˆซ๐ผ(๐น ยท -(๐บ / ๐‘Ÿ)) d๐‘ฅ)) < ๐ธ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘š(,)+โˆž)(absโ€˜(((๐ด ยท -(๐ต / ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ถ ยท -(๐ท / ๐‘Ÿ))) โˆ’ โˆซ๐ผ(๐น ยท -(๐บ / ๐‘Ÿ)) d๐‘ฅ)) < ๐ธ)
15657, 152, 155syl2anc 583 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘š(,)+โˆž)(absโ€˜(((๐ด ยท -(๐ต / ๐‘Ÿ)) โˆ’ (๐ถ ยท -(๐ท / ๐‘Ÿ))) โˆ’ โˆซ๐ผ(๐น ยท -(๐บ / ๐‘Ÿ)) d๐‘ฅ)) < ๐ธ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119  +โˆžcpnf 11250  โ„*cxr 11252   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„+crp 12979  (,)cioo 13329  โŒŠcfl 13760  abscabs 15186  ๐ฟ1cibl 25367  โˆซcitg 25368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  45194
  Copyright terms: Public domain W3C validator