Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem47 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem47 42006
Description: For 𝑟 large enough, the final expression is less than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem47.ibl (𝜑 → (𝑥𝐼𝐹) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.iblmul ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
fourierdlem47.f ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
fourierdlem47.g (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absg (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
fourierdlem47.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
fourierdlem47.x 𝑋 = (abs‘𝐴)
fourierdlem47.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fourierdlem47.y 𝑌 = (abs‘𝐶)
fourierdlem47.z 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
fourierdlem47.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fourierdlem47.b ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absb ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
fourierdlem47.d ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
fourierdlem47.absd ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
fourierdlem47.m 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem47 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚   𝐷,𝑚   𝑚,𝐸   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐼,𝑥   𝑚,𝑀,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑥,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑟)   𝐷(𝑥,𝑟)   𝐸(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑟)   𝐼(𝑟)   𝑋(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑚,𝑟)   𝑍(𝑥,𝑚,𝑟)

Proof of Theorem fourierdlem47
StepHypRef Expression
1 fourierdlem47.m . . 3 𝑀 = ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1)
2 fourierdlem47.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (abs‘𝐴)
3 fourierdlem47.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43abscld 14635 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
52, 4syl5eqel 2887 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem47.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (abs‘𝐶)
7 fourierdlem47.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87abscld 14635 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
96, 8syl5eqel 2887 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
105, 9readdcld 10521 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
11 fourierdlem47.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥
12 fourierdlem47.f . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
1312abscld 14635 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
14 fourierdlem47.ibl . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐹) ∈ 𝐿1)
1512, 14iblabs 24117 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
1613, 15itgrecl 24086 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥 ∈ ℝ)
1711, 16syl5eqel 2887 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
1810, 17readdcld 10521 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
19 fourierdlem47.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2019rpred 12286 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2119rpne0d 12291 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ≠ 0)
2218, 20, 21redivcld 11321 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
23 1red 10493 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 10521 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
2524flcld 13023 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ)
26 0red 10495 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27 reflcl 13021 . . . . . . 7 (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
2824, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
29 0lt1 11015 . . . . . . 7 0 < 1
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 1)
313absge0d 14643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3231, 2syl6breqr 5008 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
337absge0d 14643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
3433, 6syl6breqr 5008 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
355, 9, 32, 34addge0d 11069 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 + 𝑌))
3612absge0d 14643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
3715, 13, 36itgge0 24099 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
3837, 11syl6breqr 5008 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝑍)
3910, 17, 35, 38addge0d 11069 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
4018, 19, 39divge0d 12326 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
41 flge0nn0 13045 . . . . . . . . 9 (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
4222, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0)
43 nn0addge1 11796 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℕ0) → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
4423, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
45 1z 11866 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
46 fladdz 13050 . . . . . . . . 9 (((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
4722, 45, 46sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
4842nn0cnd 11810 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) ∈ ℂ)
4923recnd 10520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
5048, 49addcomd 10694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1) = (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))))
5147, 50eqtr2d 2832 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))) = (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
5244, 51breqtrd 4992 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
5326, 23, 28, 30, 52ltletrd 10652 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
54 elnnz 11844 . . . . 5 ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1))))
5525, 53, 54sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℕ)
5655peano2nnd 11508 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℕ)
571, 56syl5eqel 2887 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
58 elioore 12623 . . . . 5 (𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞) → 𝑟 ∈ ℝ)
59 fourierdlem47.iblmul . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
6058, 59sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹 · -𝐺)) ∈ 𝐿1)
6112adantlr 711 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ ℂ)
62 simpll 763 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝜑)
63 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
6458ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑟 ∈ ℝ)
6564recnd 10520 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑟 ∈ ℂ)
66 fourierdlem47.g . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → 𝐺 ∈ ℂ)
6762, 63, 65, 66syl21anc 834 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ ℂ)
683adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
697adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐶 ∈ ℂ)
70 eqid 2795 . . . 4 (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) = (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)
7119adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
7258adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
732eqcomi 2804 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝐴) = 𝑋
746eqcomi 2804 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝐶) = 𝑌
7573, 74oveq12i 7033 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) = (𝑋 + 𝑌)
7675oveq1i 7031 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) = ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥))
774adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
788adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
7977, 78readdcld 10521 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
8067negcld 10837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → -𝐺 ∈ ℂ)
8161, 80mulcld 10512 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹 · -𝐺) ∈ ℂ)
8281, 60itgcl 24072 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥 ∈ ℂ)
8382abscld 14635 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ∈ ℝ)
8479, 83readdcld 10521 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐶)) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8576, 84syl5eqelr 2888 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ∈ ℝ)
8620adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ∈ ℝ)
8721adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐸 ≠ 0)
8885, 86, 87redivcld 11321 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ∈ ℝ)
89 1red 10493 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
9088, 89readdcld 10521 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
912, 77syl5eqel 2887 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
926, 78syl5eqel 2887 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑌 ∈ ℝ)
9391, 92readdcld 10521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
9417adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑍 ∈ ℝ)
9593, 94readdcld 10521 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
9695, 86, 87redivcld 11321 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ)
9796, 89readdcld 10521 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1) ∈ ℝ)
9897, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) ∈ ℝ)
9998, 89readdcld 10521 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
1001, 99syl5eqel 2887 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
10181abscld 14635 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ∈ ℝ)
10281, 60iblabs 24117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥𝐼 ↦ (abs‘(𝐹 · -𝐺))) ∈ 𝐿1)
103101, 102itgrecl 24086 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ∈ ℝ)
10481, 60itgabs 24123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥)
10515adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (𝑥𝐼 ↦ (abs‘𝐹)) ∈ 𝐿1)
10661abscld 14635 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℝ)
10761, 80absmuld 14653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) = ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)))
10880abscld 14635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘-𝐺) ∈ ℝ)
109 1red 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 1 ∈ ℝ)
11061absge0d 14643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ (abs‘𝐹))
111 recn 10478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℂ)
112111, 66sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝐺 ∈ ℂ)
113112absnegd 14648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) = (abs‘𝐺))
114 fourierdlem47.absg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐺) ≤ 1)
115113, 114eqbrtrd 4988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
11662, 63, 64, 115syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘-𝐺) ≤ 1)
117108, 109, 106, 110, 116lemul2ad 11433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ ((abs‘𝐹) · 1))
118106recnd 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘𝐹) ∈ ℂ)
119118mulid1d 10509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → ((abs‘𝐹) · 1) = (abs‘𝐹))
120117, 119breqtrd 4992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → ((abs‘𝐹) · (abs‘-𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
121107, 120eqbrtrd 4988 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐼) → (abs‘(𝐹 · -𝐺)) ≤ (abs‘𝐹))
122102, 105, 101, 106, 121itgle 24098 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥 ≤ ∫𝐼(abs‘𝐹) d𝑥)
123122, 11syl6breqr 5008 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ∫𝐼(abs‘(𝐹 · -𝐺)) d𝑥𝑍)
12483, 103, 94, 104, 123letrd 10649 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥) ≤ 𝑍)
12583, 94, 93, 124leadd2dd 11108 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) ≤ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
12685, 95, 71, 125lediv1dd 12344 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) ≤ (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸))
127 flltp1 13025 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) ∈ ℝ → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
12896, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
12996, 45, 46sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) = ((⌊‘(((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸)) + 1))
130128, 129breqtrrd 4994 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13188, 96, 98, 126, 130lelttrd 10650 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) < (⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)))
13288, 98, 89, 131ltadd1dd 11104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < ((⌊‘((((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 𝐸) + 1)) + 1))
133132, 1syl6breqr 5008 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑀)
134100rexrd 10542 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
135 pnfxr 10546 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
136135a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
137 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞))
138 ioogtlb 41337 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
139134, 136, 137, 138syl3anc 1364 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑀 < 𝑟)
14090, 100, 72, 133, 139lttrd 10653 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) < 𝑟)
14190, 72, 140ltled 10640 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → ((((𝑋 + 𝑌) + (abs‘∫𝐼(𝐹 · -𝐺) d𝑥)) / 𝐸) + 1) ≤ 𝑟)
14272recnd 10520 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝑟 ∈ ℂ)
143 fourierdlem47.b . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
144142, 143syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
145 fourierdlem47.absb . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
14658, 145sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐵) ≤ 1)
147 fourierdlem47.d . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
148142, 147syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℂ)
149 fourierdlem47.absd . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
15058, 149sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘𝐷) ≤ 1)
15160, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150fourierdlem30 41990 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)) → (abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
152151ralrimiva 3149 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
153 oveq1 7028 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚(,)+∞) = (𝑀(,)+∞))
154153raleqdv 3375 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸 ↔ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸))
155154rspcev 3559 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ (𝑀(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
15657, 152, 155syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∀𝑟 ∈ (𝑚(,)+∞)(abs‘(((𝐴 · -(𝐵 / 𝑟)) − (𝐶 · -(𝐷 / 𝑟))) − ∫𝐼(𝐹 · -(𝐺 / 𝑟)) d𝑥)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106   class class class wbr 4966  cmpt 5045  cfv 6230  (class class class)co 7021  cc 10386  cr 10387  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   · cmul 10393  +∞cpnf 10523  *cxr 10525   < clt 10526  cle 10527  cmin 10722  -cneg 10723   / cdiv 11150  cn 11491  0cn0 11750  cz 11834  +crp 12244  (,)cioo 12593  cfl 13015  abscabs 14432  𝐿1cibl 23906  citg 23907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cc 9708  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-disj 4935  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-ofr 7273  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-omul 7963  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-dju 9181  df-card 9219  df-acn 9222  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ioc 12598  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-mod 13093  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-rest 16530  df-topn 16531  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-topgen 16551  df-pt 16552  df-prds 16555  df-xrs 16609  df-qtop 16614  df-imas 16615  df-xps 16617  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-mulg 17987  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-cnfld 20233  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-cn 21524  df-cnp 21525  df-cmp 21684  df-tx 21859  df-hmeo 22052  df-xms 22618  df-ms 22619  df-tms 22620  df-cncf 23174  df-ovol 23753  df-vol 23754  df-mbf 23908  df-itg1 23909  df-itg2 23910  df-ibl 23911  df-itg 23912  df-0p 23959
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  42032
  Copyright terms: Public domain W3C validator