Theorem fibp1 34558

Description: Value of the Fibonacci sequence at higher indices. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fibp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Proof of Theorem fibp1

Dummy variables 𝑤 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fib 34554	. . . 4 ⊢ Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
2	1	fveq1i 6835	. . 3 ⊢ (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)))
4		nn0ex 12407	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ0 ∈ V)
6		0nn0 12416	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ0)
8		1nn0 12417	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
10	7, 9	s2cld 14794	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
12		fiblem 34555	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
14		eluzp1p1 12779	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
15		nnuz 12790	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleq2s 2854	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
17		s2len 14812	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
18		1p1e2 12265	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
19	17, 18	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = (1 + 1)
20	19	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)) = (ℤ≥‘(1 + 1))
21	16, 20	eleqtrrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
22	5, 10, 11, 13, 21	sseqp1 34552	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)) = ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
23		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → 𝑤 = 𝑡)
24		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑡))
25	24	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 2) = ((♯‘𝑡) − 2))
26	23, 25	fveq12d 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)))
27	24	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑡) − 1))
28	23, 27	fveq12d 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
29	26, 28	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
30	29	cbvmptv 5202	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))))
32		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
33	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
34	33	reseq1d 5937	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
35	32, 34	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
37	36	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
38	5, 10, 11, 13	sseqf 34549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0)
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
40	39	feq1d 6644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci:ℕ0⟶ℕ0 ↔ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0))
41	38, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fibci:ℕ0⟶ℕ0)
42		nnnn0 12408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
43	42, 9	nn0addcld 12466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
44	5, 41, 43	subiwrdlen 34543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
46	37, 45	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))
47	46	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = ((𝑁 + 1) − 2))
48		nncn 12153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49		1cnd 11127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
50		2cnd 12223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	addsubassd 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 + (1 − 2)))
52	48, 50, 49	subsub2d 11521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 + (1 − 2)))
53		2m1e1 12266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 − 1) = 1
54	53	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
56	51, 52, 55	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
57	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
58	47, 57	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = (𝑁 − 1))
59	58	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
60	36	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘(𝑁 − 1)) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)))
61		nnm1nn0 12442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
62		peano2nn 12157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
63		nnre 12152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
64		2re 12219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
66	63, 65	readdcld 11161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
67		1red 11133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
68		2rp 12910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
70	63, 69	ltaddrpd 12982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 2))
71	63, 66, 67, 70	ltsub1dd 11749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 2) − 1))
72	48, 50, 49	addsubassd 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
73	53	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
74	72, 73	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
75	71, 74	breqtrd 5124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1))
76		elfzo0 13616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1)))
77	61, 62, 75, 76	syl3anbrc 1344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
78	77	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
79		fvres 6853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
81	59, 60, 80	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
82	46	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
83		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
84	83	nncnd 12161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
85		1cnd 11127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℂ)
86	84, 85	pncand 11493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
87	82, 86	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
88	87	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (𝑡‘𝑁))
89	36	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘𝑁) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
90		nn0fz0 13541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
91	42, 90	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92		nnz 12509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
93		fzval3 13650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
95	91, 94	eleqtrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
96	95	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
97		fvres 6853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
98	96, 97	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
99	88, 89, 98	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (Fibci‘𝑁))
100	81, 99	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
101	35, 100	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
102	39	reseq1d 5937	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
103	5, 41, 43	subiwrd 34542	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word ℕ0)
104		ovex 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ∈ V
105	1, 104	eqeltri 2832	. . . . . . . 8 ⊢ Fibci ∈ V
106	105	resex 5988	. . . . . . 7 ⊢ (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V
107	106	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V)
108	18	fveq2i 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
109	16, 108	eleqtrdi 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
110	44, 109	eqeltrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2))
111		hashf 14261	. . . . . . 7 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
112		ffn 6662	. . . . . . 7 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
113		elpreima 7003	. . . . . . 7 ⊢ (♯ Fn V → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2))))
114	111, 112, 113	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2)))
115	107, 110, 114	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)))
116	103, 115	elind 4152	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))))
117	102, 116	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))))
118		ovex 7391	. . . 4 ⊢ ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V
119	118	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V)
120	31, 101, 117, 119	fvmptd 6948	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
121	3, 22, 120	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   “ cima 5627   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  +∞cpnf 11163   < clt 11166   − cmin 11364  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436  ⟨“cs2 14764  seq_strcsseq 34540  Fibcicfib 34553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-concat 14494  df-s1 14520  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-s2 14771  df-sseq 34541  df-fib 34554

This theorem is referenced by:  fib2  34559  fib3  34560  fib4  34561  fib5  34562  fib6  34563