Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fibp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fibp1 34235
Description: Value of the Fibonacci sequence at higher indices. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fibp1 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Proof of Theorem fibp1
Dummy variables 𝑤 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fib 34231 . . . 4 Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
21fveq1i 6902 . . 3 (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1))
32a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)))
4 nn0ex 12530 . . . 4 0 ∈ V
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ℕ0 ∈ V)
6 0nn0 12539 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ0)
8 1nn0 12540 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
107, 9s2cld 14880 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
11 eqid 2726 . . 3 (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
12 fiblem 34232 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
1312a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
14 eluzp1p1 12902 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
15 nnuz 12917 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15eleq2s 2844 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
17 s2len 14898 . . . . . 6 (♯‘⟨“01”⟩) = 2
18 1p1e2 12389 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1917, 18eqtr4i 2757 . . . . 5 (♯‘⟨“01”⟩) = (1 + 1)
2019fveq2i 6904 . . . 4 (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)) = (ℤ‘(1 + 1))
2116, 20eleqtrrdi 2837 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))
225, 10, 11, 13, 21sseqp1 34229 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)) = ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
23 id 22 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡𝑤 = 𝑡)
24 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑡 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑡))
2524oveq1d 7439 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 2) = ((♯‘𝑡) − 2))
2623, 25fveq12d 6908 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)))
2724oveq1d 7439 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑡) − 1))
2823, 27fveq12d 6908 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
2926, 28oveq12d 7442 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
3029cbvmptv 5266 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
3130a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))))
32 simpr 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
331a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
3433reseq1d 5988 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
3532, 34eqtr4d 2769 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
36 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
3736fveq2d 6905 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
385, 10, 11, 13sseqf 34226 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0)
391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
4039feq1d 6713 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci:ℕ0⟶ℕ0 ↔ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0))
4138, 40mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → Fibci:ℕ0⟶ℕ0)
42 nnnn0 12531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4342, 9nn0addcld 12588 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
445, 41, 43subiwrdlen 34220 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
4544adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
4637, 45eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))
4746oveq1d 7439 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = ((𝑁 + 1) − 2))
48 nncn 12272 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49 1cnd 11259 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
50 2cnd 12342 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
5148, 49, 50addsubassd 11641 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 + (1 − 2)))
5248, 50, 49subsub2d 11650 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 + (1 − 2)))
53 2m1e1 12390 . . . . . . . . . . . 12 (2 − 1) = 1
5453oveq2i 7435 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
5651, 52, 553eqtr2d 2772 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
5756adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
5847, 57eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = (𝑁 − 1))
5958fveq2d 6905 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
6036fveq1d 6903 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘(𝑁 − 1)) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)))
61 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
62 peano2nn 12276 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
63 nnre 12271 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
64 2re 12338 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
6663, 65readdcld 11293 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
67 1red 11265 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
68 2rp 13033 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
7063, 69ltaddrpd 13103 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 2))
7163, 66, 67, 70ltsub1dd 11876 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 2) − 1))
7248, 50, 49addsubassd 11641 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
7353oveq2i 7435 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
7472, 73eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
7571, 74breqtrd 5179 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1))
76 elfzo0 13727 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1)))
7761, 62, 75, 76syl3anbrc 1340 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
7877adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
79 fvres 6920 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
8159, 60, 803eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
8246oveq1d 7439 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
83 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8483nncnd 12280 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
85 1cnd 11259 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℂ)
8684, 85pncand 11622 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8782, 86eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
8887fveq2d 6905 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (𝑡𝑁))
8936fveq1d 6903 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡𝑁) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
90 nn0fz0 13653 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
9142, 90sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92 nnz 12631 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
93 fzval3 13755 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9591, 94eleqtrd 2828 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
9695adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
97 fvres 6920 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
9896, 97syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
9988, 89, 983eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (Fibci‘𝑁))
10081, 99oveq12d 7442 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
10135, 100syldan 589 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
10239reseq1d 5988 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
1035, 41, 43subiwrd 34219 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word ℕ0)
104 ovex 7457 . . . . . . . . 9 (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ∈ V
1051, 104eqeltri 2822 . . . . . . . 8 Fibci ∈ V
106105resex 6038 . . . . . . 7 (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V
107106a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V)
10818fveq2i 6904 . . . . . . . 8 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
10916, 108eleqtrdi 2836 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘2))
11044, 109eqeltrd 2826 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ‘2))
111 hashf 14355 . . . . . . 7 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
112 ffn 6728 . . . . . . 7 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
113 elpreima 7071 . . . . . . 7 (♯ Fn V → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (♯ “ (ℤ‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ‘2))))
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . 6 ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (♯ “ (ℤ‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ‘2)))
115107, 110, 114sylanbrc 581 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (♯ “ (ℤ‘2)))
116103, 115elind 4195 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))))
117102, 116eqeltrrd 2827 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))))
118 ovex 7457 . . . 4 ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V
119118a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V)
12031, 101, 117, 119fvmptd 7016 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
1213, 22, 1203eqtrd 2770 1 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  cun 3945  cin 3946  {csn 4633   class class class wbr 5153  cmpt 5236  ccnv 5681  cres 5684  cima 5685   Fn wfn 6549  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  +∞cpnf 11295   < clt 11298  cmin 11494  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12610  cuz 12874  +crp 13028  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681  chash 14347  Word cword 14522  ⟨“cs2 14850  seqstrcsseq 34217  Fibcicfib 34230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-word 14523  df-lsw 14571  df-concat 14579  df-s1 14604  df-substr 14649  df-pfx 14679  df-s2 14857  df-sseq 34218  df-fib 34231
This theorem is referenced by:  fib2  34236  fib3  34237  fib4  34238  fib5  34239  fib6  34240
  Copyright terms: Public domain W3C validator