Theorem fibp1 34366

Description: Value of the Fibonacci sequence at higher indices. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fibp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Proof of Theorem fibp1

Dummy variables 𝑤 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fib 34362	. . . 4 ⊢ Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
2	1	fveq1i 6921	. . 3 ⊢ (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)))
4		nn0ex 12559	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ0 ∈ V)
6		0nn0 12568	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ0)
8		1nn0 12569	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
10	7, 9	s2cld 14920	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
11		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
12		fiblem 34363	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
14		eluzp1p1 12931	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
15		nnuz 12946	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleq2s 2862	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
17		s2len 14938	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
18		1p1e2 12418	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
19	17, 18	eqtr4i 2771	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = (1 + 1)
20	19	fveq2i 6923	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)) = (ℤ≥‘(1 + 1))
21	16, 20	eleqtrrdi 2855	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
22	5, 10, 11, 13, 21	sseqp1 34360	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)) = ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
23		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → 𝑤 = 𝑡)
24		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑡))
25	24	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 2) = ((♯‘𝑡) − 2))
26	23, 25	fveq12d 6927	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)))
27	24	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑡) − 1))
28	23, 27	fveq12d 6927	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
29	26, 28	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
30	29	cbvmptv 5279	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))))
32		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
33	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
34	33	reseq1d 6008	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
35	32, 34	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
37	36	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
38	5, 10, 11, 13	sseqf 34357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0)
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
40	39	feq1d 6732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci:ℕ0⟶ℕ0 ↔ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0))
41	38, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fibci:ℕ0⟶ℕ0)
42		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
43	42, 9	nn0addcld 12617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
44	5, 41, 43	subiwrdlen 34351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
46	37, 45	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))
47	46	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = ((𝑁 + 1) − 2))
48		nncn 12301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49		1cnd 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
50		2cnd 12371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	addsubassd 11667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 + (1 − 2)))
52	48, 50, 49	subsub2d 11676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 + (1 − 2)))
53		2m1e1 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 − 1) = 1
54	53	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
56	51, 52, 55	3eqtr2d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
57	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
58	47, 57	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = (𝑁 − 1))
59	58	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
60	36	fveq1d 6922	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘(𝑁 − 1)) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)))
61		nnm1nn0 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
62		peano2nn 12305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
63		nnre 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
64		2re 12367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
66	63, 65	readdcld 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
67		1red 11291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
68		2rp 13062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
70	63, 69	ltaddrpd 13132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 2))
71	63, 66, 67, 70	ltsub1dd 11902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 2) − 1))
72	48, 50, 49	addsubassd 11667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
73	53	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
74	72, 73	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
75	71, 74	breqtrd 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1))
76		elfzo0 13757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1)))
77	61, 62, 75, 76	syl3anbrc 1343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
78	77	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
79		fvres 6939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
81	59, 60, 80	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
82	46	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
83		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
84	83	nncnd 12309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
85		1cnd 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℂ)
86	84, 85	pncand 11648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
87	82, 86	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
88	87	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (𝑡‘𝑁))
89	36	fveq1d 6922	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘𝑁) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
90		nn0fz0 13682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
91	42, 90	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92		nnz 12660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
93		fzval3 13785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
95	91, 94	eleqtrd 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
96	95	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
97		fvres 6939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
98	96, 97	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
99	88, 89, 98	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (Fibci‘𝑁))
100	81, 99	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
101	35, 100	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
102	39	reseq1d 6008	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
103	5, 41, 43	subiwrd 34350	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word ℕ0)
104		ovex 7481	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ∈ V
105	1, 104	eqeltri 2840	. . . . . . . 8 ⊢ Fibci ∈ V
106	105	resex 6058	. . . . . . 7 ⊢ (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V
107	106	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V)
108	18	fveq2i 6923	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
109	16, 108	eleqtrdi 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
110	44, 109	eqeltrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2))
111		hashf 14387	. . . . . . 7 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
112		ffn 6747	. . . . . . 7 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
113		elpreima 7091	. . . . . . 7 ⊢ (♯ Fn V → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2))))
114	111, 112, 113	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2)))
115	107, 110, 114	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)))
116	103, 115	elind 4223	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))))
117	102, 116	eqeltrrd 2845	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))))
118		ovex 7481	. . . 4 ⊢ ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V
119	118	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V)
120	31, 101, 117, 119	fvmptd 7036	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
121	3, 22, 120	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  +∞cpnf 11321   < clt 11324   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562  ⟨“cs2 14890  seq_strcsseq 34348  Fibcicfib 34361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-s2 14897  df-sseq 34349  df-fib 34362

This theorem is referenced by:  fib2  34367  fib3  34368  fib4  34369  fib5  34370  fib6  34371