Theorem fibp1 34385

Description: Value of the Fibonacci sequence at higher indices. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fibp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Proof of Theorem fibp1

Dummy variables 𝑤 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fib 34381	. . . 4 ⊢ Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
2	1	fveq1i 6841	. . 3 ⊢ (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)))
4		nn0ex 12424	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ0 ∈ V)
6		0nn0 12433	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ0)
8		1nn0 12434	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
10	7, 9	s2cld 14813	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
12		fiblem 34382	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
14		eluzp1p1 12797	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
15		nnuz 12812	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleq2s 2846	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
17		s2len 14831	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
18		1p1e2 12282	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
19	17, 18	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = (1 + 1)
20	19	fveq2i 6843	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)) = (ℤ≥‘(1 + 1))
21	16, 20	eleqtrrdi 2839	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
22	5, 10, 11, 13, 21	sseqp1 34379	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)) = ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
23		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → 𝑤 = 𝑡)
24		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑡))
25	24	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 2) = ((♯‘𝑡) − 2))
26	23, 25	fveq12d 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)))
27	24	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑡) − 1))
28	23, 27	fveq12d 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
29	26, 28	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
30	29	cbvmptv 5206	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))))
32		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
33	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
34	33	reseq1d 5938	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
35	32, 34	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
37	36	fveq2d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
38	5, 10, 11, 13	sseqf 34376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0)
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
40	39	feq1d 6652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci:ℕ0⟶ℕ0 ↔ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0))
41	38, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fibci:ℕ0⟶ℕ0)
42		nnnn0 12425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
43	42, 9	nn0addcld 12483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
44	5, 41, 43	subiwrdlen 34370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
46	37, 45	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))
47	46	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = ((𝑁 + 1) − 2))
48		nncn 12170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49		1cnd 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
50		2cnd 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	addsubassd 11529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 + (1 − 2)))
52	48, 50, 49	subsub2d 11538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 + (1 − 2)))
53		2m1e1 12283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 − 1) = 1
54	53	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
56	51, 52, 55	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
57	56	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
58	47, 57	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = (𝑁 − 1))
59	58	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
60	36	fveq1d 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘(𝑁 − 1)) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)))
61		nnm1nn0 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
62		peano2nn 12174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
63		nnre 12169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
64		2re 12236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
66	63, 65	readdcld 11179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
67		1red 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
68		2rp 12932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
70	63, 69	ltaddrpd 13004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 2))
71	63, 66, 67, 70	ltsub1dd 11766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 2) − 1))
72	48, 50, 49	addsubassd 11529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
73	53	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
74	72, 73	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
75	71, 74	breqtrd 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1))
76		elfzo0 13637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1)))
77	61, 62, 75, 76	syl3anbrc 1344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
78	77	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
79		fvres 6859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
81	59, 60, 80	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
82	46	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
83		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
84	83	nncnd 12178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
85		1cnd 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℂ)
86	84, 85	pncand 11510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
87	82, 86	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
88	87	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (𝑡‘𝑁))
89	36	fveq1d 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘𝑁) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
90		nn0fz0 13562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
91	42, 90	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92		nnz 12526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
93		fzval3 13671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
95	91, 94	eleqtrd 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
96	95	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
97		fvres 6859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
98	96, 97	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
99	88, 89, 98	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (Fibci‘𝑁))
100	81, 99	oveq12d 7387	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
101	35, 100	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
102	39	reseq1d 5938	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
103	5, 41, 43	subiwrd 34369	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word ℕ0)
104		ovex 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ∈ V
105	1, 104	eqeltri 2824	. . . . . . . 8 ⊢ Fibci ∈ V
106	105	resex 5989	. . . . . . 7 ⊢ (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V
107	106	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V)
108	18	fveq2i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
109	16, 108	eleqtrdi 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
110	44, 109	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2))
111		hashf 14279	. . . . . . 7 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
112		ffn 6670	. . . . . . 7 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
113		elpreima 7012	. . . . . . 7 ⊢ (♯ Fn V → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2))))
114	111, 112, 113	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2)))
115	107, 110, 114	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)))
116	103, 115	elind 4159	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))))
117	102, 116	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))))
118		ovex 7402	. . . 4 ⊢ ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V
119	118	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V)
120	31, 101, 117, 119	fvmptd 6957	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
121	3, 22, 120	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910  {csn 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633   “ cima 5634   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047  +∞cpnf 11181   < clt 11184   − cmin 11381  ℕcn 12162  2c2 12217  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ℝ⁺crp 12927  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591  ♯chash 14271  Word cword 14454  ⟨“cs2 14783  seq_strcsseq 34367  Fibcicfib 34380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-word 14455  df-lsw 14504  df-concat 14512  df-s1 14537  df-substr 14582  df-pfx 14612  df-s2 14790  df-sseq 34368  df-fib 34381

This theorem is referenced by:  fib2  34386  fib3  34387  fib4  34388  fib5  34389  fib6  34390