Theorem fibp1 35033

Description: Value of the Fibonacci sequence at higher indices. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fibp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Proof of Theorem fibp1

Dummy variables 𝑤 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fib 35029	. . . 4 ⊢ Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
2	1	fveq1i 6886	. . 3 ⊢ (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)))
4		nn0ex 12612	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ0 ∈ V)
6		0nn0 12621	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ0)
8		1nn0 12622	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
10	7, 9	s2cld 15022	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
11		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
12		fiblem 35030	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
14		eluzp1p1 12993	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
15		nnuz 13004	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleq2s 2879	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
17		s2len 15040	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
18		1p1e2 12466	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
19	17, 18	eqtr4i 2787	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = (1 + 1)
20	19	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)) = (ℤ≥‘(1 + 1))
21	16, 20	eleqtrrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
22	5, 10, 11, 13, 21	sseqp1 35027	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)) = ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
23		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → 𝑤 = 𝑡)
24		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑡))
25	24	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 2) = ((♯‘𝑡) − 2))
26	23, 25	fveq12d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)))
27	24	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑡) − 1))
28	23, 27	fveq12d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
29	26, 28	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
30	29	cbvmptv 5209	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))))
32		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
33	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
34	33	reseq1d 5969	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
35	32, 34	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
36		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
37	36	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
38	5, 10, 11, 13	sseqf 35024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0)
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
40	39	feq1d 6691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci:ℕ0⟶ℕ0 ↔ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0))
41	38, 40	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fibci:ℕ0⟶ℕ0)
42		nnnn0 12613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
43	42, 9	nn0addcld 12671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
44	5, 41, 43	subiwrdlen 35018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
46	37, 45	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))
47	46	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = ((𝑁 + 1) − 2))
48		nncn 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49		1cnd 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
50		2cnd 12421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	addsubassd 11689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 + (1 − 2)))
52	48, 50, 49	subsub2d 11698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 + (1 − 2)))
53		2m1e1 12467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 − 1) = 1
54	53	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
56	51, 52, 55	3eqtr2d 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
57	56	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
58	47, 57	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = (𝑁 − 1))
59	58	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
60	36	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘(𝑁 − 1)) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)))
61		nnm1nn0 12647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
62		peano2nn 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
63		nnre 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
64		2re 12417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
66	63, 65	readdcld 11338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
67		1red 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
68		2rp 13125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
70	63, 69	ltaddrpd 13197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 2))
71	63, 66, 67, 70	ltsub1dd 11928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 2) − 1))
72	48, 50, 49	addsubassd 11689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
73	53	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
74	72, 73	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
75	71, 74	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1))
76		elfzo0 13835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1)))
77	61, 62, 75, 76	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
78	77	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
79		fvres 6904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
80	78, 79	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
81	59, 60, 80	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
82	46	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
83		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
84	83	nncnd 12351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
85		1cnd 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℂ)
86	84, 85	pncand 11670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
87	82, 86	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
88	87	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (𝑡‘𝑁))
89	36	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘𝑁) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
90		nn0fz0 13759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
91	42, 90	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92		nnz 12714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
93		fzval3 13869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
94	92, 93	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
95	91, 94	eleqtrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
96	95	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
97		fvres 6904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
98	96, 97	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
99	88, 89, 98	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (Fibci‘𝑁))
100	81, 99	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
101	35, 100	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
102	39	reseq1d 5969	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
103	5, 41, 43	subiwrd 35017	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word ℕ0)
104		ovex 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ∈ V
105	1, 104	eqeltri 2857	. . . . . . . 8 ⊢ Fibci ∈ V
106	105	resex 6018	. . . . . . 7 ⊢ (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V
107	106	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V)
108	18	fveq2i 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
109	16, 108	eleqtrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
110	44, 109	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2))
111		hashf 14482	. . . . . . 7 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
112		ffn 6709	. . . . . . 7 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
113		elpreima 7057	. . . . . . 7 ⊢ (♯ Fn V → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2))))
114	111, 112, 113	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2)))
115	107, 110, 114	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)))
116	103, 115	elind 4146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))))
117	102, 116	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))))
118		ovex 7453	. . . 4 ⊢ ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V
119	118	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V)
120	31, 101, 117, 119	fvmptd 7001	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
121	3, 22, 120	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653   “ cima 5654   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  +∞cpnf 11340   < clt 11343   − cmin 11541  ℕcn 12335  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658  ⟨“cs2 14992  seq_strcsseq 35015  Fibcicfib 35028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-s2 14999  df-sseq 35016  df-fib 35029

This theorem is used by:  fib2  35034  fib3  35035  fib4  35036  fib5  35037  fib6  35038