Theorem fibp1 33001

Description: Value of the Fibonacci sequence at higher indices. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fibp1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Proof of Theorem fibp1

Dummy variables 𝑤 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fib 32997	. . . 4 ⊢ Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
2	1	fveq1i 6843	. . 3 ⊢ (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)))
4		nn0ex 12419	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ0 ∈ V)
6		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ0)
8		1nn0 12429	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
10	7, 9	s2cld 14760	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
12		fiblem 32998	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
14		eluzp1p1 12791	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
15		nnuz 12806	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleq2s 2856	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
17		s2len 14778	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
18		1p1e2 12278	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
19	17, 18	eqtr4i 2767	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = (1 + 1)
20	19	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)) = (ℤ≥‘(1 + 1))
21	16, 20	eleqtrrdi 2849	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))
22	5, 10, 11, 13, 21	sseqp1 32995	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)) = ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
23		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → 𝑤 = 𝑡)
24		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑡))
25	24	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 2) = ((♯‘𝑡) − 2))
26	23, 25	fveq12d 6849	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)))
27	24	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑡) − 1))
28	23, 27	fveq12d 6849	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
29	26, 28	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
30	29	cbvmptv 5218	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))))
32		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
33	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
34	33	reseq1d 5936	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
35	32, 34	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
36		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
37	36	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
38	5, 10, 11, 13	sseqf 32992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0)
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
40	39	feq1d 6653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci:ℕ0⟶ℕ0 ↔ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0))
41	38, 40	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fibci:ℕ0⟶ℕ0)
42		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
43	42, 9	nn0addcld 12477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
44	5, 41, 43	subiwrdlen 32986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
46	37, 45	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))
47	46	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = ((𝑁 + 1) − 2))
48		nncn 12161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49		1cnd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
50		2cnd 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	addsubassd 11532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 + (1 − 2)))
52	48, 50, 49	subsub2d 11541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 + (1 − 2)))
53		2m1e1 12279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 − 1) = 1
54	53	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
56	51, 52, 55	3eqtr2d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
57	56	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
58	47, 57	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = (𝑁 − 1))
59	58	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
60	36	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘(𝑁 − 1)) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)))
61		nnm1nn0 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
62		peano2nn 12165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
63		nnre 12160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
64		2re 12227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
66	63, 65	readdcld 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
67		1red 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
68		2rp 12920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
70	63, 69	ltaddrpd 12990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 2))
71	63, 66, 67, 70	ltsub1dd 11767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 2) − 1))
72	48, 50, 49	addsubassd 11532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
73	53	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
74	72, 73	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
75	71, 74	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1))
76		elfzo0 13613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1)))
77	61, 62, 75, 76	syl3anbrc 1343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
78	77	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
79		fvres 6861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
81	59, 60, 80	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
82	46	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
83		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
84	83	nncnd 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
85		1cnd 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℂ)
86	84, 85	pncand 11513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
87	82, 86	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
88	87	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (𝑡‘𝑁))
89	36	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘𝑁) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
90		nn0fz0 13539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
91	42, 90	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92		nnz 12520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
93		fzval3 13641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
95	91, 94	eleqtrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
96	95	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
97		fvres 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
98	96, 97	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
99	88, 89, 98	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (Fibci‘𝑁))
100	81, 99	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
101	35, 100	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
102	39	reseq1d 5936	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
103	5, 41, 43	subiwrd 32985	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word ℕ0)
104		ovex 7390	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ∈ V
105	1, 104	eqeltri 2834	. . . . . . . 8 ⊢ Fibci ∈ V
106	105	resex 5985	. . . . . . 7 ⊢ (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V
107	106	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V)
108	18	fveq2i 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
109	16, 108	eleqtrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
110	44, 109	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2))
111		hashf 14238	. . . . . . 7 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
112		ffn 6668	. . . . . . 7 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
113		elpreima 7008	. . . . . . 7 ⊢ (♯ Fn V → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2))))
114	111, 112, 113	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ≥‘2)))
115	107, 110, 114	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘2)))
116	103, 115	elind 4154	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))))
117	102, 116	eqeltrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))))
118		ovex 7390	. . . 4 ⊢ ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V
119	118	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V)
120	31, 101, 117, 119	fvmptd 6955	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
121	3, 22, 120	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5632   ↾ cres 5635   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186   < clt 11189   − cmin 11385  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  ♯chash 14230  Word cword 14402  ⟨“cs2 14730  seq_strcsseq 32983  Fibcicfib 32996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-s2 14737  df-sseq 32984  df-fib 32997

This theorem is referenced by:  fib2  33002  fib3  33003  fib4  33004  fib5  33005  fib6  33006