Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fibp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fibp1 31272
Description: Value of the Fibonacci sequence at higher indices. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fibp1 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Proof of Theorem fibp1
Dummy variables 𝑤 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fib 31268 . . . 4 Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
21fveq1i 6546 . . 3 (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1))
32a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)))
4 nn0ex 11757 . . . 4 0 ∈ V
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ℕ0 ∈ V)
6 0nn0 11766 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ0)
8 1nn0 11767 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
107, 9s2cld 14073 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
11 eqid 2797 . . 3 (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
12 fiblem 31269 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
1312a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
14 eluzp1p1 12123 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
15 nnuz 12134 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15eleq2s 2903 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
17 s2len 14091 . . . . . 6 (♯‘⟨“01”⟩) = 2
18 1p1e2 11616 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1917, 18eqtr4i 2824 . . . . 5 (♯‘⟨“01”⟩) = (1 + 1)
2019fveq2i 6548 . . . 4 (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)) = (ℤ‘(1 + 1))
2116, 20syl6eleqr 2896 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))
225, 10, 11, 13, 21sseqp1 31266 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)) = ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
23 id 22 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡𝑤 = 𝑡)
24 fveq2 6545 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑡 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑡))
2524oveq1d 7038 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 2) = ((♯‘𝑡) − 2))
2623, 25fveq12d 6552 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)))
2724oveq1d 7038 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑡) − 1))
2823, 27fveq12d 6552 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
2926, 28oveq12d 7041 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))) = ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
3029cbvmptv 5068 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))))
3130a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))))
32 simpr 485 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
331a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
3433reseq1d 5740 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
3532, 34eqtr4d 2836 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
36 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
3736fveq2d 6549 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
385, 10, 11, 13sseqf 31263 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0)
391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))))
4039feq1d 6374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci:ℕ0⟶ℕ0 ↔ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0))
4138, 40mpbird 258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → Fibci:ℕ0⟶ℕ0)
42 nnnn0 11758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4342, 9nn0addcld 11813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
445, 41, 43subiwrdlen 31257 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
4544adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
4637, 45eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (♯‘𝑡) = (𝑁 + 1))
4746oveq1d 7038 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = ((𝑁 + 1) − 2))
48 nncn 11500 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49 1cnd 10489 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
50 2cnd 11569 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
5148, 49, 50addsubassd 10871 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 + (1 − 2)))
5248, 50, 49subsub2d 10880 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 + (1 − 2)))
53 2m1e1 11617 . . . . . . . . . . . 12 (2 − 1) = 1
5453oveq2i 7034 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
5651, 52, 553eqtr2d 2839 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
5756adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
5847, 57eqtrd 2833 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 2) = (𝑁 − 1))
5958fveq2d 6549 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
6036fveq1d 6547 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘(𝑁 − 1)) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)))
61 nnm1nn0 11792 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
62 peano2nn 11504 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
63 nnre 11499 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
64 2re 11565 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
6663, 65readdcld 10523 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
67 1red 10495 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
68 2rp 12248 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
7063, 69ltaddrpd 12318 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 2))
7163, 66, 67, 70ltsub1dd 11106 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 2) − 1))
7248, 50, 49addsubassd 10871 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
7353oveq2i 7034 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
7472, 73syl6eq 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
7571, 74breqtrd 4994 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1))
76 elfzo0 12932 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1)))
7761, 62, 75, 76syl3anbrc 1336 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
7877adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
79 fvres 6564 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
8159, 60, 803eqtrd 2837 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
8246oveq1d 7038 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
83 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8483nncnd 11508 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
85 1cnd 10489 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℂ)
8684, 85pncand 10852 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8782, 86eqtrd 2833 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((♯‘𝑡) − 1) = 𝑁)
8887fveq2d 6549 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (𝑡𝑁))
8936fveq1d 6547 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡𝑁) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
90 nn0fz0 12859 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
9142, 90sylib 219 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92 nnz 11858 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
93 fzval3 12960 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9591, 94eleqtrd 2887 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
9695adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
97 fvres 6564 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
9896, 97syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
9988, 89, 983eqtrd 2837 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) = (Fibci‘𝑁))
10081, 99oveq12d 7041 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
10135, 100syldan 591 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((♯‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
10239reseq1d 5740 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
1035, 41, 43subiwrd 31256 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word ℕ0)
104 ovex 7055 . . . . . . . . 9 (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ∈ V
1051, 104eqeltri 2881 . . . . . . . 8 Fibci ∈ V
106105resex 5787 . . . . . . 7 (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V
107106a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V)
10818fveq2i 6548 . . . . . . . 8 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
10916, 108syl6eleq 2895 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘2))
11044, 109eqeltrd 2885 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ‘2))
111 hashf 13552 . . . . . . 7 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
112 ffn 6389 . . . . . . 7 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
113 elpreima 6700 . . . . . . 7 (♯ Fn V → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (♯ “ (ℤ‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ‘2))))
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . 6 ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (♯ “ (ℤ‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (♯‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ‘2)))
115107, 110, 114sylanbrc 583 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (♯ “ (ℤ‘2)))
116103, 115elind 4098 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))))
117102, 116eqeltrrd 2886 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))))
118 ovex 7055 . . . 4 ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V
119118a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V)
12031, 101, 117, 119fvmptd 6648 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
1213, 22, 1203eqtrd 2837 1 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  Vcvv 3440  cun 3863  cin 3864  {csn 4478   class class class wbr 4968  cmpt 5047  ccnv 5449  cres 5452  cima 5453   Fn wfn 6227  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393  +∞cpnf 10525   < clt 10528  cmin 10723  cn 11492  2c2 11546  0cn0 11751  cz 11835  cuz 12097  +crp 12243  ...cfz 12746  ..^cfzo 12887  chash 13544  Word cword 13711  ⟨“cs2 14043  seqstrcsseq 31254  Fibcicfib 31267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-word 13712  df-lsw 13765  df-concat 13773  df-s1 13798  df-substr 13843  df-pfx 13873  df-s2 14050  df-sseq 31255  df-fib 31268
This theorem is referenced by:  fib2  31273  fib3  31274  fib4  31275  fib5  31276  fib6  31277
  Copyright terms: Public domain W3C validator