Theorem icodiamlt 15386

Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icodiamlt	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem icodiamlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11264	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		elico2 13392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
3		elico2 13392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵)))
4	2, 3	anbi12d 629	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))))
5	4	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))))
6	1, 5	sylan2 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))))
7		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		simpll 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	8, 10	negsubdi2d 11591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
12	9, 7	resubcld 11646	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
13		simprl1 1216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
14	13, 7	resubcld 11646	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
15		simprr1 1219	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
16	13, 15	resubcld 11646	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℝ)
17		simprl2 1217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐶)
18	9, 13, 7, 17	lesub1dd 11834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐵))
19		simprr3 1221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 < 𝐵)
20	15, 7, 13, 19	ltsub2dd 11831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐵) < (𝐶 − 𝐷))
21	12, 14, 16, 18, 20	lelttrd 11376	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) < (𝐶 − 𝐷))
22	11, 21	eqbrtrd 5169	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵 − 𝐴) < (𝐶 − 𝐷))
23	7, 15	resubcld 11646	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
24	7, 9	resubcld 11646	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
25		simprl3 1218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 < 𝐵)
26	13, 7, 15, 25	ltsub1dd 11830	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐷) < (𝐵 − 𝐷))
27		simprr2 1220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐷)
28	9, 15, 7, 27	lesub2dd 11835	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐵 − 𝐷) ≤ (𝐵 − 𝐴))
29	16, 23, 24, 26, 28	ltletrd 11378	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐷) < (𝐵 − 𝐴))
30	16, 24	absltd 15380	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → ((abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴) ↔ (-(𝐵 − 𝐴) < (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐷) < (𝐵 − 𝐴))))
31	22, 29, 30	mpbir2and 709	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴))
32	31	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵)) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴)))
33	6, 32	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴)))
34	33	imp 405	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  -cneg 11449  [,)cico 13330  abscabs 15185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187

This theorem is referenced by:  irrapxlem2  41863  hoiqssbllem2  45637