MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icodiamlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icodiamlt 15440
Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
icodiamlt (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴))

Proof of Theorem icodiamlt
StepHypRef Expression
1 rexr 11310 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 elico2 13442 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
3 elico2 13442 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵)))
42, 3anbi12d 630 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))))
54biimpd 228 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))))
61, 5sylan2 591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))))
7 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
87recnd 11292 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
109recnd 11292 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
118, 10negsubdi2d 11637 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵𝐴) = (𝐴𝐵))
129, 7resubcld 11692 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
13 simprl1 1215 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
1413, 7resubcld 11692 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
15 simprr1 1218 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
1613, 15resubcld 11692 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐷) ∈ ℝ)
17 simprl2 1216 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐴𝐶)
189, 13, 7, 17lesub1dd 11880 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐴𝐵) ≤ (𝐶𝐵))
19 simprr3 1220 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 < 𝐵)
2015, 7, 13, 19ltsub2dd 11877 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐵) < (𝐶𝐷))
2112, 14, 16, 18, 20lelttrd 11422 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐴𝐵) < (𝐶𝐷))
2211, 21eqbrtrd 5175 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵𝐴) < (𝐶𝐷))
237, 15resubcld 11692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐵𝐷) ∈ ℝ)
247, 9resubcld 11692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
25 simprl3 1217 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 < 𝐵)
2613, 7, 15, 25ltsub1dd 11876 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐷) < (𝐵𝐷))
27 simprr2 1219 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐴𝐷)
289, 15, 7, 27lesub2dd 11881 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐵𝐷) ≤ (𝐵𝐴))
2916, 23, 24, 26, 28ltletrd 11424 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐷) < (𝐵𝐴))
3016, 24absltd 15434 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → ((abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴) ↔ (-(𝐵𝐴) < (𝐶𝐷) ∧ (𝐶𝐷) < (𝐵𝐴))))
3122, 29, 30mpbir2and 711 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴))
3231ex 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵)) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴)))
336, 32syld 47 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴)))
3433imp 405 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2099   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cr 11157  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  -cneg 11495  [,)cico 13380  abscabs 15239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-ico 13384  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241
This theorem is referenced by:  irrapxlem2  42480  hoiqssbllem2  46244
  Copyright terms: Public domain W3C validator