MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icodiamlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icodiamlt 15474
Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
icodiamlt (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴))

Proof of Theorem icodiamlt
StepHypRef Expression
1 rexr 11307 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 elico2 13451 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
3 elico2 13451 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵)))
42, 3anbi12d 632 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))))
54biimpd 229 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))))
61, 5sylan2 593 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))))
7 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
87recnd 11289 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
109recnd 11289 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
118, 10negsubdi2d 11636 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵𝐴) = (𝐴𝐵))
129, 7resubcld 11691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
13 simprl1 1219 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
1413, 7resubcld 11691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
15 simprr1 1222 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
1613, 15resubcld 11691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐷) ∈ ℝ)
17 simprl2 1220 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐴𝐶)
189, 13, 7, 17lesub1dd 11879 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐴𝐵) ≤ (𝐶𝐵))
19 simprr3 1224 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 < 𝐵)
2015, 7, 13, 19ltsub2dd 11876 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐵) < (𝐶𝐷))
2112, 14, 16, 18, 20lelttrd 11419 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐴𝐵) < (𝐶𝐷))
2211, 21eqbrtrd 5165 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵𝐴) < (𝐶𝐷))
237, 15resubcld 11691 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐵𝐷) ∈ ℝ)
247, 9resubcld 11691 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
25 simprl3 1221 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 < 𝐵)
2613, 7, 15, 25ltsub1dd 11875 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐷) < (𝐵𝐷))
27 simprr2 1223 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → 𝐴𝐷)
289, 15, 7, 27lesub2dd 11880 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐵𝐷) ≤ (𝐵𝐴))
2916, 23, 24, 26, 28ltletrd 11421 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (𝐶𝐷) < (𝐵𝐴))
3016, 24absltd 15468 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → ((abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴) ↔ (-(𝐵𝐴) < (𝐶𝐷) ∧ (𝐶𝐷) < (𝐵𝐴))))
3122, 29, 30mpbir2and 713 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴))
3231ex 412 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐷𝐷 < 𝐵)) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴)))
336, 32syld 47 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴)))
3433imp 406 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶𝐷)) < (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493  [,)cico 13389  abscabs 15273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275
This theorem is referenced by:  irrapxlem2  42834  hoiqssbllem2  46638
  Copyright terms: Public domain W3C validator