Theorem icodiamlt 15515

Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icodiamlt	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem icodiamlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11273	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		elico2 13455	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
3		elico2 13455	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵)))
4	2, 3	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))))
5	4	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))))
6	1, 5	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))))
7		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	8, 10	negsubdi2d 11603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
12	9, 7	resubcld 11660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
13		simprl1 1237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
14	13, 7	resubcld 11660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
15		simprr1 1240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
16	13, 15	resubcld 11660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℝ)
17		simprl2 1238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐶)
18	9, 13, 7, 17	lesub1dd 11848	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐵))
19		simprr3 1242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 < 𝐵)
20	15, 7, 13, 19	ltsub2dd 11845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐵) < (𝐶 − 𝐷))
21	12, 14, 16, 18, 20	lelttrd 11386	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) < (𝐶 − 𝐷))
22	11, 21	eqbrtrd 5138	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵 − 𝐴) < (𝐶 − 𝐷))
23	7, 15	resubcld 11660	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
24	7, 9	resubcld 11660	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
25		simprl3 1239	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 < 𝐵)
26	13, 7, 15, 25	ltsub1dd 11844	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐷) < (𝐵 − 𝐷))
27		simprr2 1241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐷)
28	9, 15, 7, 27	lesub2dd 11849	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐵 − 𝐷) ≤ (𝐵 − 𝐴))
29	16, 23, 24, 26, 28	ltletrd 11388	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐷) < (𝐵 − 𝐴))
30	16, 24	absltd 15509	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → ((abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴) ↔ (-(𝐵 − 𝐴) < (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐷) < (𝐵 − 𝐴))))
31	22, 29, 30	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴))
32	31	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵)) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴)))
33	6, 32	syld 48	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴)))
34	33	imp 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  -cneg 11460  [,)cico 13392  abscabs 15311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313

This theorem is used by:  irrapxlem2  43590  hoiqssbllem2  47377