Theorem icodiamlt 15364

Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icodiamlt	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem icodiamlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11180	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		elico2 13332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
3		elico2 13332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵)))
4	2, 3	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))))
5	4	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))))
6	1, 5	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))))
7		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	8, 10	negsubdi2d 11510	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐵))
12	9, 7	resubcld 11567	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
13		simprl1 1219	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
14	13, 7	resubcld 11567	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
15		simprr1 1222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
16	13, 15	resubcld 11567	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℝ)
17		simprl2 1220	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐶)
18	9, 13, 7, 17	lesub1dd 11755	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐵))
19		simprr3 1224	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐷 < 𝐵)
20	15, 7, 13, 19	ltsub2dd 11752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐵) < (𝐶 − 𝐷))
21	12, 14, 16, 18, 20	lelttrd 11293	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) < (𝐶 − 𝐷))
22	11, 21	eqbrtrd 5117	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → -(𝐵 − 𝐴) < (𝐶 − 𝐷))
23	7, 15	resubcld 11567	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
24	7, 9	resubcld 11567	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
25		simprl3 1221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐶 < 𝐵)
26	13, 7, 15, 25	ltsub1dd 11751	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐷) < (𝐵 − 𝐷))
27		simprr2 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐷)
28	9, 15, 7, 27	lesub2dd 11756	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐵 − 𝐷) ≤ (𝐵 − 𝐴))
29	16, 23, 24, 26, 28	ltletrd 11295	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (𝐶 − 𝐷) < (𝐵 − 𝐴))
30	16, 24	absltd 15358	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → ((abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴) ↔ (-(𝐵 − 𝐴) < (𝐶 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐷) < (𝐵 − 𝐴))))
31	22, 29, 30	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵))) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴))
32	31	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵)) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴)))
33	6, 32	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴)))
34	33	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵))) → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) < (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  -cneg 11367  [,)cico 13269  abscabs 15160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-ico 13273  df-seq 13928  df-exp 13988  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162

This theorem is referenced by:  irrapxlem2  42816  hoiqssbllem2  46624