Theorem drngpropd 20344

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
drngpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
drngpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
drngpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
drngpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem drngpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngpropd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		drngpropd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		drngpropd.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
4	1, 2, 3	unitpropd 20223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
6	1, 2	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
8	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
9	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
10		drngpropd.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	10	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
12	8, 9, 11	grpidpropd 18577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
13	12	sneqd 4639	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → {(0g‘𝐾)} = {(0g‘𝐿)})
14	7, 13	difeq12d 4122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))
15	5, 14	eqeq12d 2748	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)})))
16	15	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))))
17	1, 2, 10, 3	ringpropd 20095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
18	17	anbi1d 630	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))))
19	16, 18	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))))
20		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
22		eqid 2732	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
23	20, 21, 22	isdrng 20311	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
24		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
25		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
26		eqid 2732	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
27	24, 25, 26	isdrng 20311	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)})))
28	19, 23, 27	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3944  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  ._rcmulr 17194  0_gc0g 17381  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  DivRingcdr 20307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-drng 20309

This theorem is referenced by:  fldpropd  20345  lvecprop2d  20771  hlhildrng  40815