MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngpropd 20344
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drngpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
drngpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
drngpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
drngpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
drngpropd (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem drngpropd
StepHypRef Expression
1 drngpropd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 drngpropd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 drngpropd.4 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
41, 2, 3unitpropd 20223 . . . . . 6 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
61, 2eqtr3d 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
76adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
81adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
92adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
10 drngpropd.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
1110adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
128, 9, 11grpidpropd 18577 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → (0g𝐾) = (0g𝐿))
1312sneqd 4639 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → {(0g𝐾)} = {(0g𝐿)})
147, 13difeq12d 4122 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)}) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))
155, 14eqeq12d 2748 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)})))
1615pm5.32da 579 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))))
171, 2, 10, 3ringpropd 20095 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
1817anbi1d 630 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))))
1916, 18bitrd 278 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))))
20 eqid 2732 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21 eqid 2732 . . 3 (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
22 eqid 2732 . . 3 (0g𝐾) = (0g𝐾)
2320, 21, 22isdrng 20311 . 2 (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})))
24 eqid 2732 . . 3 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
25 eqid 2732 . . 3 (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
26 eqid 2732 . . 3 (0g𝐿) = (0g𝐿)
2724, 25, 26isdrng 20311 . 2 (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)})))
2819, 23, 273bitr4g 313 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3944  {csn 4627  cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  DivRingcdr 20307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-drng 20309
This theorem is referenced by:  fldpropd  20345  lvecprop2d  20771  hlhildrng  40815
  Copyright terms: Public domain W3C validator