MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngpropd 20538
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drngpropd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
drngpropd.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
drngpropd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
drngpropd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
drngpropd (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦

Proof of Theorem drngpropd
StepHypRef Expression
1 drngpropd.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2 drngpropd.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
3 drngpropd.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
41, 2, 3unitpropd 20309 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜πΎ) = (Unitβ€˜πΏ))
54adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ Ring) β†’ (Unitβ€˜πΎ) = (Unitβ€˜πΏ))
61, 2eqtr3d 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΏ))
76adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΏ))
81adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ Ring) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
92adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ Ring) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
10 drngpropd.3 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
1110adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
128, 9, 11grpidpropd 18588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ Ring) β†’ (0gβ€˜πΎ) = (0gβ€˜πΏ))
1312sneqd 4641 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ Ring) β†’ {(0gβ€˜πΎ)} = {(0gβ€˜πΏ)})
147, 13difeq12d 4124 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ Ring) β†’ ((Baseβ€˜πΎ) βˆ– {(0gβ€˜πΎ)}) = ((Baseβ€˜πΏ) βˆ– {(0gβ€˜πΏ)}))
155, 14eqeq12d 2747 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ Ring) β†’ ((Unitβ€˜πΎ) = ((Baseβ€˜πΎ) βˆ– {(0gβ€˜πΎ)}) ↔ (Unitβ€˜πΏ) = ((Baseβ€˜πΏ) βˆ– {(0gβ€˜πΏ)})))
1615pm5.32da 578 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜πΎ) = ((Baseβ€˜πΎ) βˆ– {(0gβ€˜πΎ)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜πΏ) = ((Baseβ€˜πΏ) βˆ– {(0gβ€˜πΏ)}))))
171, 2, 10, 3ringpropd 20177 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
1817anbi1d 629 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜πΏ) = ((Baseβ€˜πΏ) βˆ– {(0gβ€˜πΏ)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜πΏ) = ((Baseβ€˜πΏ) βˆ– {(0gβ€˜πΏ)}))))
1916, 18bitrd 278 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜πΎ) = ((Baseβ€˜πΎ) βˆ– {(0gβ€˜πΎ)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜πΏ) = ((Baseβ€˜πΏ) βˆ– {(0gβ€˜πΏ)}))))
20 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
21 eqid 2731 . . 3 (Unitβ€˜πΎ) = (Unitβ€˜πΎ)
22 eqid 2731 . . 3 (0gβ€˜πΎ) = (0gβ€˜πΎ)
2320, 21, 22isdrng 20505 . 2 (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜πΎ) = ((Baseβ€˜πΎ) βˆ– {(0gβ€˜πΎ)})))
24 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
25 eqid 2731 . . 3 (Unitβ€˜πΏ) = (Unitβ€˜πΏ)
26 eqid 2731 . . 3 (0gβ€˜πΏ) = (0gβ€˜πΏ)
2724, 25, 26isdrng 20505 . 2 (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜πΏ) = ((Baseβ€˜πΏ) βˆ– {(0gβ€˜πΏ)})))
2819, 23, 273bitr4g 313 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆ– cdif 3946  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  0gc0g 17390  Ringcrg 20128  Unitcui 20247  DivRingcdr 20501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-drng 20503
This theorem is referenced by:  fldpropd  20539  lvecprop2d  20925  hlhildrng  41131
  Copyright terms: Public domain W3C validator