Theorem drngpropd 20746

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
drngpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
drngpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
drngpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
drngpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem drngpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngpropd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		drngpropd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		drngpropd.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
4	1, 2, 3	unitpropd 20397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
6	1, 2	eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
8	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
9	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
10		drngpropd.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	10	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
12	8, 9, 11	grpidpropd 18630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
13	12	sneqd 4579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → {(0g‘𝐾)} = {(0g‘𝐿)})
14	7, 13	difeq12d 4067	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))
15	5, 14	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)})))
16	15	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))))
17	1, 2, 10, 3	ringpropd 20269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
18	17	anbi1d 632	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))))
19	16, 18	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))))
20		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
22		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
23	20, 21, 22	isdrng 20710	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
24		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
25		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
26		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
27	24, 25, 26	isdrng 20710	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)})))
28	19, 23, 27	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Ringcrg 20214  Unitcui 20335  DivRingcdr 20706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-drng 20708

This theorem is referenced by:  fldpropd  20747  lvecprop2d  21164  hlhildrng  42398