Theorem drngpropd 19933

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
drngpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
drngpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
drngpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
drngpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem drngpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngpropd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		drngpropd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		drngpropd.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
4	1, 2, 3	unitpropd 19854	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
6	1, 2	eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
8	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
9	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
10		drngpropd.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	10	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
12	8, 9, 11	grpidpropd 18261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
13	12	sneqd 4570	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → {(0g‘𝐾)} = {(0g‘𝐿)})
14	7, 13	difeq12d 4054	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))
15	5, 14	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)})))
16	15	pm5.32da 578	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))))
17	1, 2, 10, 3	ringpropd 19736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
18	17	anbi1d 629	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))))
19	16, 18	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))))
20		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
22		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
23	20, 21, 22	isdrng 19910	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
24		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
25		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
26		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
27	24, 25, 26	isdrng 19910	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)})))
28	19, 23, 27	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  Ringcrg 19698  Unitcui 19796  DivRingcdr 19906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-drng 19908

This theorem is referenced by:  fldpropd  19934  lvecprop2d  20343  hlhildrng  39897