MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngpropd 18984
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drngpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
drngpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
drngpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
drngpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
drngpropd (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem drngpropd
StepHypRef Expression
1 drngpropd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 drngpropd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 drngpropd.4 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
41, 2, 3unitpropd 18905 . . . . . 6 (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
54adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
61, 2eqtr3d 2807 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
76adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
81adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
92adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
10 drngpropd.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
1110adantlr 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
128, 9, 11grpidpropd 17469 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → (0g𝐾) = (0g𝐿))
1312sneqd 4328 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → {(0g𝐾)} = {(0g𝐿)})
147, 13difeq12d 3880 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)}) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))
155, 14eqeq12d 2786 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ Ring) → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)})))
1615pm5.32da 568 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))))
171, 2, 10, 3ringpropd 18790 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
1817anbi1d 615 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))))
1916, 18bitrd 268 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)}))))
20 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21 eqid 2771 . . 3 (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
22 eqid 2771 . . 3 (0g𝐾) = (0g𝐾)
2320, 21, 22isdrng 18961 . 2 (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g𝐾)})))
24 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
25 eqid 2771 . . 3 (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
26 eqid 2771 . . 3 (0g𝐿) = (0g𝐿)
2724, 25, 26isdrng 18961 . 2 (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g𝐿)})))
2819, 23, 273bitr4g 303 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cdif 3720  {csn 4316  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  0gc0g 16308  Ringcrg 18755  Unitcui 18847  DivRingcdr 18957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-drng 18959
This theorem is referenced by:  fldpropd  18985  lvecprop2d  19381  hlhildrng  37762
  Copyright terms: Public domain W3C validator