Theorem drngpropd 20770

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
drngpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
drngpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
drngpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
drngpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem drngpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngpropd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		drngpropd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		drngpropd.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
4	1, 2, 3	unitpropd 20418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐿))
6	1, 2	eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
8	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
9	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
10		drngpropd.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	10	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
12	8, 9, 11	grpidpropd 18676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
13	12	sneqd 4637	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → {(0g‘𝐾)} = {(0g‘𝐿)})
14	7, 13	difeq12d 4126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))
15	5, 14	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Ring) → ((Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}) ↔ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)})))
16	15	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))))
17	1, 2, 10, 3	ringpropd 20286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
18	17	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))))
19	16, 18	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)}))))
20		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
22		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
23	20, 21, 22	isdrng 20734	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
24		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
25		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
26		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
27	24, 25, 26	isdrng 20734	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐿) = ((Base‘𝐿) ∖ {(0g‘𝐿)})))
28	19, 23, 27	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3947  {csn 4625  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17485  Ringcrg 20231  Unitcui 20356  DivRingcdr 20730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-drng 20732

This theorem is referenced by:  fldpropd  20771  lvecprop2d  21169  hlhildrng  41959