Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhillvec 40447
Description: The final constructed Hilbert space is a vector space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillvec.h ๐ป = (LHypโ€˜๐พ)
hlhillvec.u ๐‘ˆ = ((HLHilโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)
hlhillvec.k (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ HL โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ป))
Assertion
Ref Expression
hlhillvec (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ LVec)

Proof of Theorem hlhillvec
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillvec.h . . 3 ๐ป = (LHypโ€˜๐พ)
2 eqid 2737 . . 3 ((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š) = ((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)
3 hlhillvec.k . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ HL โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ป))
41, 2, 3dvhlvec 39601 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š) โˆˆ LVec)
5 eqidd 2738 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))
6 hlhillvec.u . . . 4 ๐‘ˆ = ((HLHilโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)
7 eqid 2737 . . . 4 (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))
81, 6, 3, 2, 7hlhilbase 40428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (Baseโ€˜๐‘ˆ))
9 eqid 2737 . . 3 (Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))
10 eqid 2737 . . 3 (Scalarโ€˜๐‘ˆ) = (Scalarโ€˜๐‘ˆ)
11 eqidd 2738 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))))
12 eqid 2737 . . . 4 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))
131, 2, 9, 6, 10, 3, 12hlhilsbase2 40438 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘ˆ)))
14 eqid 2737 . . . . 5 (+gโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (+gโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))
151, 6, 3, 2, 14hlhilplus 40429 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (+gโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (+gโ€˜๐‘ˆ))
1615oveqdr 7390 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฆ))
17 eqid 2737 . . . . 5 (+gโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (+gโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))
181, 2, 9, 6, 10, 3, 17hlhilsplus2 40439 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (+gโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘ˆ)))
1918oveqdr 7390 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))))) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘ˆ))๐‘ฆ))
20 eqid 2737 . . . . 5 (.rโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (.rโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))
211, 2, 9, 6, 10, 3, 20hlhilsmul2 40440 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘ˆ)))
2221oveqdr 7390 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))))) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘ˆ))๐‘ฆ))
23 eqid 2737 . . . . 5 ( ยท๐‘  โ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = ( ยท๐‘  โ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))
241, 2, 23, 6, 3hlhilvsca 40443 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ˆ))
2524oveqdr 7390 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ˆ)๐‘ฆ))
265, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 19, 22, 25lvecprop2d 20643 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š) โˆˆ LVec โ†” ๐‘ˆ โˆˆ LVec))
274, 26mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  Scalarcsca 17143   ยท๐‘  cvsca 17144  LVecclvec 20579  HLchlt 37841  LHypclh 38476  DVecHcdvh 39570  HLHilchlh 40424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-0g 17330  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lvec 20580  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651  df-tendo 39247  df-edring 39249  df-dvech 39571  df-hlhil 40425
This theorem is referenced by:  hlhilphllem  40455
  Copyright terms: Public domain W3C validator