Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhillvec 41558
Description: The final constructed Hilbert space is a vector space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillvec.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillvec.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hlhillvec (𝜑𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem hlhillvec
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillvec.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2725 . . 3 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhillvec.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 40712 . 2 (𝜑 → ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
5 eqidd 2726 . . 3 (𝜑 → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
6 hlhillvec.u . . . 4 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2725 . . . 4 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
81, 6, 3, 2, 7hlhilbase 41539 . . 3 (𝜑 → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑈))
9 eqid 2725 . . 3 (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
10 eqid 2725 . . 3 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
11 eqidd 2726 . . 3 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))))
12 eqid 2725 . . . 4 (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
131, 2, 9, 6, 10, 3, 12hlhilsbase2 41549 . . 3 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
14 eqid 2725 . . . . 5 (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
151, 6, 3, 2, 14hlhilplus 41540 . . . 4 (𝜑 → (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g𝑈))
1615oveqdr 7447 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥(+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥(+g𝑈)𝑦))
17 eqid 2725 . . . . 5 (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
181, 2, 9, 6, 10, 3, 17hlhilsplus2 41550 . . . 4 (𝜑 → (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘𝑈)))
1918oveqdr 7447 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))))) → (𝑥(+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑦))
20 eqid 2725 . . . . 5 (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
211, 2, 9, 6, 10, 3, 20hlhilsmul2 41551 . . . 4 (𝜑 → (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘𝑈)))
2221oveqdr 7447 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))))) → (𝑥(.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))𝑦) = (𝑥(.r‘(Scalar‘𝑈))𝑦))
23 eqid 2725 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
241, 2, 23, 6, 3hlhilvsca 41554 . . . 4 (𝜑 → ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠𝑈))
2524oveqdr 7447 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑈)𝑦))
265, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 19, 22, 25lvecprop2d 21066 . 2 (𝜑 → (((DVecH‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec ↔ 𝑈 ∈ LVec))
274, 26mpbid 231 1 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6549  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  .rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  LVecclvec 20999  HLchlt 38952  LHypclh 39587  DVecHcdvh 40681  HLHilchlh 41535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-riotaBAD 38555
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-0g 17426  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lvec 21000  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-llines 39101  df-lplanes 39102  df-lvols 39103  df-lines 39104  df-psubsp 39106  df-pmap 39107  df-padd 39399  df-lhyp 39591  df-laut 39592  df-ldil 39707  df-ltrn 39708  df-trl 39762  df-tendo 40358  df-edring 40360  df-dvech 40682  df-hlhil 41536
This theorem is referenced by:  hlhilphllem  41566
  Copyright terms: Public domain W3C validator