Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhillvec 41339
Description: The final constructed Hilbert space is a vector space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillvec.h ๐ป = (LHypโ€˜๐พ)
hlhillvec.u ๐‘ˆ = ((HLHilโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)
hlhillvec.k (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ HL โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ป))
Assertion
Ref Expression
hlhillvec (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ LVec)

Proof of Theorem hlhillvec
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillvec.h . . 3 ๐ป = (LHypโ€˜๐พ)
2 eqid 2726 . . 3 ((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š) = ((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)
3 hlhillvec.k . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ HL โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ป))
41, 2, 3dvhlvec 40493 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š) โˆˆ LVec)
5 eqidd 2727 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))
6 hlhillvec.u . . . 4 ๐‘ˆ = ((HLHilโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)
7 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))
81, 6, 3, 2, 7hlhilbase 41320 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (Baseโ€˜๐‘ˆ))
9 eqid 2726 . . 3 (Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))
10 eqid 2726 . . 3 (Scalarโ€˜๐‘ˆ) = (Scalarโ€˜๐‘ˆ)
11 eqidd 2727 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))))
12 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))
131, 2, 9, 6, 10, 3, 12hlhilsbase2 41330 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘ˆ)))
14 eqid 2726 . . . . 5 (+gโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (+gโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))
151, 6, 3, 2, 14hlhilplus 41321 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (+gโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (+gโ€˜๐‘ˆ))
1615oveqdr 7433 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘ˆ)๐‘ฆ))
17 eqid 2726 . . . . 5 (+gโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (+gโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))
181, 2, 9, 6, 10, 3, 17hlhilsplus2 41331 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (+gโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘ˆ)))
1918oveqdr 7433 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))))) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘ˆ))๐‘ฆ))
20 eqid 2726 . . . . 5 (.rโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (.rโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))
211, 2, 9, 6, 10, 3, 20hlhilsmul2 41332 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘ˆ)))
2221oveqdr 7433 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))))) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘ˆ))๐‘ฆ))
23 eqid 2726 . . . . 5 ( ยท๐‘  โ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = ( ยท๐‘  โ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))
241, 2, 23, 6, 3hlhilvsca 41335 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ˆ))
2524oveqdr 7433 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ˆ)๐‘ฆ))
265, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 19, 22, 25lvecprop2d 21017 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š) โˆˆ LVec โ†” ๐‘ˆ โˆˆ LVec))
274, 26mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ยท๐‘  cvsca 17210  LVecclvec 20950  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  HLHilchlh 41316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lvec 20951  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dvech 40463  df-hlhil 41317
This theorem is referenced by:  hlhilphllem  41347
  Copyright terms: Public domain W3C validator