Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhillvec 39152
Description: The final constructed Hilbert space is a vector space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhillvec.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhillvec.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hlhillvec (𝜑𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem hlhillvec
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillvec.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2824 . . 3 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhillvec.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 38310 . 2 (𝜑 → ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
5 eqidd 2825 . . 3 (𝜑 → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
6 hlhillvec.u . . . 4 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2824 . . . 4 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
81, 6, 3, 2, 7hlhilbase 39137 . . 3 (𝜑 → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑈))
9 eqid 2824 . . 3 (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
10 eqid 2824 . . 3 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
11 eqidd 2825 . . 3 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))))
12 eqid 2824 . . . 4 (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
131, 2, 9, 6, 10, 3, 12hlhilsbase2 39143 . . 3 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
14 eqid 2824 . . . . 5 (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
151, 6, 3, 2, 14hlhilplus 39138 . . . 4 (𝜑 → (+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (+g𝑈))
1615oveqdr 7168 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥(+g‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥(+g𝑈)𝑦))
17 eqid 2824 . . . . 5 (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
181, 2, 9, 6, 10, 3, 17hlhilsplus2 39144 . . . 4 (𝜑 → (+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (+g‘(Scalar‘𝑈)))
1918oveqdr 7168 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))))) → (𝑥(+g‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑦))
20 eqid 2824 . . . . 5 (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
211, 2, 9, 6, 10, 3, 20hlhilsmul2 39145 . . . 4 (𝜑 → (.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘𝑈)))
2221oveqdr 7168 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))))) → (𝑥(.r‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))𝑦) = (𝑥(.r‘(Scalar‘𝑈))𝑦))
23 eqid 2824 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
241, 2, 23, 6, 3hlhilvsca 39148 . . . 4 (𝜑 → ( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠𝑈))
2524oveqdr 7168 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑈)𝑦))
265, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 19, 22, 25lvecprop2d 19926 . 2 (𝜑 → (((DVecH‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec ↔ 𝑈 ∈ LVec))
274, 26mpbid 235 1 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6338  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  .rcmulr 16557  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  LVecclvec 19862  HLchlt 36551  LHypclh 37185  DVecHcdvh 38279  HLHilchlh 39133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-riotaBAD 36154
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-iin 4905  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-tpos 7877  df-undef 7924  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-0g 16706  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19364  df-dvdsr 19382  df-unit 19383  df-invr 19413  df-dvr 19424  df-drng 19492  df-lmod 19624  df-lvec 19863  df-oposet 36377  df-ol 36379  df-oml 36380  df-covers 36467  df-ats 36468  df-atl 36499  df-cvlat 36523  df-hlat 36552  df-llines 36699  df-lplanes 36700  df-lvols 36701  df-lines 36702  df-psubsp 36704  df-pmap 36705  df-padd 36997  df-lhyp 37189  df-laut 37190  df-ldil 37305  df-ltrn 37306  df-trl 37360  df-tendo 37956  df-edring 37958  df-dvech 38280  df-hlhil 39134
This theorem is referenced by:  hlhilphllem  39160
  Copyright terms: Public domain W3C validator