Theorem metakunt18 40070

Description: Disjoint domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt18.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt18.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt18.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
metakunt18	⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))

Proof of Theorem metakunt18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt18.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
2	1	nnred 11918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
3	2	ltm1d 11837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝐼)
4		fzdisj 13212	. . . 4 ⊢ ((𝐼 − 1) < 𝐼 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
6		metakunt18.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12354	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzsn 13227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
10	9	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑀} = (𝑀...𝑀))
11	10	ineq2d 4143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
12		metakunt18.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
13	1	nnzd 12354	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
14		zlem1lt 12302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ≤ 𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
15	13, 7, 14	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
16	12, 15	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝑀)
17		fzdisj 13212	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 − 1) < 𝑀 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
19	11, 18	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
20	10	ineq2d 4143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
21	6	nnred 11918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22	21	ltm1d 11837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
23		fzdisj 13212	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
25	20, 24	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
26	5, 19, 25	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
27		incom 4131	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))))
29	21, 2	resubcld 11333	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℝ)
30	29	ltp1d 11835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) < ((𝑀 − 𝐼) + 1))
31		fzdisj 13212	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝐼) < ((𝑀 − 𝐼) + 1) → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
33	28, 32	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅)
34	10	ineq2d 4143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
35		fzdisj 13212	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
36	22, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
37	34, 36	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
38	10	ineq2d 4143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)))
39	1	nnrpd 12699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ+)
40	21, 39	ltsubrpd 12733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) < 𝑀)
41		fzdisj 13212	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝐼) < 𝑀 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
42	40, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
43	38, 42	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)
44	33, 37, 43	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅))
45	26, 44	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  metakunt19  40071  metakunt21  40073  metakunt22  40074  metakunt24  40076  metakunt25  40077