Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt18 40594
Description: Disjoint domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt18.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt18.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt18.3 (𝜑𝐼𝑀)
Assertion
Ref Expression
metakunt18 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))

Proof of Theorem metakunt18
StepHypRef Expression
1 metakunt18.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
21nnred 12168 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
32ltm1d 12087 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝐼)
4 fzdisj 13468 . . . 4 ((𝐼 − 1) < 𝐼 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
6 metakunt18.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
76nnzd 12526 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 fzsn 13483 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
109eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → {𝑀} = (𝑀...𝑀))
1110ineq2d 4172 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
12 metakunt18.3 . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑀)
131nnzd 12526 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
14 zlem1lt 12555 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
1513, 7, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
1612, 15mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝑀)
17 fzdisj 13468 . . . . 5 ((𝐼 − 1) < 𝑀 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
1911, 18eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
2010ineq2d 4172 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
216nnred 12168 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2221ltm1d 12087 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
23 fzdisj 13468 . . . . 5 ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
2422, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
2520, 24eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
265, 19, 253jca 1128 . 2 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
27 incom 4161 . . . . 5 ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))))
2921, 2resubcld 11583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℝ)
3029ltp1d 12085 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐼) < ((𝑀𝐼) + 1))
31 fzdisj 13468 . . . . 5 ((𝑀𝐼) < ((𝑀𝐼) + 1) → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
3328, 32eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅)
3410ineq2d 4172 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
35 fzdisj 13468 . . . . 5 ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
3622, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
3734, 36eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
3810ineq2d 4172 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)))
391nnrpd 12955 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℝ+)
4021, 39ltsubrpd 12989 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐼) < 𝑀)
41 fzdisj 13468 . . . . 5 ((𝑀𝐼) < 𝑀 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
4240, 41syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
4338, 42eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)
4433, 37, 433jca 1128 . 2 (𝜑 → (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅))
4526, 44jca 512 1 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3909  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  cz 12499  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  metakunt19  40595  metakunt21  40597  metakunt22  40598  metakunt24  40600  metakunt25  40601
  Copyright terms: Public domain W3C validator