Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt18 39407
 Description: Disjoint domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt18.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt18.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt18.3 (𝜑𝐼𝑀)
Assertion
Ref Expression
metakunt18 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))

Proof of Theorem metakunt18
StepHypRef Expression
1 metakunt18.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
21nnred 11647 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
32ltm1d 11568 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝐼)
4 fzdisj 12936 . . . 4 ((𝐼 − 1) < 𝐼 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
6 metakunt18.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
76nnzd 12081 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 fzsn 12951 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
109eqcomd 2804 . . . . 5 (𝜑 → {𝑀} = (𝑀...𝑀))
1110ineq2d 4139 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
12 metakunt18.3 . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑀)
131nnzd 12081 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
14 zlem1lt 12029 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
1513, 7, 14syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
1612, 15mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝑀)
17 fzdisj 12936 . . . . 5 ((𝐼 − 1) < 𝑀 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
1911, 18eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
2010ineq2d 4139 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
216nnred 11647 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2221ltm1d 11568 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
23 fzdisj 12936 . . . . 5 ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
2422, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
2520, 24eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
265, 19, 253jca 1125 . 2 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
27 incom 4128 . . . . 5 ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))))
2921, 2resubcld 11064 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℝ)
3029ltp1d 11566 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐼) < ((𝑀𝐼) + 1))
31 fzdisj 12936 . . . . 5 ((𝑀𝐼) < ((𝑀𝐼) + 1) → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
3328, 32eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅)
3410ineq2d 4139 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
35 fzdisj 12936 . . . . 5 ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
3622, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
3734, 36eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
3810ineq2d 4139 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)))
391nnrpd 12424 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℝ+)
4021, 39ltsubrpd 12458 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐼) < 𝑀)
41 fzdisj 12936 . . . . 5 ((𝑀𝐼) < 𝑀 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
4240, 41syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
4338, 42eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)
4433, 37, 433jca 1125 . 2 (𝜑 → (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅))
4526, 44jca 515 1 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5031  (class class class)co 7140  1c1 10534   + caddc 10536   < clt 10671   ≤ cle 10672   − cmin 10866  ℕcn 11632  ℤcz 11976  ...cfz 12892 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893 This theorem is referenced by:  metakunt19  39408  metakunt21  39410  metakunt22  39411  metakunt24  39413  metakunt25  39414
 Copyright terms: Public domain W3C validator