Theorem metakunt18 40142

Description: Disjoint domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt18.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt18.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt18.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
metakunt18	⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))

Proof of Theorem metakunt18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt18.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
2	1	nnred 11988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
3	2	ltm1d 11907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝐼)
4		fzdisj 13283	. . . 4 ⊢ ((𝐼 − 1) < 𝐼 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
6		metakunt18.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzsn 13298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
10	9	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑀} = (𝑀...𝑀))
11	10	ineq2d 4146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
12		metakunt18.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
13	1	nnzd 12425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
14		zlem1lt 12372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ≤ 𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
15	13, 7, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
16	12, 15	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝑀)
17		fzdisj 13283	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 − 1) < 𝑀 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
19	11, 18	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
20	10	ineq2d 4146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
21	6	nnred 11988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22	21	ltm1d 11907	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
23		fzdisj 13283	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
25	20, 24	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
26	5, 19, 25	3jca 1127	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
27		incom 4135	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))))
29	21, 2	resubcld 11403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℝ)
30	29	ltp1d 11905	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) < ((𝑀 − 𝐼) + 1))
31		fzdisj 13283	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝐼) < ((𝑀 − 𝐼) + 1) → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
33	28, 32	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅)
34	10	ineq2d 4146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
35		fzdisj 13283	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
36	22, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
37	34, 36	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
38	10	ineq2d 4146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)))
39	1	nnrpd 12770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ+)
40	21, 39	ltsubrpd 12804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) < 𝑀)
41		fzdisj 13283	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝐼) < 𝑀 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
42	40, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
43	38, 42	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)
44	33, 37, 43	3jca 1127	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅))
45	26, 44	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886  ∅c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  metakunt19  40143  metakunt21  40145  metakunt22  40146  metakunt24  40148  metakunt25  40149