Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt18 40640
Description: Disjoint domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt18.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt18.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt18.3 (𝜑𝐼𝑀)
Assertion
Ref Expression
metakunt18 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))

Proof of Theorem metakunt18
StepHypRef Expression
1 metakunt18.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
21nnred 12173 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
32ltm1d 12092 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝐼)
4 fzdisj 13474 . . . 4 ((𝐼 − 1) < 𝐼 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
6 metakunt18.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
76nnzd 12531 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 fzsn 13489 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
109eqcomd 2739 . . . . 5 (𝜑 → {𝑀} = (𝑀...𝑀))
1110ineq2d 4173 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
12 metakunt18.3 . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑀)
131nnzd 12531 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
14 zlem1lt 12560 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
1513, 7, 14syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
1612, 15mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝑀)
17 fzdisj 13474 . . . . 5 ((𝐼 − 1) < 𝑀 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
1911, 18eqtrd 2773 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
2010ineq2d 4173 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
216nnred 12173 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2221ltm1d 12092 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
23 fzdisj 13474 . . . . 5 ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
2422, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
2520, 24eqtrd 2773 . . 3 (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
265, 19, 253jca 1129 . 2 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
27 incom 4162 . . . . 5 ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))))
2921, 2resubcld 11588 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℝ)
3029ltp1d 12090 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐼) < ((𝑀𝐼) + 1))
31 fzdisj 13474 . . . . 5 ((𝑀𝐼) < ((𝑀𝐼) + 1) → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
3328, 32eqtrd 2773 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅)
3410ineq2d 4173 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
35 fzdisj 13474 . . . . 5 ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
3622, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
3734, 36eqtrd 2773 . . 3 (𝜑 → ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
3810ineq2d 4173 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)))
391nnrpd 12960 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℝ+)
4021, 39ltsubrpd 12994 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐼) < 𝑀)
41 fzdisj 13474 . . . . 5 ((𝑀𝐼) < 𝑀 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
4240, 41syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
4338, 42eqtrd 2773 . . 3 (𝜑 → ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)
4433, 37, 433jca 1129 . 2 (𝜑 → (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅))
4526, 44jca 513 1 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3910  c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390  cn 12158  cz 12504  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431
This theorem is referenced by:  metakunt19  40641  metakunt21  40643  metakunt22  40644  metakunt24  40646  metakunt25  40647
  Copyright terms: Public domain W3C validator