Theorem metakunt18 40990

Description: Disjoint domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt18.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt18.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt18.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
metakunt18	⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))

Proof of Theorem metakunt18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt18.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
3	2	ltm1d 12142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝐼)
4		fzdisj 13524	. . . 4 ⊢ ((𝐼 − 1) < 𝐼 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
6		metakunt18.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzsn 13539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
10	9	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑀} = (𝑀...𝑀))
11	10	ineq2d 4211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
12		metakunt18.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
13	1	nnzd 12581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
14		zlem1lt 12610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ≤ 𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
15	13, 7, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
16	12, 15	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝑀)
17		fzdisj 13524	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 − 1) < 𝑀 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
19	11, 18	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
20	10	ineq2d 4211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
21	6	nnred 12223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22	21	ltm1d 12142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
23		fzdisj 13524	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
25	20, 24	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
26	5, 19, 25	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
27		incom 4200	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))))
29	21, 2	resubcld 11638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℝ)
30	29	ltp1d 12140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) < ((𝑀 − 𝐼) + 1))
31		fzdisj 13524	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝐼) < ((𝑀 − 𝐼) + 1) → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
33	28, 32	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅)
34	10	ineq2d 4211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
35		fzdisj 13524	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
36	22, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
37	34, 36	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
38	10	ineq2d 4211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)))
39	1	nnrpd 13010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ+)
40	21, 39	ltsubrpd 13044	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) < 𝑀)
41		fzdisj 13524	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝐼) < 𝑀 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
42	40, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
43	38, 42	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)
44	33, 37, 43	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅))
45	26, 44	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946  ∅c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ...cfz 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481

This theorem is referenced by:  metakunt19  40991  metakunt21  40993  metakunt22  40994  metakunt24  40996  metakunt25  40997