Theorem metakunt18 40594

Description: Disjoint domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt18.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt18.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt18.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
metakunt18	⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))

Proof of Theorem metakunt18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt18.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
3	2	ltm1d 12087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝐼)
4		fzdisj 13468	. . . 4 ⊢ ((𝐼 − 1) < 𝐼 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
6		metakunt18.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12526	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzsn 13483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
10	9	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑀} = (𝑀...𝑀))
11	10	ineq2d 4172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
12		metakunt18.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
13	1	nnzd 12526	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
14		zlem1lt 12555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼 ≤ 𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
15	13, 7, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ 𝑀 ↔ (𝐼 − 1) < 𝑀))
16	12, 15	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 − 1) < 𝑀)
17		fzdisj 13468	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 − 1) < 𝑀 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
19	11, 18	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
20	10	ineq2d 4172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
21	6	nnred 12168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22	21	ltm1d 12087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
23		fzdisj 13468	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
25	20, 24	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
26	5, 19, 25	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
27		incom 4161	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))))
29	21, 2	resubcld 11583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℝ)
30	29	ltp1d 12085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) < ((𝑀 − 𝐼) + 1))
31		fzdisj 13468	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝐼) < ((𝑀 − 𝐼) + 1) → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1))) = ∅)
33	28, 32	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅)
34	10	ineq2d 4172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
35		fzdisj 13468	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
36	22, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
37	34, 36	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅)
38	10	ineq2d 4172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)))
39	1	nnrpd 12955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ+)
40	21, 39	ltsubrpd 12989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) < 𝑀)
41		fzdisj 13468	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝐼) < 𝑀 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
42	40, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
43	38, 42	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)
44	33, 37, 43	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅))
45	26, 44	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3909  ∅c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℤcz 12499  ...cfz 13424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425

This theorem is referenced by:  metakunt19  40595  metakunt21  40597  metakunt22  40598  metakunt24  40600  metakunt25  40601