MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modabs 13613
Description: Absorption law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
modabs (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modabs
StepHypRef Expression
1 modcl 13582 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
21anim1i 615 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
323impa 1109 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
43adantr 481 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
5 modge0 13588 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
653adant3 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
76adantr 481 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵𝐶) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
813adant3 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
98adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
10 rpre 12727 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
11103ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 rpre 12727 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ)
14133ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
16 modlt 13589 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
17163adant3 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
1817adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
19 simpr 485 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
209, 12, 15, 18, 19ltletrd 11124 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐶)
21 modid 13605 . 2 ((((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))
224, 7, 20, 21syl12anc 834 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵𝐶) → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5075  (class class class)co 7269  cr 10859  0cc0 10860   < clt 10998  cle 10999  +crp 12719   mod cmo 13578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937  ax-pre-sup 10938
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-sup 9190  df-inf 9191  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-div 11622  df-nn 11963  df-n0 12223  df-z 12309  df-uz 12572  df-rp 12720  df-fl 13501  df-mod 13579
This theorem is referenced by:  modabs2  13614
  Copyright terms: Public domain W3C validator