Theorem mulgnngsum 19119

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer expressed by a group sum. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnngsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnngsum.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnngsum.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mulgnngsum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem mulgnngsum

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 12947	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2	1	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		mulgnngsum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋))
6		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑋 = 𝑋)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 9	fvmptd 7036	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = 𝑋)
11		elfznn 13613	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ)
12		fvconst2g 7239	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑖) = 𝑋)
13	8, 11, 12	syl2an 595	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑖) = 𝑋)
14	10, 13	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = ((ℕ × {𝑋})‘𝑖))
15	3, 14	seqfveq 14077	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (seq1((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
16		mulgnngsum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
18		elfvex 6958	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
19	18, 16	eleq2s 2862	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ V)
21	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	21, 4	fmptd 7148	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)
23	16, 17, 20, 3, 22	gsumval2 18724	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
24		mulgnngsum.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
25		eqid 2740	. . 3 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
26	16, 17, 24, 25	mulgnn 19115	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
27	15, 23, 26	3eqtr4rd 2791	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185  ℕcn 12293  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  seqcseq 14052  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311   Σ_g cgsu 17500  ._gcmg 19107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mulg 19108

This theorem is referenced by:  mulgnn0gsum  19120