Theorem mulgnngsum 19011

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer expressed by a group sum. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnngsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnngsum.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnngsum.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mulgnngsum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem mulgnngsum

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 12837	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2	1	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		mulgnngsum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋))
6		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑋 = 𝑋)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 9	fvmptd 6975	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = 𝑋)
11		elfznn 13514	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ)
12		fvconst2g 7176	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑖) = 𝑋)
13	8, 11, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑖) = 𝑋)
14	10, 13	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = ((ℕ × {𝑋})‘𝑖))
15	3, 14	seqfveq 13991	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (seq1((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
16		mulgnngsum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
18		elfvex 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
19	18, 16	eleq2s 2846	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ V)
21	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	21, 4	fmptd 7086	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)
23	16, 17, 20, 3, 22	gsumval2 18613	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
24		mulgnngsum.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
25		eqid 2729	. . 3 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
26	16, 17, 24, 25	mulgnn 19007	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
27	15, 23, 26	3eqtr4rd 2775	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  {csn 4589   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069  ℕcn 12186  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  seqcseq 13966  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220   Σ_g cgsu 17403  ._gcmg 18999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mulg 19000

This theorem is referenced by:  mulgnn0gsum  19012