![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulgnngsum | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer expressed by a group sum. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnngsum.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
mulgnngsum.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
mulgnngsum.f | โข ๐น = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnngsum | โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = (๐บ ฮฃg ๐น)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elnnuz 12896 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) | |
2 | 1 | biimpi 215 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) |
3 | 2 | adantr 479 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ (โคโฅโ1)) |
4 | mulgnngsum.f | . . . . . 6 โข ๐น = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ ๐) | |
5 | 4 | a1i 11 | . . . . 5 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐น = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ ๐)) |
6 | eqidd 2726 | . . . . 5 โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ฅ = ๐) โ ๐ = ๐) | |
7 | simpr 483 | . . . . 5 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ โ (1...๐)) | |
8 | simpr 483 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
9 | 8 | adantr 479 | . . . . 5 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ โ ๐ต) |
10 | 5, 6, 7, 9 | fvmptd 7007 | . . . 4 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โ (๐นโ๐) = ๐) |
11 | elfznn 13562 | . . . . 5 โข (๐ โ (1...๐) โ ๐ โ โ) | |
12 | fvconst2g 7210 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ โ) โ ((โ ร {๐})โ๐) = ๐) | |
13 | 8, 11, 12 | syl2an 594 | . . . 4 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โ ((โ ร {๐})โ๐) = ๐) |
14 | 10, 13 | eqtr4d 2768 | . . 3 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โ (๐นโ๐) = ((โ ร {๐})โ๐)) |
15 | 3, 14 | seqfveq 14023 | . 2 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ (seq1((+gโ๐บ), ๐น)โ๐) = (seq1((+gโ๐บ), (โ ร {๐}))โ๐)) |
16 | mulgnngsum.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
17 | eqid 2725 | . . 3 โข (+gโ๐บ) = (+gโ๐บ) | |
18 | elfvex 6930 | . . . . 5 โข (๐ โ (Baseโ๐บ) โ ๐บ โ V) | |
19 | 18, 16 | eleq2s 2843 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐บ โ V) |
20 | 19 | adantl 480 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐บ โ V) |
21 | 8 | adantr 479 | . . . 4 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ฅ โ (1...๐)) โ ๐ โ ๐ต) |
22 | 21, 4 | fmptd 7119 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐น:(1...๐)โถ๐ต) |
23 | 16, 17, 20, 3, 22 | gsumval2 18645 | . 2 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐บ ฮฃg ๐น) = (seq1((+gโ๐บ), ๐น)โ๐)) |
24 | mulgnngsum.t | . . 3 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
25 | eqid 2725 | . . 3 โข seq1((+gโ๐บ), (โ ร {๐})) = seq1((+gโ๐บ), (โ ร {๐})) | |
26 | 16, 17, 24, 25 | mulgnn 19035 | . 2 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = (seq1((+gโ๐บ), (โ ร {๐}))โ๐)) |
27 | 15, 23, 26 | 3eqtr4rd 2776 | 1 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = (๐บ ฮฃg ๐น)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3463 {csn 4624 โฆ cmpt 5226 ร cxp 5670 โcfv 6543 (class class class)co 7416 1c1 11139 โcn 12242 โคโฅcuz 12852 ...cfz 13516 seqcseq 13998 Basecbs 17179 +gcplusg 17232 ฮฃg cgsu 17421 .gcmg 19027 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-pss 3959 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7372 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7869 df-1st 7991 df-2nd 7992 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-er 8723 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-nn 12243 df-n0 12503 df-z 12589 df-uz 12853 df-fz 13517 df-seq 13999 df-0g 17422 df-gsum 17423 df-mulg 19028 |
This theorem is referenced by: mulgnn0gsum 19039 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |