MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnngsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnngsum 19006
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer expressed by a group sum. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnngsum.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnngsum.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnngsum.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ๐‘‹)
Assertion
Ref Expression
mulgnngsum ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐บ ฮฃg ๐น))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐บ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem mulgnngsum
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnnuz 12870 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
21biimpi 215 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
32adantr 480 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
4 mulgnngsum.f . . . . . 6 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ๐‘‹)
54a1i 11 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ๐‘‹))
6 eqidd 2727 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘–) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘‹)
7 simpr 484 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (1...๐‘))
8 simpr 484 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
98adantr 480 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
105, 6, 7, 9fvmptd 6999 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = ๐‘‹)
11 elfznn 13536 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
12 fvconst2g 7199 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘–) = ๐‘‹)
138, 11, 12syl2an 595 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘–) = ๐‘‹)
1410, 13eqtr4d 2769 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘–))
153, 14seqfveq 13997 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), ๐น)โ€˜๐‘) = (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘))
16 mulgnngsum.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
17 eqid 2726 . . 3 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
18 elfvex 6923 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ V)
1918, 16eleq2s 2845 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐บ โˆˆ V)
2019adantl 481 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ V)
218adantr 480 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2221, 4fmptd 7109 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐น:(1...๐‘)โŸถ๐ต)
2316, 17, 20, 3, 22gsumval2 18619 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐บ ฮฃg ๐น) = (seq1((+gโ€˜๐บ), ๐น)โ€˜๐‘))
24 mulgnngsum.t . . 3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
25 eqid 2726 . . 3 seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))
2616, 17, 24, 25mulgnn 19003 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘))
2715, 23, 263eqtr4rd 2777 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐บ ฮฃg ๐น))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  โ„•cn 12216  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  Basecbs 17153  +gcplusg 17206   ฮฃg cgsu 17395  .gcmg 18995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mulg 18996
This theorem is referenced by:  mulgnn0gsum  19007
  Copyright terms: Public domain W3C validator