![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulgnngsum | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer expressed by a group sum. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnngsum.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
mulgnngsum.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
mulgnngsum.f | โข ๐น = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnngsum | โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = (๐บ ฮฃg ๐น)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elnnuz 12870 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) | |
2 | 1 | biimpi 215 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) |
3 | 2 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ (โคโฅโ1)) |
4 | mulgnngsum.f | . . . . . 6 โข ๐น = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ ๐) | |
5 | 4 | a1i 11 | . . . . 5 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐น = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ ๐)) |
6 | eqidd 2727 | . . . . 5 โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ฅ = ๐) โ ๐ = ๐) | |
7 | simpr 484 | . . . . 5 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ โ (1...๐)) | |
8 | simpr 484 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
9 | 8 | adantr 480 | . . . . 5 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ โ ๐ต) |
10 | 5, 6, 7, 9 | fvmptd 6999 | . . . 4 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โ (๐นโ๐) = ๐) |
11 | elfznn 13536 | . . . . 5 โข (๐ โ (1...๐) โ ๐ โ โ) | |
12 | fvconst2g 7199 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ โ) โ ((โ ร {๐})โ๐) = ๐) | |
13 | 8, 11, 12 | syl2an 595 | . . . 4 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โ ((โ ร {๐})โ๐) = ๐) |
14 | 10, 13 | eqtr4d 2769 | . . 3 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (1...๐)) โ (๐นโ๐) = ((โ ร {๐})โ๐)) |
15 | 3, 14 | seqfveq 13997 | . 2 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ (seq1((+gโ๐บ), ๐น)โ๐) = (seq1((+gโ๐บ), (โ ร {๐}))โ๐)) |
16 | mulgnngsum.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
17 | eqid 2726 | . . 3 โข (+gโ๐บ) = (+gโ๐บ) | |
18 | elfvex 6923 | . . . . 5 โข (๐ โ (Baseโ๐บ) โ ๐บ โ V) | |
19 | 18, 16 | eleq2s 2845 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐บ โ V) |
20 | 19 | adantl 481 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐บ โ V) |
21 | 8 | adantr 480 | . . . 4 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ฅ โ (1...๐)) โ ๐ โ ๐ต) |
22 | 21, 4 | fmptd 7109 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐น:(1...๐)โถ๐ต) |
23 | 16, 17, 20, 3, 22 | gsumval2 18619 | . 2 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐บ ฮฃg ๐น) = (seq1((+gโ๐บ), ๐น)โ๐)) |
24 | mulgnngsum.t | . . 3 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
25 | eqid 2726 | . . 3 โข seq1((+gโ๐บ), (โ ร {๐})) = seq1((+gโ๐บ), (โ ร {๐})) | |
26 | 16, 17, 24, 25 | mulgnn 19003 | . 2 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = (seq1((+gโ๐บ), (โ ร {๐}))โ๐)) |
27 | 15, 23, 26 | 3eqtr4rd 2777 | 1 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = (๐บ ฮฃg ๐น)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3468 {csn 4623 โฆ cmpt 5224 ร cxp 5667 โcfv 6537 (class class class)co 7405 1c1 11113 โcn 12216 โคโฅcuz 12826 ...cfz 13490 seqcseq 13972 Basecbs 17153 +gcplusg 17206 ฮฃg cgsu 17395 .gcmg 18995 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-fz 13491 df-seq 13973 df-0g 17396 df-gsum 17397 df-mulg 18996 |
This theorem is referenced by: mulgnn0gsum 19007 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |