Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnngsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnngsum 18285
 Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer expressed by a group sum. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnngsum.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnngsum.t · = (.g𝐺)
mulgnngsum.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
mulgnngsum ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem mulgnngsum
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnnuz 12307 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
21biimpi 219 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
32adantr 485 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 mulgnngsum.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
54a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋))
6 eqidd 2760 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑋 = 𝑋)
7 simpr 489 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
8 simpr 489 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
98adantr 485 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋𝐵)
105, 6, 7, 9fvmptd 6759 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑖) = 𝑋)
11 elfznn 12970 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ)
12 fvconst2g 6948 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑖 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑖) = 𝑋)
138, 11, 12syl2an 599 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑖) = 𝑋)
1410, 13eqtr4d 2797 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑖) = ((ℕ × {𝑋})‘𝑖))
153, 14seqfveq 13429 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (seq1((+g𝐺), 𝐹)‘𝑁) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
16 mulgnngsum.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
17 eqid 2759 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
18 elfvex 6684 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
1918, 16eleq2s 2869 . . . 4 (𝑋𝐵𝐺 ∈ V)
2019adantl 486 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ V)
218adantr 485 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋𝐵)
2221, 4fmptd 6862 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)
2316, 17, 20, 3, 22gsumval2 17947 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq1((+g𝐺), 𝐹)‘𝑁))
24 mulgnngsum.t . . 3 · = (.g𝐺)
25 eqid 2759 . . 3 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
2616, 17, 24, 25mulgnn 18284 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
2715, 23, 263eqtr4rd 2805 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3407  {csn 4515   ↦ cmpt 5105   × cxp 5515  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  1c1 10561  ℕcn 11659  ℤ≥cuz 12267  ...cfz 12924  seqcseq 13403  Basecbs 16526  +gcplusg 16608   Σg cgsu 16757  .gcmg 18276 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-fz 12925  df-seq 13404  df-0g 16758  df-gsum 16759  df-mulg 18277 This theorem is referenced by:  mulgnn0gsum  18286
 Copyright terms: Public domain W3C validator