MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnnp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnnp1 19045
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m · = (.g𝐺)
mulgnnp1.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnnp1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnnp1
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnuz 12898 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2eleqtrdi 2835 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 seqp1 14017 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))))
6 id 22 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
7 peano2nn 12257 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
8 fvconst2g 7214 . . . . 5 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1)) = 𝑋)
96, 7, 8syl2anr 595 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1)) = 𝑋)
109oveq2d 7435 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
115, 10eqtrd 2765 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
12 mulg1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
13 mulgnnp1.p . . . 4 + = (+g𝐺)
14 mulg1.m . . . 4 · = (.g𝐺)
15 eqid 2725 . . . 4 seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
1612, 13, 14, 15mulgnn 19039 . . 3 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)))
177, 16sylan 578 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)))
1812, 13, 14, 15mulgnn 19039 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
1918oveq1d 7434 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
2011, 17, 193eqtr4d 2775 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4630   × cxp 5676  cfv 6549  (class class class)co 7419  1c1 11141   + caddc 11143  cn 12245  cuz 12855  seqcseq 14002  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  .gcmg 19031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-seq 14003  df-mulg 19032
This theorem is referenced by:  mulg2  19046  mulgnn0p1  19048  mulgnnass  19072  chfacfpmmulgsum2  22811  xrsmulgzz  32825  ofldchr  33128  ringexp0nn  41737
  Copyright terms: Public domain W3C validator