MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnnp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnnp1 17979
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m · = (.g𝐺)
mulgnnp1.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnnp1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnnp1
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnuz 12119 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2syl6eleq 2891 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 seqp1 13222 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))))
6 id 22 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
7 peano2nn 11487 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
8 fvconst2g 6822 . . . . 5 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1)) = 𝑋)
96, 7, 8syl2anr 596 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1)) = 𝑋)
109oveq2d 7023 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
115, 10eqtrd 2829 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
12 mulg1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
13 mulgnnp1.p . . . 4 + = (+g𝐺)
14 mulg1.m . . . 4 · = (.g𝐺)
15 eqid 2793 . . . 4 seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
1612, 13, 14, 15mulgnn 17977 . . 3 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)))
177, 16sylan 580 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)))
1812, 13, 14, 15mulgnn 17977 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
1918oveq1d 7022 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
2011, 17, 193eqtr4d 2839 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  {csn 4466   × cxp 5433  cfv 6217  (class class class)co 7007  1c1 10373   + caddc 10375  cn 11475  cuz 12082  seqcseq 13207  Basecbs 16300  +gcplusg 16382  .gcmg 17969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-seq 13208  df-mulg 17970
This theorem is referenced by:  mulg2  17980  mulgnn0p1  17982  mulgnnass  18004  chfacfpmmulgsum2  21145  xrsmulgzz  30309  ofldchr  30496
  Copyright terms: Public domain W3C validator