Theorem mulgnnp1 18979

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnnp1.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnnp1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnnp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnuz 12796	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3	1, 2	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		seqp1 13941	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))))
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		peano2nn 12158	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
8		fvconst2g 7142	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1)) = 𝑋)
9	6, 7, 8	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1)) = 𝑋)
10	9	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
11	5, 10	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
12		mulg1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
13		mulgnnp1.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
14		mulg1.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
15		eqid 2729	. . . 4 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
16	12, 13, 14, 15	mulgnn 18972	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)))
17	7, 16	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)))
18	12, 13, 14, 15	mulgnn 18972	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
19	18	oveq1d 7368	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
20	11, 17, 19	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4579   × cxp 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031  ℕcn 12146  ℤ_≥cuz 12753  seqcseq 13926  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._gcmg 18964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-seq 13927  df-mulg 18965

This theorem is referenced by:  mulg2  18980  mulgnn0p1  18982  mulgnnass  19006  ofldchr  21501  psdpw  22073  chfacfpmmulgsum2  22768  xrsmulgzz  32976  ringexp0nn  42110