Theorem 2sq2 27400

Description: 2 is the sum of squares of two nonnegative integers iff the two integers are 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))

Proof of Theorem 2sq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sqcl 14012	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
2		nn0sqcl 14012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4	1, 3	anim12ci 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0))
6		nn0addge2 12448	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0) → (𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
8		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ 2))
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ 2))
10	2	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
11		nn0le2is012 12556	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑2) ≤ 2) → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2))
12	11	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵↑2) ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) ≤ 2 → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2)))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ 2 → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2)))
14		oveq2 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵↑2) = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + 0))
15	14	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵↑2) = 0 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 0) = 2))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 0) = 2))
17	1	nn0cnd 12464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
18	17	addridd 11333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
20	19	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 ↔ (𝐴↑2) = 2))
21	1	nn0red 12463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
22		nn0re 12410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	22	sqge0d 14060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐴↑2))
24		2nn0 12418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
26	25	nn0red 12463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
27		0le2 12247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
29		sqrt11 15185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐴↑2) = 2))
30	21, 23, 26, 28, 29	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐴↑2) = 2))
31		nn0ge0 12426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
32	22, 31	sqrtsqd 15343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
33	32	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ 𝐴 = (√‘2)))
34		sqrt2irr 16174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
35		df-nel 3037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
36		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((√‘2) = 𝐴 → (√‘2) = 𝐴)
37	36	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → (√‘2) = 𝐴)
38	37	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
39	38	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
41		nn0z 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
42		zq 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℚ)
44	43	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
46	40, 45	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
47	46	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
48	47	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
49	35, 48	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
50	34, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
51	33, 50	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
52	30, 51	sylbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
54	20, 53	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
56	16, 55	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
57	56	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 0 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
58		oveq2 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵↑2) = 1 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + 1))
59	58	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵↑2) = 1 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
60		2cnd 12223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
61		1cnd 11127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
62	60, 61, 17	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ))
64		subadd2 11384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
66	65	bicomd 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (𝐴↑2)))
67	59, 66	sylan9bbr 510	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (2 − 1) = (𝐴↑2)))
68		nn0sqeq1 15199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑2) = 1) → 𝐵 = 1)
69	68	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) = 1 → 𝐵 = 1))
70	69	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) = 1 → 𝐵 = 1))
71		2m1e1 12266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 − 1) = 1
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2 − 1) = 1)
73	72	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ 1 = (𝐴↑2)))
74		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = (𝐴↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1)
75	73, 74	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1))
76		nn0sqeq1 15199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 = 1)
77	76	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = 1 → 𝐴 = 1))
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 1 → 𝐴 = 1))
79		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))
80	79	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
81	78, 80	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 1 → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
82	75, 81	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
83	82	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 = 1 → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
84	70, 83	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) = 1 → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
85	84	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
86	67, 85	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
87	86	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
88		nn0re 12410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
89		nn0ge0 12426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
90	88, 89	sqrtsqd 15343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
91	90	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
92	91	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) ↔ (√‘(𝐵↑2)) = (√‘2)))
93	88	sqge0d 14060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵↑2))
94		2re 12219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
96	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
97		sqrt11 15185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘(𝐵↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
98	3, 93, 95, 96, 97	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐵↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
99	92, 98	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
100		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((√‘2) = 𝐵 → (√‘2) = 𝐵)
101	100	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = (√‘2) → (√‘2) = 𝐵)
102	101	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = (√‘2) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐵 ∈ ℚ))
103	102	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐵 ∈ ℚ))
104	103	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℚ))
105		nn0z 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
106		zq 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℚ)
108	107	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ 𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
110	104, 109	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
111	110	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
112	111	expd 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
113	35, 112	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
114	34, 113	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
115	99, 114	sylbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
116	115	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
117	57, 87, 116	3jaod 1431	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
118	13, 117	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
119	9, 118	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
120	7, 119	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))
121	120	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
122		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
123		sq1 14118	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
124	122, 123	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 1)
125		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵↑2) = (1↑2))
126	125, 123	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵↑2) = 1)
127	124, 126	oveqan12d 7377	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (1 + 1))
128		1p1e2 12265	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
129	127, 128	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2)
130	121, 129	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3036   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   ≤ cle 11167   − cmin 11364  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℚcq 12861  ↑cexp 13984  √csqrt 15156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by:  2sqreultblem  27415  2sqreunnltblem  27418