Theorem 2sq2 27463

Description: 2 is the sum of squares of two nonnegative integers iff the two integers are 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))

Proof of Theorem 2sq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sqcl 14088	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
2		nn0sqcl 14088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12529	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4	1, 3	anim12ci 622	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0))
5	4	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0))
6		nn0addge2 12514	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0) → (𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
8		breq2 5094	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ 2))
9	8	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ 2))
10	2	ad2antlr 735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
11		nn0le2is012 12623	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑2) ≤ 2) → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2))
12	11	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵↑2) ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) ≤ 2 → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2)))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ 2 → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2)))
14		oveq2 7389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵↑2) = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + 0))
15	14	eqeq1d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵↑2) = 0 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 0) = 2))
16	15	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 0) = 2))
17	1	nn0cnd 12530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
18	17	addridd 11369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
19	18	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
20	19	eqeq1d 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 ↔ (𝐴↑2) = 2))
21	1	nn0red 12529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
22		nn0re 12476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	22	sqge0d 14136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐴↑2))
24		2nn0 12484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
26	25	nn0red 12529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
27		0le2 12306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
29		sqrt11 15261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐴↑2) = 2))
30	21, 23, 26, 28, 29	syl22anc 847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐴↑2) = 2))
31		nn0ge0 12492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
32	22, 31	sqrtsqd 15419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
33	32	eqeq1d 2754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ 𝐴 = (√‘2)))
34		sqrt2irr 16253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
35		df-nel 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
36		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((√‘2) = 𝐴 → (√‘2) = 𝐴)
37	36	eqcoms 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → (√‘2) = 𝐴)
38	37	eleq1d 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
39	38	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
40	39	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
41		nn0z 12578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
42		zq 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℚ)
44	43	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
45	44	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
46	40, 45	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
47	46	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
48	47	expd 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
49	35, 48	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
50	34, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
51	33, 50	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
52	30, 51	sylbird 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
53	52	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
54	20, 53	sylbid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
55	54	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
56	16, 55	sylbid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
57	56	impancom 454	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 0 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
58		oveq2 7389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵↑2) = 1 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + 1))
59	58	eqeq1d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵↑2) = 1 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
60		2cnd 12282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
61		1cnd 11161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
62	60, 61, 17	3jca 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ))
63	62	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ))
64		subadd2 11420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
66	65	bicomd 225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (𝐴↑2)))
67	59, 66	sylan9bbr 517	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (2 − 1) = (𝐴↑2)))
68		nn0sqeq1 15275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑2) = 1) → 𝐵 = 1)
69	68	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) = 1 → 𝐵 = 1))
70	69	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) = 1 → 𝐵 = 1))
71		2m1e1 12328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 − 1) = 1
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2 − 1) = 1)
73	72	eqeq1d 2754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ 1 = (𝐴↑2)))
74		eqcom 2759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = (𝐴↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1)
75	73, 74	bitrdi 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1))
76		nn0sqeq1 15275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 = 1)
77	76	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = 1 → 𝐴 = 1))
78	77	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 1 → 𝐴 = 1))
79		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))
80	79	ex 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
81	78, 80	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 1 → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
82	75, 81	sylbid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
83	82	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 = 1 → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
84	70, 83	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) = 1 → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
85	84	imp 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
86	67, 85	sylbid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
87	86	impancom 454	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
88		nn0re 12476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
89		nn0ge0 12492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
90	88, 89	sqrtsqd 15419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
91	90	eqcomd 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
92	91	eqeq1d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) ↔ (√‘(𝐵↑2)) = (√‘2)))
93	88	sqge0d 14136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵↑2))
94		2re 12278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
96	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
97		sqrt11 15261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘(𝐵↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
98	3, 93, 95, 96, 97	syl22anc 847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐵↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
99	92, 98	bitrd 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
100		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((√‘2) = 𝐵 → (√‘2) = 𝐵)
101	100	eqcoms 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = (√‘2) → (√‘2) = 𝐵)
102	101	eleq1d 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = (√‘2) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐵 ∈ ℚ))
103	102	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐵 ∈ ℚ))
104	103	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℚ))
105		nn0z 12578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
106		zq 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℚ)
108	107	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
109	108	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ 𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
110	104, 109	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
111	110	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
112	111	expd 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
113	35, 112	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
114	34, 113	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
115	99, 114	sylbird 262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
116	115	ad2antlr 735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
117	57, 87, 116	3jaod 1440	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
118	13, 117	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
119	9, 118	sylbid 242	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
120	7, 119	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))
121	120	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
122		oveq1 7388	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
123		sq1 14194	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
124	122, 123	eqtrdi 2803	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 1)
125		oveq1 7388	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵↑2) = (1↑2))
126	125, 123	eqtrdi 2803	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵↑2) = 1)
127	124, 126	oveqan12d 7400	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (1 + 1))
128		1p1e2 12327	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
129	127, 128	eqtrdi 2803	. 2 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2)
130	121, 129	impbid1 227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ w3o 1094   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ∉ wnel 3051   class class class wbr 5090  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  ℝcr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ≤ cle 11203   − cmin 11400  2c2 12258  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12554  ℚcq 12935  ↑cexp 14060  √csqrt 15232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235

This theorem is referenced by:  2sqreultblem  27478  2sqreunnltblem  27481