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Theorem 2sq2 26687
Description: 2 is the sum of squares of two nonnegative integers iff the two integers are 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sq2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))

Proof of Theorem 2sq2
StepHypRef Expression
1 nn0sqcl 13911 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
2 nn0sqcl 13911 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
32nn0red 12395 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
41, 3anim12ci 614 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0))
54adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0))
6 nn0addge2 12381 . . . . 5 (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0) → (𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
8 breq2 5096 . . . . . 6 (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ 2))
98adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ 2))
102ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
11 nn0le2is012 12485 . . . . . . . 8 (((𝐵↑2) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑2) ≤ 2) → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2))
1211ex 413 . . . . . . 7 ((𝐵↑2) ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) ≤ 2 → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2)))
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ 2 → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2)))
14 oveq2 7345 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵↑2) = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + 0))
1514eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝐵↑2) = 0 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 0) = 2))
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 0) = 2))
171nn0cnd 12396 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
1817addid1d 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
2019eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 ↔ (𝐴↑2) = 2))
211nn0red 12395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
22 nn0re 12343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
2322sqge0d 14067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐴↑2))
24 2nn0 12351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
2625nn0red 12395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
27 0le2 12176 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 2
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
29 sqrt11 15073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐴↑2) = 2))
3021, 23, 26, 28, 29syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐴↑2) = 2))
31 nn0ge0 12359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3222, 31sqrtsqd 15230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ0 → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
3332eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ 𝐴 = (√‘2)))
34 sqrt2irr 16057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (√‘2) ∉ ℚ
35 df-nel 3047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((√‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((√‘2) = 𝐴 → (√‘2) = 𝐴)
3736eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 = (√‘2) → (√‘2) = 𝐴)
3837eleq1d 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 = (√‘2) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
3938notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 = (√‘2) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
41 nn0z 12444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
42 zq 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ)
4443pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = (√‘2)) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
4640, 45sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
4746com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (√‘2) ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = (√‘2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
4847expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
4935, 48sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘2) ∉ ℚ → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
5034, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
5133, 50sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
5230, 51sylbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
5420, 53sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
5616, 55sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
5756impancom 452 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 0 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
58 oveq2 7345 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵↑2) = 1 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + 1))
5958eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝐵↑2) = 1 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
60 2cnd 12152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
61 1cnd 11071 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
6260, 61, 173jca 1127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ))
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ))
64 subadd2 11326 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
6665bicomd 222 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (𝐴↑2)))
6759, 66sylan9bbr 511 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (2 − 1) = (𝐴↑2)))
68 nn0sqeq1 15087 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑2) = 1) → 𝐵 = 1)
6968ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) = 1 → 𝐵 = 1))
7069adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) = 1 → 𝐵 = 1))
71 2m1e1 12200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 1) = 1
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (2 − 1) = 1)
7372eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ 1 = (𝐴↑2)))
74 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = (𝐴↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1)
7573, 74bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1))
76 nn0sqeq1 15087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 = 1)
7776ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = 1 → 𝐴 = 1))
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 1 → 𝐴 = 1))
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))
8079ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = 1 → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
8178, 80syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 1 → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
8275, 81sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
8382com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 = 1 → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
8470, 83syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) = 1 → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
8584imp 407 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
8667, 85sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
8786impancom 452 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
88 nn0re 12343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
89 nn0ge0 12359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
9088, 89sqrtsqd 15230 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ0 → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
9190eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
9291eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) ↔ (√‘(𝐵↑2)) = (√‘2)))
9388sqge0d 14067 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵↑2))
94 2re 12148 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
9594a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
9627a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
97 sqrt11 15073 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘(𝐵↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
983, 93, 95, 96, 97syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐵↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
9992, 98bitrd 278 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
100 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((√‘2) = 𝐵 → (√‘2) = 𝐵)
101100eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = (√‘2) → (√‘2) = 𝐵)
102101eleq1d 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = (√‘2) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐵 ∈ ℚ))
103102adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = (√‘2)) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐵 ∈ ℚ))
104103notbid 317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℚ))
105 nn0z 12444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
106 zq 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℚ)
108107pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = (√‘2)) → (¬ 𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
110104, 109sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
111110com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (√‘2) ∈ ℚ → ((𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = (√‘2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
112111expd 416 . . . . . . . . . . 11 (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
11335, 112sylbi 216 . . . . . . . . . 10 ((√‘2) ∉ ℚ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
11434, 113ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
11599, 114sylbird 259 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
116115ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
11757, 87, 1163jaod 1427 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
11813, 117syld 47 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
1199, 118sylbid 239 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
1207, 119mpd 15 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))
121120ex 413 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
122 oveq1 7344 . . . . 5 (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
123 sq1 14013 . . . . 5 (1↑2) = 1
124122, 123eqtrdi 2792 . . . 4 (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 1)
125 oveq1 7344 . . . . 5 (𝐵 = 1 → (𝐵↑2) = (1↑2))
126125, 123eqtrdi 2792 . . . 4 (𝐵 = 1 → (𝐵↑2) = 1)
127124, 126oveqan12d 7356 . . 3 ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (1 + 1))
128 1p1e2 12199 . . 3 (1 + 1) = 2
129127, 128eqtrdi 2792 . 2 ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2)
130121, 129impbid1 224 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wnel 3046   class class class wbr 5092  cfv 6479  (class class class)co 7337  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975  cle 11111  cmin 11306  2c2 12129  0cn0 12334  cz 12420  cq 12789  cexp 13883  csqrt 15043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046
This theorem is referenced by:  2sqreultblem  26702  2sqreunnltblem  26705
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