Theorem 2sq2 27769

Description: 2 is the sum of squares of two nonnegative integers iff the two integers are 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))

Proof of Theorem 2sq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sqcl 14239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
2		nn0sqcl 14239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4	1, 3	anim12ci 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0))
6		nn0addge2 12660	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0) → (𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
8		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ 2))
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ 2))
10	2	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
11		nn0le2is012 12770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑2) ≤ 2) → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2))
12	11	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵↑2) ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) ≤ 2 → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2)))
13	10, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ 2 → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2)))
14		oveq2 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵↑2) = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + 0))
15	14	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵↑2) = 0 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 0) = 2))
16	15	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 0) = 2))
17	1	nn0cnd 12676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
18	17	addridd 11517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
20	19	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 ↔ (𝐴↑2) = 2))
21	1	nn0red 12675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
22		nn0re 12622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	22	sqge0d 14287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐴↑2))
24		2nn0 12630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
26	25	nn0red 12675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
27		0le2 12452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
29		sqrt11 15438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐴↑2) = 2))
30	21, 23, 26, 28, 29	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐴↑2) = 2))
31		nn0ge0 12638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
32	22, 31	sqrtsqd 15596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
33	32	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ 𝐴 = (√‘2)))
34		sqrt2irr 16426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
35		df-nel 3062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
36		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((√‘2) = 𝐴 → (√‘2) = 𝐴)
37	36	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → (√‘2) = 𝐴)
38	37	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
39	38	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
41		nn0z 12724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
42		zq 13088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℚ)
44	43	pm2.24d 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
46	40, 45	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
47	46	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
48	47	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
49	35, 48	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
50	34, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
51	33, 50	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
52	30, 51	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
54	20, 53	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
56	16, 55	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
57	56	impancom 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 0 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
58		oveq2 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵↑2) = 1 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + 1))
59	58	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵↑2) = 1 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
60		2cnd 12428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
61		1cnd 11309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
62	60, 61, 17	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ))
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ))
64		subadd2 11568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
65	63, 64	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
66	65	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (𝐴↑2)))
67	59, 66	sylan9bbr 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (2 − 1) = (𝐴↑2)))
68		nn0sqeq1 15452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑2) = 1) → 𝐵 = 1)
69	68	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) = 1 → 𝐵 = 1))
70	69	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) = 1 → 𝐵 = 1))
71		2m1e1 12474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 − 1) = 1
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2 − 1) = 1)
73	72	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ 1 = (𝐴↑2)))
74		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = (𝐴↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1)
75	73, 74	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1))
76		nn0sqeq1 15452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 = 1)
77	76	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = 1 → 𝐴 = 1))
78	77	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 1 → 𝐴 = 1))
79		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))
80	79	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
81	78, 80	syl6 36	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 1 → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
82	75, 81	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
83	82	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 = 1 → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
84	70, 83	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) = 1 → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
85	84	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
86	67, 85	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
87	86	impancom 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
88		nn0re 12622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
89		nn0ge0 12638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
90	88, 89	sqrtsqd 15596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
91	90	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
92	91	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) ↔ (√‘(𝐵↑2)) = (√‘2)))
93	88	sqge0d 14287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵↑2))
94		2re 12424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
96	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
97		sqrt11 15438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘(𝐵↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
98	3, 93, 95, 96, 97	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐵↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
99	92, 98	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
100		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((√‘2) = 𝐵 → (√‘2) = 𝐵)
101	100	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = (√‘2) → (√‘2) = 𝐵)
102	101	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = (√‘2) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐵 ∈ ℚ))
103	102	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐵 ∈ ℚ))
104	103	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℚ))
105		nn0z 12724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
106		zq 13088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
107	105, 106	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℚ)
108	107	pm2.24d 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
109	108	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ 𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
110	104, 109	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
111	110	com12 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
112	111	expd 421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
113	35, 112	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
114	34, 113	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
115	99, 114	sylbird 263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
116	115	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
117	57, 87, 116	3jaod 1456	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
118	13, 117	syld 48	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
119	9, 118	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
120	7, 119	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))
121	120	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
122		oveq1 7431	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
123		sq1 14345	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
124	122, 123	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 1)
125		oveq1 7431	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵↑2) = (1↑2))
126	125, 123	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵↑2) = 1)
127	124, 126	oveqan12d 7443	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (1 + 1))
128		1p1e2 12473	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
129	127, 128	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2)
130	121, 129	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   ≤ cle 11351   − cmin 11548  2c2 12404  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ℚcq 13082  ↑cexp 14211  √csqrt 15409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412

This theorem is used by:  2sqreultblem  27784  2sqreunnltblem  27787