Theorem 2sq2 27562

Description: 2 is the sum of squares of two nonnegative integers iff the two integers are 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))

Proof of Theorem 2sq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sqcl 14124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
2		nn0sqcl 14124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12565	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4	1, 3	anim12ci 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0))
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0))
6		nn0addge2 12550	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0) → (𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
8		breq2 5117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ 2))
9	8	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ 2))
10	2	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
11		nn0le2is012 12659	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑2) ≤ 2) → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2))
12	11	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵↑2) ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) ≤ 2 → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2)))
13	10, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ 2 → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2)))
14		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵↑2) = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + 0))
15	14	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵↑2) = 0 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 0) = 2))
16	15	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 0) = 2))
17	1	nn0cnd 12566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
18	17	addridd 11409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
19	18	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
20	19	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 ↔ (𝐴↑2) = 2))
21	1	nn0red 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
22		nn0re 12512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	22	sqge0d 14172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐴↑2))
24		2nn0 12520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
26	25	nn0red 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
27		0le2 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
29		sqrt11 15312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐴↑2) = 2))
30	21, 23, 26, 28, 29	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐴↑2) = 2))
31		nn0ge0 12528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
32	22, 31	sqrtsqd 15470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
33	32	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ 𝐴 = (√‘2)))
34		sqrt2irr 16304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
35		df-nel 3071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
36		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((√‘2) = 𝐴 → (√‘2) = 𝐴)
37	36	eqcoms 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → (√‘2) = 𝐴)
38	37	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
39	38	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
40	39	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
41		nn0z 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
42		zq 12977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℚ)
44	43	pm2.24d 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
45	44	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
46	40, 45	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
47	46	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
48	47	expd 420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
49	35, 48	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
50	34, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
51	33, 50	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
52	30, 51	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
53	52	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
54	20, 53	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
55	54	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
56	16, 55	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
57	56	impancom 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 0 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
58		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵↑2) = 1 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + 1))
59	58	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵↑2) = 1 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
60		2cnd 12318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
61		1cnd 11201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
62	60, 61, 17	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ))
63	62	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ))
64		subadd2 11460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
65	63, 64	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
66	65	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (𝐴↑2)))
67	59, 66	sylan9bbr 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (2 − 1) = (𝐴↑2)))
68		nn0sqeq1 15326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑2) = 1) → 𝐵 = 1)
69	68	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) = 1 → 𝐵 = 1))
70	69	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) = 1 → 𝐵 = 1))
71		2m1e1 12364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 − 1) = 1
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2 − 1) = 1)
73	72	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ 1 = (𝐴↑2)))
74		eqcom 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = (𝐴↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1)
75	73, 74	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1))
76		nn0sqeq1 15326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 = 1)
77	76	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = 1 → 𝐴 = 1))
78	77	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 1 → 𝐴 = 1))
79		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))
80	79	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
81	78, 80	syl6 36	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 1 → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
82	75, 81	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
83	82	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 = 1 → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
84	70, 83	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) = 1 → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
85	84	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
86	67, 85	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
87	86	impancom 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
88		nn0re 12512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
89		nn0ge0 12528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
90	88, 89	sqrtsqd 15470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
91	90	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
92	91	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) ↔ (√‘(𝐵↑2)) = (√‘2)))
93	88	sqge0d 14172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵↑2))
94		2re 12314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
96	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
97		sqrt11 15312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘(𝐵↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
98	3, 93, 95, 96, 97	syl22anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐵↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
99	92, 98	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
100		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((√‘2) = 𝐵 → (√‘2) = 𝐵)
101	100	eqcoms 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = (√‘2) → (√‘2) = 𝐵)
102	101	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = (√‘2) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐵 ∈ ℚ))
103	102	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐵 ∈ ℚ))
104	103	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℚ))
105		nn0z 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
106		zq 12977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
107	105, 106	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℚ)
108	107	pm2.24d 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
109	108	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ 𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
110	104, 109	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
111	110	com12 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
112	111	expd 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
113	35, 112	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
114	34, 113	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
115	99, 114	sylbird 263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
116	115	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
117	57, 87, 116	3jaod 1454	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
118	13, 117	syld 48	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
119	9, 118	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
120	7, 119	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))
121	120	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
122		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
123		sq1 14230	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
124	122, 123	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 1)
125		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵↑2) = (1↑2))
126	125, 123	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵↑2) = 1)
127	124, 126	oveqan12d 7430	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (1 + 1))
128		1p1e2 12363	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
129	127, 128	eqtrdi 2820	. 2 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2)
130	121, 129	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   ≤ cle 11243   − cmin 11440  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℚcq 12971  ↑cexp 14096  √csqrt 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286

This theorem is referenced by:  2sqreultblem  27577  2sqreunnltblem  27580