Theorem 2sq2 27414

Description: 2 is the sum of squares of two nonnegative integers iff the two integers are 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))

Proof of Theorem 2sq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sqcl 14042	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
2		nn0sqcl 14042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4	1, 3	anim12ci 620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0))
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0))
6		nn0addge2 12475	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ0) → (𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
8		breq2 5076	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ 2))
9	8	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ 2))
10	2	ad2antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
11		nn0le2is012 12584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑2) ≤ 2) → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2))
12	11	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵↑2) ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) ≤ 2 → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2)))
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ 2 → ((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2)))
14		oveq2 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵↑2) = 0 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + 0))
15	14	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵↑2) = 0 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 0) = 2))
16	15	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 0) = 2))
17	1	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
18	17	addridd 11337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) + 0) = (𝐴↑2))
20	19	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 ↔ (𝐴↑2) = 2))
21	1	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
22		nn0re 12437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	22	sqge0d 14090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐴↑2))
24		2nn0 12445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
26	25	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
27		0le2 12274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 2
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
29		sqrt11 15215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐴↑2) = 2))
30	21, 23, 26, 28, 29	syl22anc 844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐴↑2) = 2))
31		nn0ge0 12453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
32	22, 31	sqrtsqd 15373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
33	32	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) ↔ 𝐴 = (√‘2)))
34		sqrt2irr 16207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
35		df-nel 3039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
36		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((√‘2) = 𝐴 → (√‘2) = 𝐴)
37	36	eqcoms 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → (√‘2) = 𝐴)
38	37	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
39	38	notbid 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 = (√‘2) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
41		nn0z 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
42		zq 12895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℚ)
44	43	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
46	40, 45	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
47	46	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 = (√‘2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
48	47	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
49	35, 48	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
50	34, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
51	33, 50	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
52	30, 51	sylbird 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
54	20, 53	sylbid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + 0) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
56	16, 55	sylbid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
57	56	impancom 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 0 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
58		oveq2 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵↑2) = 1 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + 1))
59	58	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵↑2) = 1 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
60		2cnd 12250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
61		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
62	60, 61, 17	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ))
64		subadd2 11388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑2) + 1) = 2))
66	65	bicomd 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (𝐴↑2)))
67	59, 66	sylan9bbr 515	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (2 − 1) = (𝐴↑2)))
68		nn0sqeq1 15229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑2) = 1) → 𝐵 = 1)
69	68	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) = 1 → 𝐵 = 1))
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) = 1 → 𝐵 = 1))
71		2m1e1 12293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 − 1) = 1
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2 − 1) = 1)
73	72	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ 1 = (𝐴↑2)))
74		eqcom 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = (𝐴↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1)
75	73, 74	bitrdi 288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1))
76		nn0sqeq1 15229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 = 1)
77	76	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = 1 → 𝐴 = 1))
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 1 → 𝐴 = 1))
79		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))
80	79	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
81	78, 80	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) = 1 → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
82	75, 81	sylbid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐵 = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
83	82	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 = 1 → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
84	70, 83	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) = 1 → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
85	84	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → ((2 − 1) = (𝐴↑2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
86	67, 85	sylbid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵↑2) = 1) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
87	86	impancom 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 1 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
88		nn0re 12437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
89		nn0ge0 12453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
90	88, 89	sqrtsqd 15373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
91	90	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
92	91	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) ↔ (√‘(𝐵↑2)) = (√‘2)))
93	88	sqge0d 14090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵↑2))
94		2re 12246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
96	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
97		sqrt11 15215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘(𝐵↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
98	3, 93, 95, 96, 97	syl22anc 844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((√‘(𝐵↑2)) = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
99	92, 98	bitrd 280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) ↔ (𝐵↑2) = 2))
100		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((√‘2) = 𝐵 → (√‘2) = 𝐵)
101	100	eqcoms 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = (√‘2) → (√‘2) = 𝐵)
102	101	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 = (√‘2) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐵 ∈ ℚ))
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → ((√‘2) ∈ ℚ ↔ 𝐵 ∈ ℚ))
104	103	notbid 319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℚ))
105		nn0z 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
106		zq 12895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℚ)
108	107	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ 𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
110	104, 109	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
111	110	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 = (√‘2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
112	111	expd 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ ℚ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
113	35, 112	sylbi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))))
114	34, 113	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 = (√‘2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
115	99, 114	sylbird 261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
116	115	ad2antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
117	57, 87, 116	3jaod 1437	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (((𝐵↑2) = 0 ∨ (𝐵↑2) = 1 ∨ (𝐵↑2) = 2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
118	13, 117	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
119	9, 118	sylbid 241	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → ((𝐵↑2) ≤ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
120	7, 119	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2) → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1))
121	120	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 → (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))
122		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
123		sq1 14148	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
124	122, 123	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 1)
125		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵↑2) = (1↑2))
126	125, 123	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵↑2) = 1)
127	124, 126	oveqan12d 7375	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (1 + 1))
128		1p1e2 12292	. . 3 ⊢ (1 + 1) = 2
129	127, 128	eqtrdi 2790	. 2 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2)
130	121, 129	impbid1 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ w3o 1091   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3038   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   ≤ cle 11171   − cmin 11368  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℚcq 12889  ↑cexp 14014  √csqrt 15186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  2sqreultblem  27429  2sqreunnltblem  27432