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Theorem numclwlk2lem2f1o 30408
Description: 𝑅 is a 1-1 onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 21-Jan-2022.) (Proof shortened by AV, 17-Mar-2022.) (Revised by AV, 1-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
numclwwlk.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
numclwlk2lem2f1o ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑉   𝑥,𝐺,𝑤   𝑥,𝐻   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f1o
Dummy variables 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2822 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
2 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑅𝑦) = (𝑅𝑥))
3 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 prefix (𝑁 + 1)) = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))
42, 3eqeq12d 2751 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑅𝑦) = (𝑦 prefix (𝑁 + 1)) ↔ (𝑅𝑥) = (𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
51, 4imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑦) = (𝑦 prefix (𝑁 + 1))) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑥) = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))))
65imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑦) = (𝑦 prefix (𝑁 + 1)))) ↔ ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑥) = (𝑥 prefix (𝑁 + 1))))))
7 numclwwlk.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 numclwwlk.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
9 numclwwlk.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
10 numclwwlk.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))
117, 8, 9, 10numclwlk2lem2fv 30407 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑦) = (𝑦 prefix (𝑁 + 1))))
126, 11chvarvv 1996 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑥) = (𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
13123adant1 1129 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑥) = (𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
1413imp 406 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑅𝑥) = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))
157, 8, 9, 10numclwlk2lem2f 30406 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))
1615ffvelcdmda 7104 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑅𝑥) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
1714, 16eqeltrrd 2840 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
1817ralrimiva 3144 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
197, 8, 9numclwwlk2lem1 30405 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) → ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
2019imp 406 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)) → ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)))
217, 8numclwwlkovq 30403 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)})
2221eleq2d 2825 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
23223adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
24 fveq1 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘0) = (𝑢‘0))
2524eqeq1d 2737 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘0) = 𝑋))
26 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢 → (lastS‘𝑤) = (lastS‘𝑢))
2726neeq1d 2998 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑢 → ((lastS‘𝑤) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋))
2825, 27anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑢 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋) ↔ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)))
2928elrab 3695 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)} ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)))
3023, 29bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋))))
31 wwlknbp1 29874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑢 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)))
32 3simpc 1149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑢 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (𝑢 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑢 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)))
347wrdeqi 14572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word 𝑉 = Word (Vtx‘𝐺)
3534eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ Word 𝑉𝑢 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3635anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑢 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)))
3733, 36sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)))
38 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑢 ∈ Word 𝑉)
39 nnnn0 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
40 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4241nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
43 nn0pzuz 12945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2))
4439, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2))
459numclwwlkovh 30402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
4644, 45sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
4746eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
48 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘0) = (𝑥‘0))
4948eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑥‘0) = 𝑋))
50 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
5150, 48neeq12d 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))
5249, 51anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
5352elrab 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
5447, 53bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
55543adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
577clwwlknbp 30064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)))
58 lencl 14568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑢 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑢) ∈ ℕ0)
59 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → 𝑥 ∈ Word 𝑉)
60 df-2 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2 = (1 + 1)
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (1 + 1))
6261oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) = (𝑁 + (1 + 1)))
63 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
64 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
6563, 64, 64addassd 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
6662, 65eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
6867eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ↔ (♯‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1)))
6968biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) → ((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1)))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1)))
7170impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (♯‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1))
72 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((♯‘𝑢) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑢) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
7372ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((♯‘𝑢) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
7471, 73eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))
7559, 74jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))
7675exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
7758, 76sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
7877com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
79783ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
8079impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8180com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8281ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8357, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8656, 85sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8786ralrimiv 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))
8838, 87jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
8988ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
9037, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1)))))
9291imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))))
93 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑣𝑋
94 nfmpo1 7513 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑣(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
959, 94nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . 13 𝑣𝐻
96 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑣(𝑁 + 2)
9793, 95, 96nfov 7461 . . . . . . . . . . . 12 𝑣(𝑋𝐻(𝑁 + 2))
9897reuccatpfxs1 14782 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑢) + 1))) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (♯‘𝑢))))
9992, 98syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (♯‘𝑢))))
10099imp 406 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (♯‘𝑢)))
10131simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (♯‘𝑢) = (𝑁 + 1))
102101eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 + 1) = (♯‘𝑢))
103102ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑁 + 1) = (♯‘𝑢))
104103oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) = (𝑥 prefix (♯‘𝑢)))
105104eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 (((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑢 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ↔ 𝑢 = (𝑥 prefix (♯‘𝑢))))
106105reubidva 3394 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (♯‘𝑢))))
107100, 106mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))
108107exp31 419 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))))
109108com12 32 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑢 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑢) ≠ 𝑋)) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))))
11030, 109sylbid 240 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))))
111110imp 406 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
11220, 111mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))
113112ralrimiva 3144 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1)))
11410f1ompt 7131 . 2 (𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 prefix (𝑁 + 1)) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 prefix (𝑁 + 1))))
11518, 113, 114sylanbrc 583 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  ∃!wreu 3376  {crab 3433  cmpt 5231  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  chash 14366  Word cword 14549  lastSclsw 14597   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630   prefix cpfx 14705  Vtxcvtx 29028   WWalksN cwwlksn 29856   ClWWalksN cclwwlkn 30053  ClWWalksNOncclwwlknon 30116   FriendGraph cfrgr 30287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-wwlks 29860  df-wwlksn 29861  df-clwwlk 30011  df-clwwlkn 30054  df-clwwlknon 30117  df-frgr 30288
This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem3  30409
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