MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem6 27109
Description: Lemma 6 for gausslemma2d 27111. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
gausslemma2d.n ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem6 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘€
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 gausslemma2d.h . . . 4 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . . 4 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
4 gausslemma2d.m . . . 4 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem4 27106 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))
65oveq1d 7428 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)) mod ๐‘ƒ))
7 fzfid 13944 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘€) โˆˆ Fin)
81, 2, 3, 4gausslemma2dlem2 27104 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2))
98adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2))
10 rspa 3243 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2))
1110expcom 412 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2)))
1211adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2)))
13 elfzelz 13507 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
14 2z 12600 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
1613, 15zmulcld 12678 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
1716adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
18 eleq1 2819 . . . . . . 7 ((๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2) โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค))
1917, 18syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค))
2012, 19syld 47 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜ ยท 2) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค))
219, 20mpd 15 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
227, 21fprodzcl 15904 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
23 fzfid 13944 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin)
241, 2, 3, 4gausslemma2dlem3 27105 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
2524adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
26 rspa 3243 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
2726expcom 412 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))))
2827adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))))
291gausslemma2dlem0a 27093 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
3029nnzd 12591 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
31 elfzelz 13507 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
3214a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
3331, 32zmulcld 12678 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
34 zsubcl 12610 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ โ„ค)
3530, 33, 34syl2an 594 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ โ„ค)
36 eleq1 2819 . . . . . . . 8 ((๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ โ„ค))
3735, 36syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค))
3828, 37syld 47 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค))
3925, 38mpd 15 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
4023, 39fprodzcl 15904 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
4140zred 12672 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
42 nnoddn2prm 16750 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
43 nnrp 12991 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
4443adantr 479 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
451, 42, 443syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
46 modmulmodr 13908 . . . 4 ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)) mod ๐‘ƒ))
4746eqcomd 2736 . . 3 ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)) mod ๐‘ƒ) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
4822, 41, 45, 47syl3anc 1369 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)) mod ๐‘ƒ) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
49 gausslemma2d.n . . . . . 6 ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
501, 2, 3, 4, 49gausslemma2dlem5 27108 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
5150oveq2d 7429 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ)))
5251oveq1d 7428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ))
53 neg1rr 12333 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„
5453a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„)
551, 4, 2, 49gausslemma2dlem0h 27100 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
5654, 55reexpcld 14134 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
5731adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
5814a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
5957, 58zmulcld 12678 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
6023, 59fprodzcl 15904 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
6160zred 12672 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„)
6256, 61remulcld 11250 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ โ„)
63 modmulmodr 13908 . . . 4 ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2))) mod ๐‘ƒ))
6422, 62, 45, 63syl3anc 1369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2))) mod ๐‘ƒ))
658prodeq2d 15872 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘˜ ยท 2))
6665oveq1d 7428 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘˜ ยท 2) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)))
67 fzfid 13944 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ป) โˆˆ Fin)
68 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
6968zcnd 12673 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
7069adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
71 2cn 12293 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7367, 70, 72fprodmul 15910 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘˜ ยท 2) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)๐‘˜ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)2))
741, 4gausslemma2dlem0d 27096 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
7574nn0red 12539 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
7675ltp1d 12150 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < (๐‘€ + 1))
77 fzdisj 13534 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ < (๐‘€ + 1) โ†’ ((1...๐‘€) โˆฉ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) = โˆ…)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1...๐‘€) โˆฉ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) = โˆ…)
79 1zzd 12599 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
80 nn0pzuz 12895 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8174, 79, 80syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8274nn0zd 12590 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
831, 2gausslemma2dlem0b 27094 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•)
8483nnzd 12591 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„ค)
851, 4, 2gausslemma2dlem0g 27099 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐ป)
86 eluz2 12834 . . . . . . . . . . 11 (๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰ค ๐ป))
8782, 84, 85, 86syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
88 fzsplit2 13532 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (1...๐ป) = ((1...๐‘€) โˆช ((๐‘€ + 1)...๐ป)))
8981, 87, 88syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ป) = ((1...๐‘€) โˆช ((๐‘€ + 1)...๐ป)))
9014a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
9168, 90zmulcld 12678 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
9291adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
9392zcnd 12673 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
9478, 89, 67, 93fprodsplit 15916 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘˜ ยท 2) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘˜ ยท 2) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)))
95 nnnn0 12485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
9695anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
9742, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
98 nn0oddm1d2 16334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0))
9998biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
1002, 99eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•0)
1011, 97, 1003syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•0)
102 fprodfac 15923 . . . . . . . . . . . 12 (๐ป โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐ป) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)๐‘˜)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)๐‘˜)
104103eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)๐‘˜ = (!โ€˜๐ป))
105 fzfi 13943 . . . . . . . . . . . 12 (1...๐ป) โˆˆ Fin
106105, 71pm3.2i 469 . . . . . . . . . . 11 ((1...๐ป) โˆˆ Fin โˆง 2 โˆˆ โ„‚)
107 fprodconst 15928 . . . . . . . . . . 11 (((1...๐ป) โˆˆ Fin โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)2 = (2โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐ป))))
108106, 107mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)2 = (2โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐ป))))
109104, 108oveq12d 7431 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)๐‘˜ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)2) = ((!โ€˜๐ป) ยท (2โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐ป)))))
110 hashfz1 14312 . . . . . . . . . . . 12 (๐ป โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐ป)) = ๐ป)
111101, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐ป)) = ๐ป)
112111oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐ป))) = (2โ†‘๐ป))
113112oveq2d 7429 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) ยท (2โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐ป)))) = ((!โ€˜๐ป) ยท (2โ†‘๐ป)))
114101faccld 14250 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„•)
115114nncnd 12234 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„‚)
116 2nn0 12495 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•0
117 nn0expcl 14047 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ป โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ป) โˆˆ โ„•0)
118117nn0cnd 12540 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ป โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ป) โˆˆ โ„‚)
119116, 101, 118sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ป) โˆˆ โ„‚)
120115, 119mulcomd 11241 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) ยท (2โ†‘๐ป)) = ((2โ†‘๐ป) ยท (!โ€˜๐ป)))
121109, 113, 1203eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)๐‘˜ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)2) = ((2โ†‘๐ป) ยท (!โ€˜๐ป)))
12273, 94, 1213eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘˜ ยท 2) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) = ((2โ†‘๐ป) ยท (!โ€˜๐ป)))
12366, 122eqtrd 2770 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) = ((2โ†‘๐ป) ยท (!โ€˜๐ป)))
124123oveq2d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2))) = ((-1โ†‘๐‘) ยท ((2โ†‘๐ป) ยท (!โ€˜๐ป))))
12522zcnd 12673 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
12656recnd 11248 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
12760zcnd 12673 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
128125, 126, 127mul12d 11429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2))) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2))))
129126, 119, 115mulassd 11243 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท ((2โ†‘๐ป) ยท (!โ€˜๐ป))))
130124, 128, 1293eqtr4d 2780 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2))) = (((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)))
131130oveq1d 7428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2))) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ))
13252, 64, 1313eqtrd 2774 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ))
1336, 48, 1323eqtrd 2774 1 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) mod ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘๐‘) ยท (2โ†‘๐ป)) ยท (!โ€˜๐ป)) mod ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โˆฉ cin 3948  โˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Fincfn 8943  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11254   โ‰ค cle 11255   โˆ’ cmin 11450  -cneg 11451   / cdiv 11877  โ„•cn 12218  2c2 12273  4c4 12275  โ„•0cn0 12478  โ„คcz 12564  โ„คโ‰ฅcuz 12828  โ„+crp 12980  ...cfz 13490  โŒŠcfl 13761   mod cmo 13840  โ†‘cexp 14033  !cfa 14239  โ™ฏchash 14296  โˆcprod 15855   โˆฅ cdvds 16203  โ„™cprime 16614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856  df-dvds 16204  df-prm 16615
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  27110
  Copyright terms: Public domain W3C validator