Theorem gausslemma2dlem6 27587

Description: Lemma 6 for gausslemma2d 27589. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem6	⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem4 27584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)))
6	5	oveq1d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃))
7		fzfid 14027	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
8	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem2 27582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
10		rspa 3256	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
11	10	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2)))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2)))
13		elfzelz 13568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
14		2z 12641	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 2 ∈ ℤ)
16	13, 15	zmulcld 12722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
17	16	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
18		eleq1 2853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → ((𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑘 · 2) ∈ ℤ))
19	17, 18	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
20	12, 19	syld 48	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
21	9, 20	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
22	7, 21	fprodzcl 16031	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
23		fzfid 14027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
24	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 27583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
25	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
26		rspa 3256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
27	26	expcom 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
28	27	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
29	1	gausslemma2dlem0a 27571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
30	29	nnzd 12632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
31		elfzelz 13568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
32	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
33	31, 32	zmulcld 12722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
34		zsubcl 12651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
35	30, 33, 34	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
36		eleq1 2853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ((𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ))
37	35, 36	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
38	28, 37	syld 48	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
39	25, 38	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
40	23, 39	fprodzcl 16031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
41	40	zred 12716	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℝ)
42		nnoddn2prm 16893	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
43		nnrp 13044	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
44	43	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ+)
45	1, 42, 44	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
46		modmulmodr 13991	. . . 4 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃))
47	46	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
48	22, 41, 45, 47	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
49		gausslemma2d.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
50	1, 2, 3, 4, 49	gausslemma2dlem5 27586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
51	50	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)))
52	51	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
53		neg1rr 12219	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
55	1, 4, 2, 49	gausslemma2dlem0h 27578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
56	54, 55	reexpcld 14217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
57	31	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℤ)
58	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 2 ∈ ℤ)
59	57, 58	zmulcld 12722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
60	23, 59	fprodzcl 16031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℤ)
61	60	zred 12716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℝ)
62	56, 61	remulcld 11254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℝ)
63		modmulmodr 13991	. . . 4 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
64	22, 62, 45, 63	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
65	8	prodeq2d 15998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2))
66	65	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
67		fzfid 14027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
68		elfzelz 13568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
69	68	zcnd 12717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
70	69	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℂ)
71		2cn 12331	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
73	67, 70, 72	fprodmul 16037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2))
74	1, 4	gausslemma2dlem0d 27574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
75	74	nn0red 12581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
76	75	ltp1d 12160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
77		fzdisj 13596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
78	76, 77	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
79		1zzd 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
80		nn0pzuz 12945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
81	74, 79, 80	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
82	74	nn0zd 12631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
83	1, 2	gausslemma2dlem0b 27572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
84	83	nnzd 12632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
85	1, 4, 2	gausslemma2dlem0g 27577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻)
86		eluz2 12884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐻))
87	82, 84, 85, 86	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
88		fzsplit2 13594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
89	81, 87, 88	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
90	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
91	68, 90	zmulcld 12722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
92	91	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
93	92	zcnd 12717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
94	78, 89, 67, 93	fprodsplit 16043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
95		nnnn0 12526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
96	95	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
97	42, 96	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
98		nn0oddm1d2 16465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
99	98	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
100	2, 99	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝐻 ∈ ℕ0)
101	1, 97, 100	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
102		fprodfac 16050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
103	101, 102	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
104	103	eqcomd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 = (!‘𝐻))
105		fzfi 14026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝐻) ∈ Fin
106	105, 71	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ)
107		fprodconst 16055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
108	106, 107	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
109	104, 108	oveq12d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))))
110		hashfz1 14400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
111	101, 110	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
112	111	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(♯‘(1...𝐻))) = (2↑𝐻))
113	112	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))) = ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)))
114	101	faccld 14338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
115	114	nncnd 12264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
116		2nn0 12536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
117		nn0expcl 14129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℕ0)
118	117	nn0cnd 12582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
119	116, 101, 118	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
120	115, 119	mulcomd 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
121	109, 113, 120	3eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
122	73, 94, 121	3eqtr3d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
123	66, 122	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
124	123	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
125	22	zcnd 12717	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℂ)
126	56	recnd 11252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
127	60	zcnd 12717	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℂ)
128	125, 126, 127	mul12d 11434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))))
129	126, 119, 115	mulassd 11247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
130	124, 128, 129	3eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)))
131	130	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
132	52, 64, 131	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
133	6, 48, 132	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  ifcif 4489  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  ℂcc 11113  ℝcr 11114  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   < clt 11258   ≤ cle 11259   − cmin 11456  -cneg 11457   / cdiv 11886  ℕcn 12248  2c2 12310  4c4 12312  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13032  ...cfz 13551  ⌊cfl 13841   mod cmo 13920  ↑cexp 14115  !cfa 14327  ♯chash 14384  ∏cprod 15980   ∥ cdvds 16332  ℙcprime 16751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-ioo 13392  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-prod 15981  df-dvds 16333  df-prm 16752

This theorem is used by:  gausslemma2dlem7  27588