MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem6 25650
Description: Lemma 6 for gausslemma2d 25652. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem6 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . . 4 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . . 4 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . . 4 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem4 25647 . . 3 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
65oveq1d 6991 . 2 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃))
7 fzfid 13156 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
81, 2, 3, 4gausslemma2dlem2 25645 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
98adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
10 rspa 3156 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
1110expcom 406 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2)))
1211adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2)))
13 elfzelz 12724 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 2z 11827 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 2 ∈ ℤ)
1613, 15zmulcld 11906 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
1716adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
18 eleq1 2853 . . . . . . 7 ((𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → ((𝑅𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑘 · 2) ∈ ℤ))
1917, 18syl5ibrcom 239 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
2012, 19syld 47 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
219, 20mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ)
227, 21fprodzcl 15168 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ)
23 fzfid 13156 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
241, 2, 3, 4gausslemma2dlem3 25646 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
2524adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
26 rspa 3156 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
2726expcom 406 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
2827adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
291gausslemma2dlem0a 25634 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
3029nnzd 11899 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
31 elfzelz 12724 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
3214a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
3331, 32zmulcld 11906 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
34 zsubcl 11837 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
3530, 33, 34syl2an 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
36 eleq1 2853 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ((𝑅𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ))
3735, 36syl5ibrcom 239 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
3828, 37syld 47 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
3925, 38mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ)
4023, 39fprodzcl 15168 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℤ)
4140zred 11900 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℝ)
42 nnoddn2prm 16004 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
43 nnrp 12217 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
4443adantr 473 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ+)
451, 42, 443syl 18 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
46 modmulmodr 13120 . . . 4 ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃))
4746eqcomd 2784 . . 3 ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
4822, 41, 45, 47syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
49 gausslemma2d.n . . . . . 6 𝑁 = (𝐻𝑀)
501, 2, 3, 4, 49gausslemma2dlem5 25649 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
5150oveq2d 6992 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)))
5251oveq1d 6991 . . 3 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
53 neg1rr 11562 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
551, 4, 2, 49gausslemma2dlem0h 25641 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5654, 55reexpcld 13342 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
5731adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5814a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 2 ∈ ℤ)
5957, 58zmulcld 11906 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
6023, 59fprodzcl 15168 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℤ)
6160zred 11900 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℝ)
6256, 61remulcld 10470 . . . 4 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℝ)
63 modmulmodr 13120 . . . 4 ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
6422, 62, 45, 63syl3anc 1351 . . 3 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
658prodeq2d 15136 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2))
6665oveq1d 6991 . . . . . . 7 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
67 fzfid 13156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
68 elfzelz 12724 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
6968zcnd 11901 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
7069adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℂ)
71 2cn 11515 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
7367, 70, 72fprodmul 15174 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2))
741, 4gausslemma2dlem0d 25637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
7574nn0red 11768 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7675ltp1d 11371 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
77 fzdisj 12750 . . . . . . . . . 10 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
79 1zzd 11826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
80 nn0pzuz 12119 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
8174, 79, 80syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
8274nn0zd 11898 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
831, 2gausslemma2dlem0b 25635 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
8483nnzd 11899 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
851, 4, 2gausslemma2dlem0g 25640 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝐻)
86 eluz2 12064 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐻))
8782, 84, 85, 86syl3anbrc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ (ℤ𝑀))
88 fzsplit2 12748 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐻 ∈ (ℤ𝑀)) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
8981, 87, 88syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
9014a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
9168, 90zmulcld 11906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
9291adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
9392zcnd 11901 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
9478, 89, 67, 93fprodsplit 15180 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
95 nnnn0 11715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
9695anim1i 605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
9742, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
98 nn0oddm1d2 15596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
9998biimpa 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
1002, 99syl5eqel 2870 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝐻 ∈ ℕ0)
1011, 97, 1003syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
102 fprodfac 15187 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
104103eqcomd 2784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 = (!‘𝐻))
105 fzfi 13155 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝐻) ∈ Fin
106105, 71pm3.2i 463 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ)
107 fprodconst 15192 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
108106, 107mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
109104, 108oveq12d 6994 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))))
110 hashfz1 13521 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
111101, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
112111oveq2d 6992 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(♯‘(1...𝐻))) = (2↑𝐻))
113112oveq2d 6992 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))) = ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)))
114101faccld 13459 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
115114nncnd 11457 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
116 2nn0 11726 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
117 nn0expcl 13258 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℕ0)
118117nn0cnd 11769 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
119116, 101, 118sylancr 578 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
120115, 119mulcomd 10461 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
121109, 113, 1203eqtrd 2818 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
12273, 94, 1213eqtr3d 2822 . . . . . . 7 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
12366, 122eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
124123oveq2d 6992 . . . . 5 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
12522zcnd 11901 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℂ)
12656recnd 10468 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
12760zcnd 11901 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℂ)
128125, 126, 127mul12d 10649 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))))
129126, 119, 115mulassd 10463 . . . . 5 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
130124, 128, 1293eqtr4d 2824 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)))
131130oveq1d 6991 . . 3 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
13252, 64, 1313eqtrd 2818 . 2 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
1336, 48, 1323eqtrd 2818 1 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  cdif 3826  cun 3827  cin 3828  c0 4178  ifcif 4350  {csn 4441   class class class wbr 4929  cmpt 5008  cfv 6188  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  cc 10333  cr 10334  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   < clt 10474  cle 10475  cmin 10670  -cneg 10671   / cdiv 11098  cn 11439  2c2 11495  4c4 11497  0cn0 11707  cz 11793  cuz 12058  +crp 12204  ...cfz 12708  cfl 12975   mod cmo 13052  cexp 13244  !cfa 13448  chash 13505  cprod 15119  cdvds 15467  cprime 15871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-ioo 12558  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-prod 15120  df-dvds 15468  df-prm 15872
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  25651
  Copyright terms: Public domain W3C validator