Theorem gausslemma2dlem6 27298

Description: Lemma 6 for gausslemma2d 27300. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem6	⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem4 27295	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)))
6	5	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃))
7		fzfid 13964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
8	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem2 27293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
10		rspa 3241	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
11	10	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2)))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2)))
13		elfzelz 13527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
14		2z 12618	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 2 ∈ ℤ)
16	13, 15	zmulcld 12696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
18		eleq1 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → ((𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑘 · 2) ∈ ℤ))
19	17, 18	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
20	12, 19	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
21	9, 20	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
22	7, 21	fprodzcl 15924	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
23		fzfid 13964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
24	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 27294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
26		rspa 3241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
27	26	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
28	27	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
29	1	gausslemma2dlem0a 27282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
30	29	nnzd 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
31		elfzelz 13527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
32	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
33	31, 32	zmulcld 12696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
34		zsubcl 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
35	30, 33, 34	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
36		eleq1 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ((𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ))
37	35, 36	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
38	28, 37	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
39	25, 38	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
40	23, 39	fprodzcl 15924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
41	40	zred 12690	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℝ)
42		nnoddn2prm 16773	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
43		nnrp 13011	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ+)
45	1, 42, 44	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
46		modmulmodr 13928	. . . 4 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃))
47	46	eqcomd 2734	. . 3 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
48	22, 41, 45, 47	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
49		gausslemma2d.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
50	1, 2, 3, 4, 49	gausslemma2dlem5 27297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
51	50	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)))
52	51	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
53		neg1rr 12351	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
55	1, 4, 2, 49	gausslemma2dlem0h 27289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
56	54, 55	reexpcld 14153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
57	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℤ)
58	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 2 ∈ ℤ)
59	57, 58	zmulcld 12696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
60	23, 59	fprodzcl 15924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℤ)
61	60	zred 12690	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℝ)
62	56, 61	remulcld 11268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℝ)
63		modmulmodr 13928	. . . 4 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
64	22, 62, 45, 63	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
65	8	prodeq2d 15892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2))
66	65	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
67		fzfid 13964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
68		elfzelz 13527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
69	68	zcnd 12691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
70	69	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℂ)
71		2cn 12311	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
73	67, 70, 72	fprodmul 15930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2))
74	1, 4	gausslemma2dlem0d 27285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
75	74	nn0red 12557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
76	75	ltp1d 12168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
77		fzdisj 13554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
79		1zzd 12617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
80		nn0pzuz 12913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
81	74, 79, 80	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
82	74	nn0zd 12608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
83	1, 2	gausslemma2dlem0b 27283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
84	83	nnzd 12609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
85	1, 4, 2	gausslemma2dlem0g 27288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻)
86		eluz2 12852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐻))
87	82, 84, 85, 86	syl3anbrc 1341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
88		fzsplit2 13552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
89	81, 87, 88	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
90	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
91	68, 90	zmulcld 12696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
93	92	zcnd 12691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
94	78, 89, 67, 93	fprodsplit 15936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
95		nnnn0 12503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
96	95	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
97	42, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
98		nn0oddm1d2 16355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
99	98	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
100	2, 99	eqeltrid 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝐻 ∈ ℕ0)
101	1, 97, 100	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
102		fprodfac 15943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
104	103	eqcomd 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 = (!‘𝐻))
105		fzfi 13963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝐻) ∈ Fin
106	105, 71	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ)
107		fprodconst 15948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
108	106, 107	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
109	104, 108	oveq12d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))))
110		hashfz1 14331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
111	101, 110	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
112	111	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(♯‘(1...𝐻))) = (2↑𝐻))
113	112	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))) = ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)))
114	101	faccld 14269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
115	114	nncnd 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
116		2nn0 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
117		nn0expcl 14066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℕ0)
118	117	nn0cnd 12558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
119	116, 101, 118	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
120	115, 119	mulcomd 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
121	109, 113, 120	3eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
122	73, 94, 121	3eqtr3d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
123	66, 122	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
124	123	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
125	22	zcnd 12691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℂ)
126	56	recnd 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
127	60	zcnd 12691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℂ)
128	125, 126, 127	mul12d 11447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))))
129	126, 119, 115	mulassd 11261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
130	124, 128, 129	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)))
131	130	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
132	52, 64, 131	3eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
133	6, 48, 132	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057   ∖ cdif 3942   ∪ cun 3943   ∩ cin 3944  ∅c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  ℂcc 11130  ℝcr 11131  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137   < clt 11272   ≤ cle 11273   − cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11895  ℕcn 12236  2c2 12291  4c4 12293  ℕ₀cn0 12496  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12846  ℝ⁺crp 13000  ...cfz 13510  ⌊cfl 13781   mod cmo 13860  ↑cexp 14052  !cfa 14258  ♯chash 14315  ∏cprod 15875   ∥ cdvds 16224  ℙcprime 16635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-ioo 13354  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-prod 15876  df-dvds 16225  df-prm 16636

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  27299