MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem6 27298
Description: Lemma 6 for gausslemma2d 27300. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem6 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . . 4 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . . 4 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . . 4 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem4 27295 . . 3 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
65oveq1d 7429 . 2 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃))
7 fzfid 13964 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
81, 2, 3, 4gausslemma2dlem2 27293 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
10 rspa 3241 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2))
1110expcom 413 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2)))
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) = (𝑘 · 2)))
13 elfzelz 13527 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 2z 12618 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 2 ∈ ℤ)
1613, 15zmulcld 12696 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
18 eleq1 2817 . . . . . . 7 ((𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → ((𝑅𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑘 · 2) ∈ ℤ))
1917, 18syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
2012, 19syld 47 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
219, 20mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ)
227, 21fprodzcl 15924 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ)
23 fzfid 13964 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
241, 2, 3, 4gausslemma2dlem3 27294 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
26 rspa 3241 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
2726expcom 413 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
2827adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
291gausslemma2dlem0a 27282 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
3029nnzd 12609 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
31 elfzelz 13527 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
3214a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
3331, 32zmulcld 12696 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
34 zsubcl 12628 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
3530, 33, 34syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
36 eleq1 2817 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ((𝑅𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ))
3735, 36syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
3828, 37syld 47 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ))
3925, 38mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℤ)
4023, 39fprodzcl 15924 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℤ)
4140zred 12690 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℝ)
42 nnoddn2prm 16773 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
43 nnrp 13011 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
4443adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ+)
451, 42, 443syl 18 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
46 modmulmodr 13928 . . . 4 ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃))
4746eqcomd 2734 . . 3 ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
4822, 41, 45, 47syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
49 gausslemma2d.n . . . . . 6 𝑁 = (𝐻𝑀)
501, 2, 3, 4, 49gausslemma2dlem5 27297 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
5150oveq2d 7430 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)))
5251oveq1d 7429 . . 3 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
53 neg1rr 12351 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
551, 4, 2, 49gausslemma2dlem0h 27289 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5654, 55reexpcld 14153 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
5731adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5814a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 2 ∈ ℤ)
5957, 58zmulcld 12696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
6023, 59fprodzcl 15924 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℤ)
6160zred 12690 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℝ)
6256, 61remulcld 11268 . . . 4 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℝ)
63 modmulmodr 13928 . . . 4 ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
6422, 62, 45, 63syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
658prodeq2d 15892 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2))
6665oveq1d 7429 . . . . . . 7 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
67 fzfid 13964 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
68 elfzelz 13527 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
6968zcnd 12691 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
7069adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℂ)
71 2cn 12311 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
7367, 70, 72fprodmul 15930 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2))
741, 4gausslemma2dlem0d 27285 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
7574nn0red 12557 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7675ltp1d 12168 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
77 fzdisj 13554 . . . . . . . . . 10 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
79 1zzd 12617 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
80 nn0pzuz 12913 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
8174, 79, 80syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
8274nn0zd 12608 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
831, 2gausslemma2dlem0b 27283 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
8483nnzd 12609 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
851, 4, 2gausslemma2dlem0g 27288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝐻)
86 eluz2 12852 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐻))
8782, 84, 85, 86syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ (ℤ𝑀))
88 fzsplit2 13552 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐻 ∈ (ℤ𝑀)) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
8981, 87, 88syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
9014a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
9168, 90zmulcld 12696 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
9291adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
9392zcnd 12691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
9478, 89, 67, 93fprodsplit 15936 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
95 nnnn0 12503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
9695anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
9742, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
98 nn0oddm1d2 16355 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
9998biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
1002, 99eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝐻 ∈ ℕ0)
1011, 97, 1003syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
102 fprodfac 15943 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
104103eqcomd 2734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 = (!‘𝐻))
105 fzfi 13963 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝐻) ∈ Fin
106105, 71pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ)
107 fprodconst 15948 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
108106, 107mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
109104, 108oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))))
110 hashfz1 14331 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
111101, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
112111oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(♯‘(1...𝐻))) = (2↑𝐻))
113112oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))) = ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)))
114101faccld 14269 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
115114nncnd 12252 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
116 2nn0 12513 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
117 nn0expcl 14066 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℕ0)
118117nn0cnd 12558 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ0𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
119116, 101, 118sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
120115, 119mulcomd 11259 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
121109, 113, 1203eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
12273, 94, 1213eqtr3d 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
12366, 122eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
124123oveq2d 7430 . . . . 5 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
12522zcnd 12691 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) ∈ ℂ)
12656recnd 11266 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
12760zcnd 12691 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℂ)
128125, 126, 127mul12d 11447 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))))
129126, 119, 115mulassd 11261 . . . . 5 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
130124, 128, 1293eqtr4d 2778 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)))
131130oveq1d 7429 . . 3 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
13252, 64, 1313eqtrd 2772 . 2 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
1336, 48, 1323eqtrd 2772 1 (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  cdif 3942  cun 3943  cin 3944  c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142  cmpt 5225  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  cc 11130  cr 11131  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137   < clt 11272  cle 11273  cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11895  cn 12236  2c2 12291  4c4 12293  0cn0 12496  cz 12582  cuz 12846  +crp 13000  ...cfz 13510  cfl 13781   mod cmo 13860  cexp 14052  !cfa 14258  chash 14315  cprod 15875  cdvds 16224  cprime 16635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-ioo 13354  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-prod 15876  df-dvds 16225  df-prm 16636
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  27299
  Copyright terms: Public domain W3C validator