Theorem gausslemma2dlem6 27335

Description: Lemma 6 for gausslemma2d 27337. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem6	⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem6

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem4 27332	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)))
6	5	oveq1d 7382	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃))
7		fzfid 13935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
8	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem2 27330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
10		rspa 3226	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2))
11	10	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2)))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2)))
13		elfzelz 13478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
14		2z 12559	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 2 ∈ ℤ)
16	13, 15	zmulcld 12639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
18		eleq1 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → ((𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑘 · 2) ∈ ℤ))
19	17, 18	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
20	12, 19	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = (𝑘 · 2) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
21	9, 20	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
22	7, 21	fprodzcl 15919	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
23		fzfid 13935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
24	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 27331	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
26		rspa 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
27	26	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
28	27	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2))))
29	1	gausslemma2dlem0a 27319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
30	29	nnzd 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
31		elfzelz 13478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
32	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
33	31, 32	zmulcld 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
34		zsubcl 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
35	30, 33, 34	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
36		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ((𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ↔ (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ))
37	35, 36	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
38	28, 37	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ))
39	25, 38	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
40	23, 39	fprodzcl 15919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ)
41	40	zred 12633	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℝ)
42		nnoddn2prm 16782	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
43		nnrp 12954	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ+)
45	1, 42, 44	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
46		modmulmodr 13899	. . . 4 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃))
47	46	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
48	22, 41, 45, 47	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃))
49		gausslemma2d.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
50	1, 2, 3, 4, 49	gausslemma2dlem5 27334	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
51	50	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)))
52	51	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
53		neg1rr 12145	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
55	1, 4, 2, 49	gausslemma2dlem0h 27326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
56	54, 55	reexpcld 14125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
57	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℤ)
58	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 2 ∈ ℤ)
59	57, 58	zmulcld 12639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
60	23, 59	fprodzcl 15919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℤ)
61	60	zred 12633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℝ)
62	56, 61	remulcld 11175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℝ)
63		modmulmodr 13899	. . . 4 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
64	22, 62, 45, 63	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃))
65	8	prodeq2d 15886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2))
66	65	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
67		fzfid 13935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
68		elfzelz 13478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
69	68	zcnd 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
70	69	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℂ)
71		2cn 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
73	67, 70, 72	fprodmul 15925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2))
74	1, 4	gausslemma2dlem0d 27322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
75	74	nn0red 12499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
76	75	ltp1d 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1))
77		fzdisj 13505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
79		1zzd 12558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
80		nn0pzuz 12855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
81	74, 79, 80	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
82	74	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
83	1, 2	gausslemma2dlem0b 27320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
84	83	nnzd 12550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
85	1, 4, 2	gausslemma2dlem0g 27325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐻)
86		eluz2 12794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐻))
87	82, 84, 85, 86	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
88		fzsplit2 13503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐻 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
89	81, 87, 88	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
90	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
91	68, 90	zmulcld 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
93	92	zcnd 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
94	78, 89, 67, 93	fprodsplit 15931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑘 · 2) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
95		nnnn0 12444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
96	95	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
97	42, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
98		nn0oddm1d2 16354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
99	98	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
100	2, 99	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝐻 ∈ ℕ0)
101	1, 97, 100	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
102		fprodfac 15938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘)
104	103	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 = (!‘𝐻))
105		fzfi 13934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝐻) ∈ Fin
106	105, 71	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ)
107		fprodconst 15943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 2 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
108	106, 107	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2 = (2↑(♯‘(1...𝐻))))
109	104, 108	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))))
110		hashfz1 14308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
111	101, 110	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝐻)) = 𝐻)
112	111	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(♯‘(1...𝐻))) = (2↑𝐻))
113	112	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑(♯‘(1...𝐻)))) = ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)))
114	101	faccld 14246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
115	114	nncnd 12190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℂ)
116		2nn0 12454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
117		nn0expcl 14037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℕ0)
118	117	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
119	116, 101, 118	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
120	115, 119	mulcomd 11166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) · (2↑𝐻)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
121	109, 113, 120	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)𝑘 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)2) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
122	73, 94, 121	3eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑘 · 2) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
123	66, 122	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((2↑𝐻) · (!‘𝐻)))
124	123	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
125	22	zcnd 12634	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) ∈ ℂ)
126	56	recnd 11173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
127	60	zcnd 12634	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2) ∈ ℂ)
128	125, 126, 127	mul12d 11355	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = ((-1↑𝑁) · (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))))
129	126, 119, 115	mulassd 11168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) = ((-1↑𝑁) · ((2↑𝐻) · (!‘𝐻))))
130	124, 128, 129	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) = (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)))
131	130	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2))) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
132	52, 64, 131	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅‘𝑘) · (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))
133	6, 48, 132	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (!‘𝐻)) mod 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888  ∅c0 4273  ifcif 4466  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  4c4 12238  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  ...cfz 13461  ⌊cfl 13749   mod cmo 13828  ↑cexp 14023  !cfa 14235  ♯chash 14292  ∏cprod 15868   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ioo 13302  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869  df-dvds 16222  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  27336