Theorem nnne0i 12333

Description: A positive integer is nonzero (inference version). (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
nngt0.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
nnne0i	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem nnne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nngt0.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nnrei 12302	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1	nngt0i 12332	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
4	2, 3	gt0ne0ii 11826	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  0cc0 11184  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  16232  cos01bnd  16234  3lcm2e6woprm  16662  6lcm4e12  16663  pockthi  16954  sincos3rdpi  26577  1cubrlem  26902  mcubic  26908  quart1cl  26915  quart1lem  26916  quart1  26917  log2tlbnd  27006  log2ublem1  27007  basellem5  27146  basellem8  27149  basellem9  27150  ppiub  27266  bposlem8  27353  dp2ltsuc  32850  dpmul10  32859  decdiv10  32860  dpmul100  32861  dp3mul10  32862  dpadd2  32874  dpadd  32875  dpadd3  32876  dpmul  32877  ballotth  34502  hgt750lem  34628  lcmeprodgcdi  41964  lcmineqlem23  42008