Theorem nnne0i 12293

Description: A positive integer is nonzero (inference version). (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
nngt0.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
nnne0i	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem nnne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nngt0.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nnrei 12259	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1	nngt0i 12292	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
4	2, 3	gt0ne0ii 11767	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  0cc0 11117  ℕcn 12250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251

This theorem is used by:  2ne0  12364  3ne0  12367  4ne0  12369  ef01bndlem  16264  cos01bnd  16266  3lcm2e6woprm  16697  6lcm4e12  16698  pockthi  16991  sincos3rdpi  26735  1cubrlem  27059  mcubic  27065  quart1cl  27072  quart1lem  27073  quart1  27074  log2tlbnd  27163  log2ublem1  27164  basellem5  27302  basellem8  27305  basellem9  27306  ppiub  27421  bposlem8  27508  dp2ltsuc  33277  dpmul10  33286  decdiv10  33287  dpmul100  33288  dp3mul10  33289  dpadd2  33301  dpadd  33302  dpadd3  33303  dpmul  33304  ballotth  34995  hgt750lem  35105  lcmeprodgcdi  42834  lcmineqlem23  42878  5ne0  43087  6ne0  43088  7ne0  43089  8ne0  43090  9ne0  43091  goldratmolem2  47683