Theorem nnne0i 12183

Description: A positive integer is nonzero (inference version). (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
nngt0.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
nnne0i	⊢ 𝐴 ≠ 0

Proof of Theorem nnne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nngt0.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nnrei 12152	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1	nngt0i 12182	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
4	2, 3	gt0ne0ii 11671	1 ⊢ 𝐴 ≠ 0

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  0cc0 11024  ℕcn 12143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144

This theorem is referenced by:  2ne0  12247  3ne0  12249  4ne0  12251  ef01bndlem  16107  cos01bnd  16109  3lcm2e6woprm  16540  6lcm4e12  16541  pockthi  16833  sincos3rdpi  26480  1cubrlem  26805  mcubic  26811  quart1cl  26818  quart1lem  26819  quart1  26820  log2tlbnd  26909  log2ublem1  26910  basellem5  27049  basellem8  27052  basellem9  27053  ppiub  27169  bposlem8  27256  dp2ltsuc  32916  dpmul10  32925  decdiv10  32926  dpmul100  32927  dp3mul10  32928  dpadd2  32940  dpadd  32941  dpadd3  32942  dpmul  32943  ballotth  34644  hgt750lem  34757  lcmeprodgcdi  42200  lcmineqlem23  42244  5ne0  42457  6ne0  42458  7ne0  42459  8ne0  42460  9ne0  42461