MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem7 15738
Description: Lemma for divalg 15742. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem7.1 𝐷 ∈ ℤ
divalglem7.2 𝐷 ≠ 0
Assertion
Ref Expression
divalglem7 ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))

Proof of Theorem divalglem7
StepHypRef Expression
1 oveq1 7152 . . . . 5 (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
21eleq1d 2894 . . . 4 (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → ((𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
32notbid 319 . . 3 (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → (¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
43imbi2d 342 . 2 (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → ((𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
5 neeq1 3075 . . 3 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 ≠ 0 ↔ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0))
6 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷)))
76oveq2d 7161 . . . . 5 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))))
87eleq1d 2894 . . . 4 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
98notbid 319 . . 3 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
105, 9imbi12d 346 . 2 (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝐾 ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
11 divalglem7.1 . . . 4 𝐷 ∈ ℤ
12 divalglem7.2 . . . 4 𝐷 ≠ 0
13 nnabscl 14673 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
1411, 12, 13mp2an 688 . . 3 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
15 0z 11980 . . . . 5 0 ∈ ℤ
16 0le0 11726 . . . . 5 0 ≤ 0
1714nngt0i 11664 . . . . 5 0 < (abs‘𝐷)
1814nnzi 11994 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
19 elfzm11 12966 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (abs‘𝐷))))
2015, 18, 19mp2an 688 . . . . 5 (0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (abs‘𝐷)))
2115, 16, 17, 20mpbir3an 1333 . . . 4 0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))
2221elimel 4530 . . 3 if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))
2315elimel 4530 . . 3 if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
2414, 22, 23divalglem6 15737 . 2 (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))
254, 10, 24dedth2h 4520 1 ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  cz 11969  ...cfz 12880  abscabs 14581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583
This theorem is referenced by:  divalglem8  15739
  Copyright terms: Public domain W3C validator