MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem7 16286
Description: Lemma for divalg 16290. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem7.1 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem7.2 ๐ท โ‰  0
Assertion
Ref Expression
divalglem7 ((๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))

Proof of Theorem divalglem7
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘‹ = if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))))
21eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘‹ = if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โ†’ ((๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
32notbid 318 . . 3 (๐‘‹ = if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โ†’ (ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
43imbi2d 341 . 2 (๐‘‹ = if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โ†’ ((๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))) โ†” (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))))
5 neeq1 3003 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†” if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ‰  0))
6 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท)))
76oveq2d 7374 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))))
87eleq1d 2819 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ ((if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
98notbid 318 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
105, 9imbi12d 345 . 2 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ ((๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))) โ†” (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ‰  0 โ†’ ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))))
11 divalglem7.1 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„ค
12 divalglem7.2 . . . 4 ๐ท โ‰  0
13 nnabscl 15216 . . . 4 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•)
1411, 12, 13mp2an 691 . . 3 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•
15 0z 12515 . . . . 5 0 โˆˆ โ„ค
16 0le0 12259 . . . . 5 0 โ‰ค 0
1714nngt0i 12197 . . . . 5 0 < (absโ€˜๐ท)
1814nnzi 12532 . . . . . 6 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค
19 elfzm11 13518 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค 0 โˆง 0 < (absโ€˜๐ท))))
2015, 18, 19mp2an 691 . . . . 5 (0 โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค 0 โˆง 0 < (absโ€˜๐ท)))
2115, 16, 17, 20mpbir3an 1342 . . . 4 0 โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))
2221elimel 4556 . . 3 if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))
2315elimel 4556 . . 3 if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โˆˆ โ„ค
2414, 22, 23divalglem6 16285 . 2 (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ‰  0 โ†’ ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))
254, 10, 24dedth2h 4546 1 ((๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  ifcif 4487   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  โ„คcz 12504  ...cfz 13430  abscabs 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127
This theorem is referenced by:  divalglem8  16287
  Copyright terms: Public domain W3C validator