MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem7 16349
Description: Lemma for divalg 16353. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem7.1 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem7.2 ๐ท โ‰  0
Assertion
Ref Expression
divalglem7 ((๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))

Proof of Theorem divalglem7
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . 5 (๐‘‹ = if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))))
21eleq1d 2812 . . . 4 (๐‘‹ = if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โ†’ ((๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
32notbid 318 . . 3 (๐‘‹ = if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โ†’ (ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
43imbi2d 340 . 2 (๐‘‹ = if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โ†’ ((๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))) โ†” (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))))
5 neeq1 2997 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†” if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ‰  0))
6 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท)))
76oveq2d 7421 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))))
87eleq1d 2812 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ ((if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
98notbid 318 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
105, 9imbi12d 344 . 2 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ ((๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))) โ†” (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ‰  0 โ†’ ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))))
11 divalglem7.1 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„ค
12 divalglem7.2 . . . 4 ๐ท โ‰  0
13 nnabscl 15278 . . . 4 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•)
1411, 12, 13mp2an 689 . . 3 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•
15 0z 12573 . . . . 5 0 โˆˆ โ„ค
16 0le0 12317 . . . . 5 0 โ‰ค 0
1714nngt0i 12255 . . . . 5 0 < (absโ€˜๐ท)
1814nnzi 12590 . . . . . 6 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค
19 elfzm11 13578 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค 0 โˆง 0 < (absโ€˜๐ท))))
2015, 18, 19mp2an 689 . . . . 5 (0 โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค 0 โˆง 0 < (absโ€˜๐ท)))
2115, 16, 17, 20mpbir3an 1338 . . . 4 0 โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))
2221elimel 4592 . . 3 if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))
2315elimel 4592 . . 3 if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โˆˆ โ„ค
2414, 22, 23divalglem6 16348 . 2 (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ‰  0 โ†’ ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))
254, 10, 24dedth2h 4582 1 ((๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  ifcif 4523   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562  ...cfz 13490  abscabs 15187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  divalglem8  16350
  Copyright terms: Public domain W3C validator