MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem7 16342
Description: Lemma for divalg 16346. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem7.1 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem7.2 ๐ท โ‰  0
Assertion
Ref Expression
divalglem7 ((๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))

Proof of Theorem divalglem7
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . . 5 (๐‘‹ = if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))))
21eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘‹ = if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โ†’ ((๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
32notbid 318 . . 3 (๐‘‹ = if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โ†’ (ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
43imbi2d 341 . 2 (๐‘‹ = if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โ†’ ((๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))) โ†” (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))))
5 neeq1 3004 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†” if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ‰  0))
6 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท)))
76oveq2d 7425 . . . . 5 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))))
87eleq1d 2819 . . . 4 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ ((if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
98notbid 318 . . 3 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ (ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
105, 9imbi12d 345 . 2 (๐พ = if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ†’ ((๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))) โ†” (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ‰  0 โ†’ ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))))
11 divalglem7.1 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„ค
12 divalglem7.2 . . . 4 ๐ท โ‰  0
13 nnabscl 15272 . . . 4 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•)
1411, 12, 13mp2an 691 . . 3 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•
15 0z 12569 . . . . 5 0 โˆˆ โ„ค
16 0le0 12313 . . . . 5 0 โ‰ค 0
1714nngt0i 12251 . . . . 5 0 < (absโ€˜๐ท)
1814nnzi 12586 . . . . . 6 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค
19 elfzm11 13572 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค 0 โˆง 0 < (absโ€˜๐ท))))
2015, 18, 19mp2an 691 . . . . 5 (0 โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค 0 โˆง 0 < (absโ€˜๐ท)))
2115, 16, 17, 20mpbir3an 1342 . . . 4 0 โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))
2221elimel 4598 . . 3 if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))
2315elimel 4598 . . 3 if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โˆˆ โ„ค
2414, 22, 23divalglem6 16341 . 2 (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) โ‰  0 โ†’ ยฌ (if(๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)), ๐‘‹, 0) + (if(๐พ โˆˆ โ„ค, ๐พ, 0) ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))
254, 10, 24dedth2h 4588 1 ((๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  ifcif 4529   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
This theorem is referenced by:  divalglem8  16343
  Copyright terms: Public domain W3C validator