Theorem divalglem7 16375

Description: Lemma for divalg 16379. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem7.1	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem7.2	⊢ 𝐷 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divalglem7	⊢ ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))

Proof of Theorem divalglem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2	1	eleq1d 2810	. . . 4 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → ((𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
3	2	notbid 317	. . 3 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → (¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4	3	imbi2d 339	. 2 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → ((𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
5		neeq1 2993	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 ≠ 0 ↔ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0))
6		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷)))
7	6	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))))
8	7	eleq1d 2810	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
9	8	notbid 317	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
10	5, 9	imbi12d 343	. 2 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝐾 ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
11		divalglem7.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
12		divalglem7.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ≠ 0
13		nnabscl 15304	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	mp2an 690	. . 3 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ
15		0z 12599	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		0le0 12343	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
17	14	nngt0i 12281	. . . . 5 ⊢ 0 < (abs‘𝐷)
18	14	nnzi 12616	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
19		elfzm11 13604	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (abs‘𝐷))))
20	15, 18, 19	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (abs‘𝐷)))
21	15, 16, 17, 20	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))
22	21	elimel 4593	. . 3 ⊢ if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))
23	15	elimel 4593	. . 3 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
24	14, 22, 23	divalglem6 16374	. 2 ⊢ (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))
25	4, 10, 24	dedth2h 4583	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ifcif 4524   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   < clt 11278   ≤ cle 11279   − cmin 11474  ℕcn 12242  ℤcz 12588  ...cfz 13516  abscabs 15213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215

This theorem is referenced by:  divalglem8  16376