Theorem divalglem7 16108

Description: Lemma for divalg 16112. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem7.1	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem7.2	⊢ 𝐷 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divalglem7	⊢ ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))

Proof of Theorem divalglem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2	1	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → ((𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
3	2	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → (¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4	3	imbi2d 341	. 2 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → ((𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
5		neeq1 3006	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 ≠ 0 ↔ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0))
6		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷)))
7	6	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))))
8	7	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
9	8	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
10	5, 9	imbi12d 345	. 2 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝐾 ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
11		divalglem7.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
12		divalglem7.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ≠ 0
13		nnabscl 15037	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	mp2an 689	. . 3 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ
15		0z 12330	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		0le0 12074	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
17	14	nngt0i 12012	. . . . 5 ⊢ 0 < (abs‘𝐷)
18	14	nnzi 12344	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
19		elfzm11 13327	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (abs‘𝐷))))
20	15, 18, 19	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (abs‘𝐷)))
21	15, 16, 17, 20	mpbir3an 1340	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))
22	21	elimel 4528	. . 3 ⊢ if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))
23	15	elimel 4528	. . 3 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
24	14, 22, 23	divalglem6 16107	. 2 ⊢ (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))
25	4, 10, 24	dedth2h 4518	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ...cfz 13239  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  divalglem8  16109