Theorem divalglem7 16447

Description: Lemma for divalg 16451. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem7.1	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem7.2	⊢ 𝐷 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divalglem7	⊢ ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))

Proof of Theorem divalglem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2	1	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → ((𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
3	2	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → (¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4	3	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → ((𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
5		neeq1 3009	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 ≠ 0 ↔ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0))
6		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷)))
7	6	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))))
8	7	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
9	8	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
10	5, 9	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝐾 ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
11		divalglem7.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
12		divalglem7.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ≠ 0
13		nnabscl 15374	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	mp2an 691	. . 3 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ
15		0z 12650	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		0le0 12394	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
17	14	nngt0i 12332	. . . . 5 ⊢ 0 < (abs‘𝐷)
18	14	nnzi 12667	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
19		elfzm11 13655	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (abs‘𝐷))))
20	15, 18, 19	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (abs‘𝐷)))
21	15, 16, 17, 20	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))
22	21	elimel 4617	. . 3 ⊢ if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))
23	15	elimel 4617	. . 3 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
24	14, 22, 23	divalglem6 16446	. 2 ⊢ (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))
25	4, 10, 24	dedth2h 4607	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ifcif 4548   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ...cfz 13567  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  divalglem8  16448