Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnoddm1d2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnoddm1d2 15735
 Description: A positive integer is odd iff its successor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnoddm1d2 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnoddm1d2
StepHypRef Expression
1 nnz 12001 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2 oddp1d2 15707 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4 peano2nn 11646 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
54nnred 11649 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6 2re 11708 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8 nnre 11641 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9 1red 10640 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
10 nngt0 11665 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
11 0lt1 11160 . . . . . . . . 9 0 < 1
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
138, 9, 10, 12addgt0d 11213 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
14 2pos 11737 . . . . . . . 8 0 < 2
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
165, 7, 13, 15divgt0d 11573 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 + 1) / 2))
1716anim1ci 618 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
18 elnnz 11988 . . . . 5 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
1917, 18sylibr 237 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ)
2019ex 416 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
21 nnz 12001 . . 3 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
2220, 21impbid1 228 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
233, 22bitrd 282 1 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  ℝcr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   < clt 10673   / cdiv 11295  ℕcn 11634  2c2 11689  ℤcz 11978   ∥ cdvds 15607 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-dvds 15608 This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0b  25948
 Copyright terms: Public domain W3C validator