Theorem gausslemma2dlem0b 25534

Description: Auxiliary lemma 2 for gausslemma2d 25551. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0a.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0b.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0b	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0b.h	. 2 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
2		gausslemma2dlem0a.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		eldifi 3955	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
4		prmuz2 15813	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
6		nnoddn2prm 15920	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
7		nnoddm1d2 15516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ))
8	7	biimpa 470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 11702	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
11	5, 10	jca 507	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
12	2, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
13		nno 15512	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
15	1, 14	syl5eqel 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3789  {csn 4398   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1c1 10273   + caddc 10275   − cmin 10606   / cdiv 11032  ℕcn 11374  2c2 11430  ℕ₀cn0 11642  ℤ_≥cuz 11992   ∥ cdvds 15387  ℙcprime 15790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-prm 15791

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0c  25535  gausslemma2dlem0h  25540  gausslemma2dlem1  25543  gausslemma2dlem2  25544  gausslemma2dlem6  25549  gausslemma2dlem7  25550  gausslemma2d  25551