Theorem gausslemma2dlem0b 25927

Description: Auxiliary lemma 2 for gausslemma2d 25944. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0a.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0b.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0b	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0b.h	. 2 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
2		gausslemma2dlem0a.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		eldifi 4102	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
4		prmuz2 16034	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
6		nnoddn2prm 16142	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
7		nnoddm1d2 15731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ))
8	7	biimpa 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 11949	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
11	5, 10	jca 514	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
12	2, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
13		nno 15727	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
15	1, 14	eqeltrid 2917	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3932  {csn 4560   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  1c1 10532   + caddc 10534   − cmin 10864   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  ℤ_≥cuz 12237   ∥ cdvds 15601  ℙcprime 16009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-prm 16010

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0c  25928  gausslemma2dlem0h  25933  gausslemma2dlem1  25936  gausslemma2dlem2  25937  gausslemma2dlem6  25942  gausslemma2dlem7  25943  gausslemma2d  25944  lgsquadlem1  25950  lgsquadlem2  25951  lgsquadlem3  25952