MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0b 27277
Description: Auxiliary lemma 2 for gausslemma2d 27294. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0a.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0b.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0b (𝜑𝐻 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0b
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem0b.h . 2 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
2 gausslemma2dlem0a.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3 eldifi 4122 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
4 prmuz2 16658 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
6 nnoddn2prm 16771 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
7 nnoddm1d2 16354 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ))
87biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ)
98nnnn0d 12554 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
106, 9syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
115, 10jca 511 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
122, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
13 nno 16350 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
151, 14eqeltrid 2832 1 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3941  {csn 4624   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11131   + caddc 11133  cmin 11466   / cdiv 11893  cn 12234  2c2 12289  0cn0 12494  cuz 12844  cdvds 16222  cprime 16633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-prm 16634
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0c  27278  gausslemma2dlem0h  27283  gausslemma2dlem1  27286  gausslemma2dlem2  27287  gausslemma2dlem6  27292  gausslemma2dlem7  27293  gausslemma2d  27294  lgsquadlem1  27300  lgsquadlem2  27301  lgsquadlem3  27302
  Copyright terms: Public domain W3C validator