MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeven 16269
Description: If every term in a sum is even, then so is the sum. (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sumeven.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
sumeven.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
sumeven.e ((𝜑𝑘𝐴) → 2 ∥ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumeven (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumeven
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 15573 . . 3 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21breq2d 5117 . 2 (𝑥 = ∅ → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3 sumeq1 15573 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
43breq2d 5117 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
5 sumeq1 15573 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
65breq2d 5117 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
7 sumeq1 15573 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
87breq2d 5117 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵))
9 z0even 16249 . . . 4 2 ∥ 0
10 sum0 15606 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
119, 10breqtrri 5132 . . 3 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
13 2z 12535 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 2 ∈ ℤ)
15 sumeven.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
16 ssfi 9117 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
1716expcom 414 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
1915, 18mpan9 507 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
20 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
21 ssel 3937 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
2322adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
2423imp 407 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
25 sumeven.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
2620, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
2719, 26fsumzcl 15620 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
28 eldifi 4086 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 𝑧𝐴)
2928adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑧𝐴)
3029adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
3125adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3231ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
33 rspcsbela 4395 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3430, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3514, 27, 343jca 1128 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
3635adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
37 sumeven.e . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 2 ∥ 𝐵)
3837ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 2 ∥ 𝐵)
39 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑘2
40 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑘
41 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
4239, 40, 41nfbr 5152 . . . . . . . . . 10 𝑘2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵
43 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
4443breq2d 5117 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑧 → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4542, 44rspc 3569 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4628, 38, 45syl2imc 41 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4746a1d 25 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)))
4847imp32 419 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)
4948anim1ci 616 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
50 dvds2add 16172 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
5136, 49, 50sylc 65 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
52 vex 3449 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
5352a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ V)
54 eldif 3920 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦))
55 df-nel 3050 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑦 ↔ ¬ 𝑧𝑦)
5655biimpri 227 . . . . . . . . 9 𝑧𝑦𝑧𝑦)
5754, 56simplbiim 505 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 𝑧𝑦)
5857adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑧𝑦)
5958adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝑦)
60 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
61 elun 4108 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}))
6222com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑦 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
63 elsni 4603 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ {𝑧} → 𝑘 = 𝑧)
64 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘𝐴𝑧𝐴))
6529, 64syl5ibr 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑧 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {𝑧} → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
6762, 66jaoi 855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
6867com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → ((𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
6961, 68biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
7069adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
7170imp 407 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐴)
7260, 71, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℤ)
7372ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
74 fsumsplitsnun 15640 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝑦) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7519, 53, 59, 73, 74syl121anc 1375 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7675adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7751, 76breqtrrd 5133 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
7877ex 413 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
792, 4, 6, 8, 12, 78, 15findcard2d 9110 1 (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wnel 3049  wral 3064  Vcvv 3445  csb 3855  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  0cc0 11051   + caddc 11054  2c2 12208  cz 12499  Σcsu 15570  cdvds 16136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137
This theorem is referenced by:  vtxdgoddnumeven  28501
  Copyright terms: Public domain W3C validator