Theorem sumeven 16330

Description: If every term in a sum is even, then so is the sum. (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumeven.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
sumeven.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
sumeven.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∥ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeven	⊢ (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumeven

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 15635	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	breq2d 5161	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3		sumeq1 15635	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
4	3	breq2d 5161	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
5		sumeq1 15635	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
6	5	breq2d 5161	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
7		sumeq1 15635	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
8	7	breq2d 5161	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
9		z0even 16310	. . . 4 ⊢ 2 ∥ 0
10		sum0 15667	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
11	9, 10	breqtrri 5176	. . 3 ⊢ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
13		2z 12594	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 2 ∈ ℤ)
15		sumeven.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
16		ssfi 9173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
17	16	expcom 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
18	17	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
19	15, 18	mpan9 508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
20		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
21		ssel 3976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
22	21	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
23	22	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
24	23	imp 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
25		sumeven.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	20, 24, 25	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	19, 26	fsumzcl 15681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
28		eldifi 4127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
29	28	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
30	29	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
31	25	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	31	ralrimiva 3147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
33		rspcsbela 4436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
34	30, 32, 33	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
35	14, 27, 34	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
36	35	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
37		sumeven.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∥ 𝐵)
38	37	ralrimiva 3147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 2 ∥ 𝐵)
39		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘2
40		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ∥
41		nfcsb1v 3919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
42	39, 40, 41	nfbr 5196	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
43		csbeq1a 3908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
44	43	breq2d 5161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
45	42, 44	rspc 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
46	28, 38, 45	syl2imc 41	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
47	46	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
48	47	imp32 420	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
49	48	anim1ci 617	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
50		dvds2add 16233	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
51	36, 49, 50	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
52		vex 3479	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ V)
54		eldif 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
55		df-nel 3048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∉ 𝑦 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
56	55	biimpri 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∉ 𝑦)
57	54, 56	simplbiim 506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∉ 𝑦)
58	57	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∉ 𝑦)
59	58	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∉ 𝑦)
60		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
61		elun 4149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}))
62	22	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
63		elsni 4646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧} → 𝑘 = 𝑧)
64		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
65	29, 64	imbitrrid 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧} → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
67	62, 66	jaoi 856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}) → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
68	67	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → ((𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
69	61, 68	biimtrid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
70	69	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
71	70	imp 408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
72	60, 71, 25	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℤ)
73	72	ralrimiva 3147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
74		fsumsplitsnun 15701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝑦) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
75	19, 53, 59, 73, 74	syl121anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
76	75	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
77	51, 76	breqtrrd 5177	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
78	77	ex 414	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
79	2, 4, 6, 8, 12, 78, 15	findcard2d 9166	1 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3047  ∀wral 3062  Vcvv 3475  ⦋csb 3894   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110   + caddc 11113  2c2 12267  ℤcz 12558  Σcsu 15632   ∥ cdvds 16197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198

This theorem is referenced by:  vtxdgoddnumeven  28841