Theorem sumeven 16446

Description: If every term in a sum is even, then so is the sum. (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumeven.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
sumeven.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
sumeven.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∥ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeven	⊢ (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumeven

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 15742	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	breq2d 5122	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3		sumeq1 15742	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
4	3	breq2d 5122	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
5		sumeq1 15742	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
6	5	breq2d 5122	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
7		sumeq1 15742	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
8	7	breq2d 5122	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
9		z0even 16426	. . . 4 ⊢ 2 ∥ 0
10		sum0 15774	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
11	9, 10	breqtrri 5139	. . 3 ⊢ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
13		2z 12627	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 2 ∈ ℤ)
15		sumeven.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
16		ssfi 9158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
17	16	expcom 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
18	17	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
19	15, 18	mpan9 515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
20		simpll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
21		ssel 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
23	22	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
24	23	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
25		sumeven.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	20, 24, 25	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	19, 26	fsumzcl 15788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
28		eldifi 4086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
29	28	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
30	29	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
31	25	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	31	ralrimiva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
33		rspcsbela 4404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
34	30, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
35	14, 27, 34	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
36	35	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
37		sumeven.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∥ 𝐵)
38	37	ralrimiva 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 2 ∥ 𝐵)
39		nfcv 2925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘2
40		nfcv 2925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ∥
41		nfcsb1v 3878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
42	39, 40, 41	nfbr 5159	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
43		csbeq1a 3868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
44	43	breq2d 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
45	42, 44	rspc 3570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
46	28, 38, 45	syl2imc 42	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
47	46	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
48	47	imp32 423	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
49	48	anim1ci 627	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
50		dvds2add 16349	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
51	36, 49, 50	sylc 66	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
52		vex 3459	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ V)
54		eldif 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
55		df-nel 3065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∉ 𝑦 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
56	55	biimpri 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∉ 𝑦)
57	54, 56	simplbiim 513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∉ 𝑦)
58	57	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∉ 𝑦)
59	58	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∉ 𝑦)
60		simpll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
61		elun 4108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}))
62	22	com12 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
63		elsni 4607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧} → 𝑘 = 𝑧)
64		eleq1w 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
65	29, 64	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
66	63, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧} → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
67	62, 66	jaoi 870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}) → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
68	67	com12 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → ((𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
69	61, 68	biimtrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
70	69	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
71	70	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
72	60, 71, 25	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℤ)
73	72	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
74		fsumsplitsnun 15808	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝑦) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
75	19, 53, 59, 73, 74	syl121anc 1402	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
76	75	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
77	51, 76	breqtrrd 5140	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
78	77	ex 417	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
79	2, 4, 6, 8, 12, 78, 15	findcard2d 9152	1 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3064  ∀wral 3079  Vcvv 3455  ⦋csb 3854   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  Fincfn 8944  0cc0 11101   + caddc 11104  2c2 12296  ℤcz 12592  Σcsu 15739   ∥ cdvds 16311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-dvds 16312

This theorem is referenced by:  vtxdgoddnumeven  29884