Theorem sumeven 16441

Description: If every term in a sum is even, then so is the sum. (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumeven.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
sumeven.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
sumeven.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∥ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeven	⊢ (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumeven

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 15736	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	breq2d 5122	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3		sumeq1 15736	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
4	3	breq2d 5122	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
5		sumeq1 15736	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
6	5	breq2d 5122	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
7		sumeq1 15736	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
8	7	breq2d 5122	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
9		z0even 16421	. . . 4 ⊢ 2 ∥ 0
10		sum0 15768	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
11	9, 10	breqtrri 5139	. . 3 ⊢ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
13		2z 12622	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 2 ∈ ℤ)
15		sumeven.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
16		ssfi 9153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
17	16	expcom 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
18	17	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
19	15, 18	mpan9 515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
20		simpll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
21		ssel 3939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
23	22	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
24	23	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
25		sumeven.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	20, 24, 25	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	19, 26	fsumzcl 15782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
28		eldifi 4093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
29	28	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
30	29	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
31	25	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	31	ralrimiva 3163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
33		rspcsbela 4401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
34	30, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
35	14, 27, 34	3jca 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
36	35	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
37		sumeven.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∥ 𝐵)
38	37	ralrimiva 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 2 ∥ 𝐵)
39		nfcv 2931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘2
40		nfcv 2931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ∥
41		nfcsb1v 3885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
42	39, 40, 41	nfbr 5159	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
43		csbeq1a 3875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
44	43	breq2d 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
45	42, 44	rspc 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
46	28, 38, 45	syl2imc 42	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
47	46	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
48	47	imp32 423	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
49	48	anim1ci 627	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
50		dvds2add 16344	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
51	36, 49, 50	sylc 66	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
52		vex 3467	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ V)
54		eldif 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
55		df-nel 3071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∉ 𝑦 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
56	55	biimpri 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∉ 𝑦)
57	54, 56	simplbiim 513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∉ 𝑦)
58	57	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∉ 𝑦)
59	58	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∉ 𝑦)
60		simpll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
61		elun 4115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}))
62	22	com12 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
63		elsni 4608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧} → 𝑘 = 𝑧)
64		eleq1w 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
65	29, 64	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
66	63, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧} → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
67	62, 66	jaoi 870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}) → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
68	67	com12 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → ((𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
69	61, 68	biimtrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
70	69	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
71	70	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
72	60, 71, 25	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℤ)
73	72	ralrimiva 3163	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
74		fsumsplitsnun 15802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝑦) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
75	19, 53, 59, 73, 74	syl121anc 1400	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
76	75	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
77	51, 76	breqtrrd 5140	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
78	77	ex 417	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
79	2, 4, 6, 8, 12, 78, 15	findcard2d 9147	1 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070  ∀wral 3085  Vcvv 3463  ⦋csb 3861   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4591   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  Fincfn 8939  0cc0 11096   + caddc 11099  2c2 12291  ℤcz 12587  Σcsu 15733   ∥ cdvds 16306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-dvds 16307

This theorem is referenced by:  vtxdgoddnumeven  29840