MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeven 16420
Description: If every term in a sum is even, then so is the sum. (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sumeven.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
sumeven.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
sumeven.e ((𝜑𝑘𝐴) → 2 ∥ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumeven (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumeven
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 15721 . . 3 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21breq2d 5159 . 2 (𝑥 = ∅ → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3 sumeq1 15721 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
43breq2d 5159 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
5 sumeq1 15721 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
65breq2d 5159 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
7 sumeq1 15721 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
87breq2d 5159 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵))
9 z0even 16400 . . . 4 2 ∥ 0
10 sum0 15753 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
119, 10breqtrri 5174 . . 3 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
13 2z 12646 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 2 ∈ ℤ)
15 sumeven.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
16 ssfi 9211 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
1716expcom 413 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
1915, 18mpan9 506 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
20 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
21 ssel 3988 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
2221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
2322adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
2423imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
25 sumeven.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
2620, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
2719, 26fsumzcl 15767 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
28 eldifi 4140 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 𝑧𝐴)
2928adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑧𝐴)
3029adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
3125adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3231ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
33 rspcsbela 4443 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3430, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3514, 27, 343jca 1127 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
3635adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
37 sumeven.e . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 2 ∥ 𝐵)
3837ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 2 ∥ 𝐵)
39 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑘2
40 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑘
41 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
4239, 40, 41nfbr 5194 . . . . . . . . . 10 𝑘2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵
43 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
4443breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑧 → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4542, 44rspc 3609 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4628, 38, 45syl2imc 41 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4746a1d 25 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)))
4847imp32 418 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)
4948anim1ci 616 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
50 dvds2add 16323 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
5136, 49, 50sylc 65 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
52 vex 3481 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
5352a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ V)
54 eldif 3972 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦))
55 df-nel 3044 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑦 ↔ ¬ 𝑧𝑦)
5655biimpri 228 . . . . . . . . 9 𝑧𝑦𝑧𝑦)
5754, 56simplbiim 504 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 𝑧𝑦)
5857adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑧𝑦)
5958adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝑦)
60 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
61 elun 4162 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}))
6222com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑦 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
63 elsni 4647 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ {𝑧} → 𝑘 = 𝑧)
64 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘𝐴𝑧𝐴))
6529, 64imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑧 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {𝑧} → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
6762, 66jaoi 857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
6867com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → ((𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
6961, 68biimtrid 242 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
7069adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
7170imp 406 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐴)
7260, 71, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℤ)
7372ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
74 fsumsplitsnun 15787 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝑦) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7519, 53, 59, 73, 74syl121anc 1374 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7675adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7751, 76breqtrrd 5175 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
7877ex 412 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
792, 4, 6, 8, 12, 78, 15findcard2d 9204 1 (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wnel 3043  wral 3058  Vcvv 3477  csb 3907  cdif 3959  cun 3960  wss 3962  c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  0cc0 11152   + caddc 11155  2c2 12318  cz 12610  Σcsu 15718  cdvds 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-dvds 16287
This theorem is referenced by:  vtxdgoddnumeven  29585
  Copyright terms: Public domain W3C validator