Theorem sumeven 15732

Description: If every term in a sum is even, then so is the sum. (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumeven.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
sumeven.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
sumeven.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∥ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumeven	⊢ (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumeven

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 15039	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	breq2d 5070	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3		sumeq1 15039	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
4	3	breq2d 5070	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
5		sumeq1 15039	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
6	5	breq2d 5070	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
7		sumeq1 15039	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
8	7	breq2d 5070	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
9		z0even 15710	. . . 4 ⊢ 2 ∥ 0
10		sum0 15072	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
11	9, 10	breqtrri 5085	. . 3 ⊢ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
13		2z 12008	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 2 ∈ ℤ)
15		sumeven.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
16		ssfi 8732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
17	16	expcom 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
18	17	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
19	15, 18	mpan9 509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
20		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
21		ssel 3960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
22	21	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
23	22	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
24	23	imp 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
25		sumeven.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	20, 24, 25	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	19, 26	fsumzcl 15086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
28		eldifi 4102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
29	28	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
30	29	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
31	25	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	31	ralrimiva 3182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
33		rspcsbela 4386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
34	30, 32, 33	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
35	14, 27, 34	3jca 1124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
36	35	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
37		sumeven.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 2 ∥ 𝐵)
38	37	ralrimiva 3182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 2 ∥ 𝐵)
39		nfcv 2977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘2
40		nfcv 2977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 ∥
41		nfcsb1v 3906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
42	39, 40, 41	nfbr 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
43		csbeq1a 3896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
44	43	breq2d 5070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
45	42, 44	rspc 3610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
46	28, 38, 45	syl2imc 41	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
47	46	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
48	47	imp32 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
49	48	anim1ci 617	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
50		dvds2add 15637	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)))
51	36, 49, 50	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
52		vex 3497	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ V)
54		eldif 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
55		df-nel 3124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∉ 𝑦 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
56	55	biimpri 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∉ 𝑦)
57	54, 56	simplbiim 507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑧 ∉ 𝑦)
58	57	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑧 ∉ 𝑦)
59	58	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∉ 𝑦)
60		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
61		elun 4124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}))
62	22	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑦 → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
63		elsni 4577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧} → 𝑘 = 𝑧)
64		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
65	29, 64	syl5ibr 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧} → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
67	62, 66	jaoi 853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}) → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑘 ∈ 𝐴))
68	67	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → ((𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
69	61, 68	syl5bi 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
70	69	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
71	70	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
72	60, 71, 25	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℤ)
73	72	ralrimiva 3182	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
74		fsumsplitsnun 15104	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝑦) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
75	19, 53, 59, 73, 74	syl121anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
76	75	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
77	51, 76	breqtrrd 5086	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
78	77	ex 415	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
79	2, 4, 6, 8, 12, 78, 15	findcard2d 8754	1 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3123  ∀wral 3138  Vcvv 3494  ⦋csb 3882   ∖ cdif 3932   ∪ cun 3933   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  {csn 4560   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  0cc0 10531   + caddc 10534  2c2 11686  ℤcz 11975  Σcsu 15036   ∥ cdvds 15601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-dvds 15602

This theorem is referenced by:  vtxdgoddnumeven  27329