Theorem nprmdvdsfacm1lem1 48080

Description: Lemma 1 for nprmdvdsfacm1 48084. (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmdvdsfacm1lem1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 𝑁 ∥ (𝐴 · (2 · 𝐴)))

Proof of Theorem nprmdvdsfacm1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12548	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		eluzelz 12787	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		dvdsmul2 16236	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
4	1, 2, 3	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
5	4	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
6		elfzoelz 13602	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12623	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		2cnd 12248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 2 ∈ ℂ)
9	7, 8, 7	mul12d 11344	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴 · (2 · 𝐴)) = (2 · (𝐴 · 𝐴)))
10	9	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → (𝐴 · (2 · 𝐴)) = (2 · (𝐴 · 𝐴)))
11		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 𝑁 = (𝐴↑2))
12	7	sqvald 14094	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
13	12	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
14	11, 13	eqtr2d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → (𝐴 · 𝐴) = 𝑁)
15	14	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → (2 · (𝐴 · 𝐴)) = (2 · 𝑁))
16	10, 15	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → (𝐴 · (2 · 𝐴)) = (2 · 𝑁))
17	5, 16	breqtrrd 5114	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 𝑁 ∥ (𝐴 · (2 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   · cmul 11032  2c2 12225  6c6 12229  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ..^cfzo 13597  ↑cexp 14012   ∥ cdvds 16210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-dvds 16211

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1lem4  48083