Theorem nprmdvdsfacm1lem1 48525

Description: Lemma 1 for nprmdvdsfacm1 48529. (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmdvdsfacm1lem1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 𝑁 ∥ (𝐴 · (2 · 𝐴)))

Proof of Theorem nprmdvdsfacm1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12653	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		eluzelz 12900	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		dvdsmul2 16372	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
5	4	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 𝑁 ∥ (2 · 𝑁))
6		elfzoelz 13716	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12729	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		2cnd 12346	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 2 ∈ ℂ)
9	7, 8, 7	mul12d 11446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴 · (2 · 𝐴)) = (2 · (𝐴 · 𝐴)))
10	9	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → (𝐴 · (2 · 𝐴)) = (2 · (𝐴 · 𝐴)))
11		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 𝑁 = (𝐴↑2))
12	7	sqvald 14209	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
14	11, 13	eqtr2d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → (𝐴 · 𝐴) = 𝑁)
15	14	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → (2 · (𝐴 · 𝐴)) = (2 · 𝑁))
16	10, 15	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → (𝐴 · (2 · 𝐴)) = (2 · 𝑁))
17	5, 16	breqtrrd 5137	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 𝑁 ∥ (𝐴 · (2 · 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   · cmul 11132  2c2 12322  6c6 12326  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ..^cfzo 13711  ↑cexp 14127   ∥ cdvds 16346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-dvds 16347

This theorem is used by:  nprmdvdsfacm1lem4  48528