Theorem 41prothprm 48082

Description: 41 is a Proth prime. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprm	⊢ (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem 41prothprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ;41
2	1	41prothprmlem2 48081	. 2 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
3		dfdec10 12647	. . 3 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
4		4t2e8 12344	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
5		4cn 12266	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
6		2cn 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcomi 11153	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
8	4, 7	eqtr3i 2761	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
9	8	oveq2i 7378	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = (5 · (2 · 4))
10		5cn 12269	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11	10, 6, 5	mulassi 11156	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) · 4) = (5 · (2 · 4))
12		5t2e10 12744	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
13	12	oveq1i 7377	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) · 4) = (;10 · 4)
14	9, 11, 13	3eqtr2i 2765	. . . . 5 ⊢ (5 · 8) = (;10 · 4)
15		cu2 14162	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
16	15	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ 8 = (2↑3)
17	16	oveq2i 7378	. . . . 5 ⊢ (5 · 8) = (5 · (2↑3))
18	14, 17	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ (;10 · 4) = (5 · (2↑3))
19	18	oveq1i 7377	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ((5 · (2↑3)) + 1)
20	1, 3, 19	3eqtri 2763	. 2 ⊢ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1))
22		3nn 12260	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 3 ∈ ℕ)
24		5nn 12267	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 ∈ ℕ)
26		5lt8 12370	. . . . . 6 ⊢ 5 < 8
27	26, 15	breqtrri 5112	. . . . 5 ⊢ 5 < (2↑3)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 < (2↑3))
29		3z 12560	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → 3 ∈ ℤ)
31		oveq1 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑((𝑃 − 1) / 2)))
32	31	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 3 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33	32	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
34	33	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑥 = 3) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35		id 22	. . . . . 6 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
36	30, 34, 35	rspcedvd 3566	. . . . 5 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
38	23, 25, 21, 28, 37	proththd 48077	. . 3 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
39	21, 38	jca 511	. 2 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
40	2, 20, 39	mp2an 693	1 ⊢ (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  8c8 12242  ℤcz 12524  ;cdc 12644   mod cmo 13828  ↑cexp 14023  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-odz 16735  df-phi 16736  df-pc 16808

This theorem is referenced by: (None)