Theorem 41prothprm 48181

Description: 41 is a Proth prime. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprm	⊢ (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem 41prothprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ;41
2	1	41prothprmlem2 48180	. 2 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
3		dfdec10 12686	. . 3 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
4		4t2e8 12381	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
5		4cn 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
6		2cn 12288	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcomi 11185	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
8	4, 7	eqtr3i 2786	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
9	8	oveq2i 7401	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = (5 · (2 · 4))
10		5cn 12301	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11	10, 6, 5	mulassi 11188	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) · 4) = (5 · (2 · 4))
12		5t2e10 12788	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
13	12	oveq1i 7400	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) · 4) = (;10 · 4)
14	9, 11, 13	3eqtr2i 2790	. . . . 5 ⊢ (5 · 8) = (;10 · 4)
15		cu2 14208	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
16	15	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ 8 = (2↑3)
17	16	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (5 · 8) = (5 · (2↑3))
18	14, 17	eqtr3i 2786	. . . 4 ⊢ (;10 · 4) = (5 · (2↑3))
19	18	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ((5 · (2↑3)) + 1)
20	1, 3, 19	3eqtri 2788	. 2 ⊢ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)
21		simpr 488	. . 3 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1))
22		3nn 12292	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 3 ∈ ℕ)
24		5nn 12299	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 ∈ ℕ)
26		5lt8 12409	. . . . . 6 ⊢ 5 < 8
27	26, 15	breqtrri 5126	. . . . 5 ⊢ 5 < (2↑3)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 < (2↑3))
29		3z 12599	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → 3 ∈ ℤ)
31		oveq1 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑((𝑃 − 1) / 2)))
32	31	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 3 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33	32	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
34	33	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑥 = 3) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35		id 22	. . . . . 6 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
36	30, 34, 35	rspcedvd 3583	. . . . 5 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
37	36	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
38	23, 25, 21, 28, 37	proththd 48176	. . 3 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
39	21, 38	jca 519	. 2 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
40	2, 20, 39	mp2an 702	1 ⊢ (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   class class class wbr 5099  (class class class)co 7390  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11211   − cmin 11409  -cneg 11410   / cdiv 11839  ℕcn 12205  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  8c8 12273  ℤcz 12563  ;cdc 12683   mod cmo 13874  ↑cexp 14069  ℙcprime 16686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9383  df-inf 9384  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11840  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12477  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12684  df-uz 12835  df-q 12945  df-rp 12989  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14010  df-exp 14070  df-hash 14339  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-dvds 16268  df-gcd 16510  df-prm 16687  df-odz 16781  df-phi 16782  df-pc 16854

This theorem is referenced by: (None)