Theorem 41prothprm 48253

Description: 41 is a Proth prime. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprm	⊢ (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem 41prothprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ;41
2	1	41prothprmlem2 48252	. 2 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
3		dfdec10 12710	. . 3 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
4		4t2e8 12405	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
5		4cn 12322	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
6		2cn 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcomi 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
8	4, 7	eqtr3i 2794	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
9	8	oveq2i 7419	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = (5 · (2 · 4))
10		5cn 12325	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11	10, 6, 5	mulassi 11216	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) · 4) = (5 · (2 · 4))
12		5t2e10 12812	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
13	12	oveq1i 7418	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) · 4) = (;10 · 4)
14	9, 11, 13	3eqtr2i 2798	. . . . 5 ⊢ (5 · 8) = (;10 · 4)
15		cu2 14232	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
16	15	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ 8 = (2↑3)
17	16	oveq2i 7419	. . . . 5 ⊢ (5 · 8) = (5 · (2↑3))
18	14, 17	eqtr3i 2794	. . . 4 ⊢ (;10 · 4) = (5 · (2↑3))
19	18	oveq1i 7418	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ((5 · (2↑3)) + 1)
20	1, 3, 19	3eqtri 2796	. 2 ⊢ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)
21		simpr 489	. . 3 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1))
22		3nn 12316	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 3 ∈ ℕ)
24		5nn 12323	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 ∈ ℕ)
26		5lt8 12433	. . . . . 6 ⊢ 5 < 8
27	26, 15	breqtrri 5139	. . . . 5 ⊢ 5 < (2↑3)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 < (2↑3))
29		3z 12623	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → 3 ∈ ℤ)
31		oveq1 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑((𝑃 − 1) / 2)))
32	31	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 3 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33	32	eqeq1d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
34	33	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑥 = 3) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35		id 23	. . . . . 6 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
36	30, 34, 35	rspcedvd 3592	. . . . 5 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
37	36	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
38	23, 25, 21, 28, 37	proththd 48248	. . 3 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
39	21, 38	jca 520	. 2 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
40	2, 20, 39	mp2an 704	1 ⊢ (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   < clt 11239   − cmin 11437  -cneg 11438   / cdiv 11867  ℕcn 12229  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  8c8 12297  ℤcz 12587  ;cdc 12707   mod cmo 13898  ↑cexp 14093  ℙcprime 16725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-prm 16726  df-odz 16820  df-phi 16821  df-pc 16893

This theorem is referenced by: (None)