Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  41prothprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 41prothprm 43292
Description: 41 is a Proth prime. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
41prothprm.p 𝑃 = 41
Assertion
Ref Expression
41prothprm (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem 41prothprm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 41prothprm.p . . 3 𝑃 = 41
2141prothprmlem2 43291 . 2 ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
3 dfdec10 11955 . . 3 41 = ((10 · 4) + 1)
4 4t2e8 11658 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
5 4cn 11575 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
6 2cn 11565 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
75, 6mulcomi 10500 . . . . . . . 8 (4 · 2) = (2 · 4)
84, 7eqtr3i 2821 . . . . . . 7 8 = (2 · 4)
98oveq2i 7032 . . . . . 6 (5 · 8) = (5 · (2 · 4))
10 5cn 11578 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
1110, 6, 5mulassi 10503 . . . . . 6 ((5 · 2) · 4) = (5 · (2 · 4))
12 5t2e10 12053 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
1312oveq1i 7031 . . . . . 6 ((5 · 2) · 4) = (10 · 4)
149, 11, 133eqtr2i 2825 . . . . 5 (5 · 8) = (10 · 4)
15 cu2 13418 . . . . . . 7 (2↑3) = 8
1615eqcomi 2804 . . . . . 6 8 = (2↑3)
1716oveq2i 7032 . . . . 5 (5 · 8) = (5 · (2↑3))
1814, 17eqtr3i 2821 . . . 4 (10 · 4) = (5 · (2↑3))
1918oveq1i 7031 . . 3 ((10 · 4) + 1) = ((5 · (2↑3)) + 1)
201, 3, 193eqtri 2823 . 2 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)
21 simpr 485 . . 3 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1))
22 3nn 11569 . . . . 5 3 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . 4 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 3 ∈ ℕ)
24 5nn 11576 . . . . 5 5 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . 4 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 ∈ ℕ)
26 5lt8 11684 . . . . . 6 5 < 8
2726, 15breqtrri 4993 . . . . 5 5 < (2↑3)
2827a1i 11 . . . 4 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 < (2↑3))
29 3z 11869 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
3029a1i 11 . . . . . 6 (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → 3 ∈ ℤ)
31 oveq1 7028 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 3 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑((𝑃 − 1) / 2)))
3231oveq1d 7036 . . . . . . . 8 (𝑥 = 3 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
3332eqeq1d 2797 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
3433adantl 482 . . . . . 6 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑥 = 3) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35 id 22 . . . . . 6 (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
3630, 34, 35rspcedvd 3566 . . . . 5 (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
3736adantr 481 . . . 4 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
3823, 25, 21, 28, 37proththd 43287 . . 3 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
3921, 38jca 512 . 2 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
402, 20, 39mp2an 688 1 (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wrex 3106   class class class wbr 4966  (class class class)co 7021  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   · cmul 10393   < clt 10526  cmin 10722  -cneg 10723   / cdiv 11150  cn 11491  2c2 11545  3c3 11546  4c4 11547  5c5 11548  8c8 11551  cz 11834  cdc 11952   mod cmo 13092  cexp 13284  cprime 15849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-inf 8758  df-dju 9181  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-xnn0 11821  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-mod 13093  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-dvds 15446  df-gcd 15682  df-prm 15850  df-odz 15936  df-phi 15937  df-pc 16008
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator