Theorem 41prothprm 48977

Description: 41 is a Proth prime. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprm	⊢ (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem 41prothprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ;41
2	1	41prothprmlem2 48976	. 2 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)
3		dfdec10 12857	. . 3 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
4		4t2e8 12551	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
5		4cn 12468	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
6		2cn 12458	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcomi 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
8	4, 7	eqtr3i 2788	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
9	8	oveq2i 7462	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = (5 · (2 · 4))
10		5cn 12471	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11	10, 6, 5	mulassi 11359	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) · 4) = (5 · (2 · 4))
12		5t2e10 12959	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
13	12	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) · 4) = (;10 · 4)
14	9, 11, 13	3eqtr2i 2792	. . . . 5 ⊢ (5 · 8) = (;10 · 4)
15		cu2 14383	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
16	15	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ 8 = (2↑3)
17	16	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ (5 · 8) = (5 · (2↑3))
18	14, 17	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ (;10 · 4) = (5 · (2↑3))
19	18	oveq1i 7461	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ((5 · (2↑3)) + 1)
20	1, 3, 19	3eqtri 2790	. 2 ⊢ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)
21		simpr 490	. . 3 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1))
22		3nn 12462	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 3 ∈ ℕ)
24		5nn 12469	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 ∈ ℕ)
26		5lt8 12579	. . . . . 6 ⊢ 5 < 8
27	26, 15	breqtrri 5138	. . . . 5 ⊢ 5 < (2↑3)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 < (2↑3))
29		3z 12769	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → 3 ∈ ℤ)
31		oveq1 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑((𝑃 − 1) / 2)))
32	31	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 3 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33	32	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)))
34	33	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑥 = 3) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)))
35		id 23	. . . . . 6 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))
36	30, 34, 35	rspcedvd 3582	. . . . 5 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))
38	23, 25, 21, 28, 37	proththd 48972	. . 3 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
39	21, 38	jca 521	. 2 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
40	2, 20, 39	mp2an 705	1 ⊢ (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  8c8 12443  ℤcz 12733  ;cdc 12854   mod cmo 14049  ↑cexp 14244  ℙcprime 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-prm 16891  df-odz 16986  df-phi 16987  df-pc 17059

This theorem is used by: (None)