Theorem 41prothprm 48798

Description: 41 is a Proth prime. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprm	⊢ (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem 41prothprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ;41
2	1	41prothprmlem2 48797	. 2 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)
3		dfdec10 12821	. . 3 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
4		4t2e8 12515	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
5		4cn 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
6		2cn 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcomi 11321	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
8	4, 7	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
9	8	oveq2i 7432	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = (5 · (2 · 4))
10		5cn 12435	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11	10, 6, 5	mulassi 11324	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) · 4) = (5 · (2 · 4))
12		5t2e10 12923	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
13	12	oveq1i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) · 4) = (;10 · 4)
14	9, 11, 13	3eqtr2i 2789	. . . . 5 ⊢ (5 · 8) = (;10 · 4)
15		cu2 14347	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
16	15	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ 8 = (2↑3)
17	16	oveq2i 7432	. . . . 5 ⊢ (5 · 8) = (5 · (2↑3))
18	14, 17	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ (;10 · 4) = (5 · (2↑3))
19	18	oveq1i 7431	. . 3 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ((5 · (2↑3)) + 1)
20	1, 3, 19	3eqtri 2787	. 2 ⊢ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)
21		simpr 490	. . 3 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1))
22		3nn 12426	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 3 ∈ ℕ)
24		5nn 12433	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 ∈ ℕ)
26		5lt8 12543	. . . . . 6 ⊢ 5 < 8
27	26, 15	breqtrri 5131	. . . . 5 ⊢ 5 < (2↑3)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 < (2↑3))
29		3z 12733	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → 3 ∈ ℤ)
31		oveq1 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 3 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑((𝑃 − 1) / 2)))
32	31	oveq1d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 3 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33	32	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 3 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)))
34	33	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑥 = 3) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)))
35		id 23	. . . . . 6 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))
36	30, 34, 35	rspcedvd 3578	. . . . 5 ⊢ (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))
38	23, 25, 21, 28, 37	proththd 48793	. . 3 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
39	21, 38	jca 521	. 2 ⊢ ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
40	2, 20, 39	mp2an 705	1 ⊢ (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   < clt 11347   − cmin 11545   -cneg 11546   / cdiv 11977  ℕcn 12339  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  5c5 12404  8c8 12407  ℤcz 12697  ;cdc 12818   mod cmo 14013  ↑cexp 14208  ℙcprime 16852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-prm 16853  df-odz 16948  df-phi 16949  df-pc 17021

This theorem is used by: (None)