Theorem nprmdvdsfacm1lem2 48401

Description: Lemma 2 for nprmdvdsfacm1 48404. (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmdvdsfacm1lem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 3 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nprmdvdsfacm1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12874	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
2		breq2 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝐴↑2) → (6 ≤ 𝑁 ↔ 6 ≤ (𝐴↑2)))
3	2	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (𝐴↑2) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → (6 ≤ 𝑁 ↔ 6 ≤ (𝐴↑2)))
4		elfzo2 13697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁))
5		eluz2 12874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
6		2re 12321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
8		zre 12601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	leloed 11359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝐴 ↔ (2 < 𝐴 ∨ 2 = 𝐴)))
10		df-3 12310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 = (2 + 1)
11		2z 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
13		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
14	12, 13	zltp1led 12655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴))
15	14	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → (2 + 1) ≤ 𝐴)
16	10, 15	eqbrtrid 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 3 ≤ 𝐴)
17	16	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
18	17	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
19		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 = 𝐴 → (2↑2) = (𝐴↑2))
20	19	breq2d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 = 𝐴 → (6 ≤ (2↑2) ↔ 6 ≤ (𝐴↑2)))
21		sq2 14240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2↑2) = 4
22	21	breq2i 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (6 ≤ (2↑2) ↔ 6 ≤ 4)
23		4lt6 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 4 < 6
24		4re 12331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℝ
25		6re 12337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	24, 25	ltnlei 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 < 6 ↔ ¬ 6 ≤ 4)
27	23, 26	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ 6 ≤ 4
28	27	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (6 ≤ 4 → 3 ≤ 𝐴)
29	22, 28	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (6 ≤ (2↑2) → 3 ≤ 𝐴)
30	20, 29	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 = 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 = 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
32	18, 31	jaod 872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((2 < 𝐴 ∨ 2 = 𝐴) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
33	9, 32	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))))
35	34	3imp 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
36	5, 35	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
37	36	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
38	4, 37	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
39	38	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (𝐴↑2) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
40	3, 39	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (𝐴↑2) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → (6 ≤ 𝑁 → 3 ≤ 𝐴))
41	40	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝐴↑2) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (6 ≤ 𝑁 → 3 ≤ 𝐴)))
42	41	com13 89	. . . 4 ⊢ (6 ≤ 𝑁 → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
43	42	3ad2ant3 1152	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
44	1, 43	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
45	44	3imp 1127	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 3 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250  2c2 12301  3c3 12302  4c4 12303  6c6 12305  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ..^cfzo 13689  ↑cexp 14104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105

This theorem is used by:  nprmdvdsfacm1lem3  48402  nprmdvdsfacm1lem4  48403