Theorem nprmdvdsfacm1lem2 48100

Description: Lemma 2 for nprmdvdsfacm1 48103. (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmdvdsfacm1lem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 3 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nprmdvdsfacm1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12792	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
2		breq2 5083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝐴↑2) → (6 ≤ 𝑁 ↔ 6 ≤ (𝐴↑2)))
3	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (𝐴↑2) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → (6 ≤ 𝑁 ↔ 6 ≤ (𝐴↑2)))
4		elfzo2 13614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁))
5		eluz2 12792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
6		2re 12253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
8		zre 12526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	leloed 11287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝐴 ↔ (2 < 𝐴 ∨ 2 = 𝐴)))
10		df-3 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 = (2 + 1)
11		2z 12557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
13		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
14	12, 13	zltp1led 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴))
15	14	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → (2 + 1) ≤ 𝐴)
16	10, 15	eqbrtrid 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 3 ≤ 𝐴)
17	16	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
18	17	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
19		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 = 𝐴 → (2↑2) = (𝐴↑2))
20	19	breq2d 5091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 = 𝐴 → (6 ≤ (2↑2) ↔ 6 ≤ (𝐴↑2)))
21		sq2 14157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2↑2) = 4
22	21	breq2i 5087	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (6 ≤ (2↑2) ↔ 6 ≤ 4)
23		4lt6 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 4 < 6
24		4re 12263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℝ
25		6re 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	24, 25	ltnlei 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 < 6 ↔ ¬ 6 ≤ 4)
27	23, 26	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ 6 ≤ 4
28	27	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (6 ≤ 4 → 3 ≤ 𝐴)
29	22, 28	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (6 ≤ (2↑2) → 3 ≤ 𝐴)
30	20, 29	biimtrrdi 255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 = 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 = 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
32	18, 31	jaod 865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((2 < 𝐴 ∨ 2 = 𝐴) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
33	9, 32	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))))
35	34	3imp 1116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
36	5, 35	sylbi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
37	36	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
38	4, 37	sylbi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
39	38	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (𝐴↑2) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
40	3, 39	sylbid 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (𝐴↑2) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → (6 ≤ 𝑁 → 3 ≤ 𝐴))
41	40	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝐴↑2) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (6 ≤ 𝑁 → 3 ≤ 𝐴)))
42	41	com13 88	. . . 4 ⊢ (6 ≤ 𝑁 → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
43	42	3ad2ant3 1141	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
44	1, 43	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
45	44	3imp 1116	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 3 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178  2c2 12234  3c3 12235  4c4 12236  6c6 12238  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ..^cfzo 13606  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1lem3  48101  nprmdvdsfacm1lem4  48102