Theorem nprmdvdsfacm1lem2 48078

Description: Lemma 2 for nprmdvdsfacm1 48081. (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmdvdsfacm1lem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 3 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nprmdvdsfacm1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12794	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
2		breq2 5090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝐴↑2) → (6 ≤ 𝑁 ↔ 6 ≤ (𝐴↑2)))
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (𝐴↑2) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → (6 ≤ 𝑁 ↔ 6 ≤ (𝐴↑2)))
4		elfzo2 13616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁))
5		eluz2 12794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
6		2re 12255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
8		zre 12528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	leloed 11289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝐴 ↔ (2 < 𝐴 ∨ 2 = 𝐴)))
10		df-3 12245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 = (2 + 1)
11		2z 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
13		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
14	12, 13	zltp1led 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴))
15	14	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → (2 + 1) ≤ 𝐴)
16	10, 15	eqbrtrid 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 3 ≤ 𝐴)
17	16	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
18	17	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
19		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 = 𝐴 → (2↑2) = (𝐴↑2))
20	19	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 = 𝐴 → (6 ≤ (2↑2) ↔ 6 ≤ (𝐴↑2)))
21		sq2 14159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2↑2) = 4
22	21	breq2i 5094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (6 ≤ (2↑2) ↔ 6 ≤ 4)
23		4lt6 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 4 < 6
24		4re 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℝ
25		6re 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	24, 25	ltnlei 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 < 6 ↔ ¬ 6 ≤ 4)
27	23, 26	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ 6 ≤ 4
28	27	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (6 ≤ 4 → 3 ≤ 𝐴)
29	22, 28	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (6 ≤ (2↑2) → 3 ≤ 𝐴)
30	20, 29	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 = 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 = 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
32	18, 31	jaod 860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((2 < 𝐴 ∨ 2 = 𝐴) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
33	9, 32	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))))
35	34	3imp 1111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
36	5, 35	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
37	36	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
38	4, 37	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
39	38	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (𝐴↑2) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
40	3, 39	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (𝐴↑2) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → (6 ≤ 𝑁 → 3 ≤ 𝐴))
41	40	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝐴↑2) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (6 ≤ 𝑁 → 3 ≤ 𝐴)))
42	41	com13 88	. . . 4 ⊢ (6 ≤ 𝑁 → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
43	42	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
44	1, 43	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
45	44	3imp 1111	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 3 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  6c6 12240  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1lem3  48079  nprmdvdsfacm1lem4  48080