Theorem nprmdvdsfacm1lem2 48628

Description: Lemma 2 for nprmdvdsfacm1 48631. (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmdvdsfacm1lem2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 3 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nprmdvdsfacm1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12941	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
2		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝐴↑2) → (6 ≤ 𝑁 ↔ 6 ≤ (𝐴↑2)))
3	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (𝐴↑2) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → (6 ≤ 𝑁 ↔ 6 ≤ (𝐴↑2)))
4		elfzo2 13765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁))
5		eluz2 12941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
6		2re 12387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
8		zre 12667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	leloed 11425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝐴 ↔ (2 < 𝐴 ∨ 2 = 𝐴)))
10		df-3 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 = (2 + 1)
11		2z 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
13		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
14	12, 13	zltp1led 12721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 ↔ (2 + 1) ≤ 𝐴))
15	14	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → (2 + 1) ≤ 𝐴)
16	10, 15	eqbrtrid 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → 3 ≤ 𝐴)
17	16	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝐴) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
18	17	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 < 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
19		oveq1 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 = 𝐴 → (2↑2) = (𝐴↑2))
20	19	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 = 𝐴 → (6 ≤ (2↑2) ↔ 6 ≤ (𝐴↑2)))
21		sq2 14309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2↑2) = 4
22	21	breq2i 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (6 ≤ (2↑2) ↔ 6 ≤ 4)
23		4lt6 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 4 < 6
24		4re 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℝ
25		6re 12403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 6 ∈ ℝ
26	24, 25	ltnlei 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 < 6 ↔ ¬ 6 ≤ 4)
27	23, 26	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ 6 ≤ 4
28	27	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (6 ≤ 4 → 3 ≤ 𝐴)
29	22, 28	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (6 ≤ (2↑2) → 3 ≤ 𝐴)
30	20, 29	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 = 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 = 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
32	18, 31	jaod 873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((2 < 𝐴 ∨ 2 = 𝐴) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
33	9, 32	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝐴 → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))))
35	34	3imp 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
36	5, 35	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
37	36	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
38	4, 37	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
39	38	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = (𝐴↑2) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → (6 ≤ (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴))
40	3, 39	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = (𝐴↑2) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → (6 ≤ 𝑁 → 3 ≤ 𝐴))
41	40	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (𝐴↑2) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (6 ≤ 𝑁 → 3 ≤ 𝐴)))
42	41	com13 89	. . . 4 ⊢ (6 ≤ 𝑁 → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
43	42	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
44	1, 43	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝐴↑2) → 3 ≤ 𝐴)))
45	44	3imp 1128	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝐴↑2)) → 3 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11171  1c1 11173   + caddc 11175   < clt 11315   ≤ cle 11316  2c2 12367  3c3 12368  4c4 12369  6c6 12371  ℤcz 12663  ℤ_≥cuz 12935  ..^cfzo 13757  ↑cexp 14173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-exp 14174

This theorem is used by:  nprmdvdsfacm1lem3  48629  nprmdvdsfacm1lem4  48630