Theorem nprmdvdsfacm1 48631

Description: A non-prime integer greater than 5 divides the factorial of the integer decreased by 1 (see remark in [Ribenboim] p. 181). Note: not valid for 𝑁 = 4, but for 𝑁 = 1! (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmdvdsfacm1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem nprmdvdsfacm1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12700	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		6nn 12402	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12690	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℤ
4		4re 12397	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		6re 12403	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
6		4lt6 12497	. . . . . . . 8 ⊢ 4 < 6
7	4, 5, 6	ltleii 11405	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≤ 6
8		eluz2 12941	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 6))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘4)
10		uzss 12958	. . . . . 6 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘4) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘4))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘4)
12	11	sseli 3926	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘4))
13		nprmmul3 48533	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
15		elfzo2nn 48321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℕ)
16	15	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑎 ∈ ℕ)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℕ)
18		elfzo2nn 48321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℕ)
19	18	ad2antll 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑏 ∈ ℕ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℕ)
21		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 < 𝑏)
22		elfzo1 13816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^𝑏) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 < 𝑏))
23	17, 20, 21, 22	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (1..^𝑏))
24		2eluzge1 12979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
25		fzoss1 13790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁)
27	26	sseli 3926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
28	27	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
30		muldvdsfacm1 48379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (1..^𝑏) ∧ 𝑏 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
31	23, 29, 30	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
32		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
33	32	ad2antll 742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
34	31, 33	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
35	34	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
36	35	rexlimdvva 3219	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
37		nprmdvdsfacm1lem4 48630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
38	37	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
39	38	rexlimdva 3163	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
40	36, 39	jaod 873	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → ((∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
41	14, 40	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
42	41	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3061  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  1c1 11173   · cmul 11177   < clt 11315   ≤ cle 11316   − cmin 11513  ℕcn 12305  2c2 12367  4c4 12369  6c6 12371  ℤcz 12663  ℤ_≥cuz 12935  ..^cfzo 13757  ↑cexp 14173  !cfa 14385   ∥ cdvds 16390  ℙcprime 16809

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-exp 14174  df-fac 14386  df-bc 14415  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-dvds 16391  df-prm 16810

This theorem is used by:  ppivalnnnprmge6  48633