Theorem nprmdvdsfacm1 48103

Description: A non-prime integer greater than 5 divides the factorial of the integer decreased by 1 (see remark in [Ribenboim] p. 181). Note: not valid for 𝑁 = 4, but for 𝑁 = 1! (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmdvdsfacm1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem nprmdvdsfacm1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12559	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		6nn 12268	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12549	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℤ
4		4re 12263	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		6re 12269	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
6		4lt6 12356	. . . . . . . 8 ⊢ 4 < 6
7	4, 5, 6	ltleii 11267	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≤ 6
8		eluz2 12792	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 6))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1348	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘4)
10		uzss 12809	. . . . . 6 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘4) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘4))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘4)
12	11	sseli 3918	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘4))
13		nprmmul3 48005	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
15		elfzo2nn 47793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℕ)
16	15	ad2antrl 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑎 ∈ ℕ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℕ)
18		elfzo2nn 47793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℕ)
19	18	ad2antll 735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑏 ∈ ℕ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℕ)
21		simprl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 < 𝑏)
22		elfzo1 13665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^𝑏) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 < 𝑏))
23	17, 20, 21, 22	syl3anbrc 1350	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (1..^𝑏))
24		2eluzge1 12830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
25		fzoss1 13639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁)
27	26	sseli 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
28	27	ad2antll 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
29	28	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
30		muldvdsfacm1 47851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (1..^𝑏) ∧ 𝑏 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
31	23, 29, 30	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
32		breq1 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
33	32	ad2antll 735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
34	31, 33	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
35	34	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
36	35	rexlimdvva 3197	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
37		nprmdvdsfacm1lem4 48102	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
38	37	3expia 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
39	38	rexlimdva 3141	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
40	36, 39	jaod 865	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → ((∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
41	14, 40	sylbid 241	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
42	41	imp 407	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3039  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  1c1 11037   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕcn 12172  2c2 12234  4c4 12236  6c6 12238  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ..^cfzo 13606  ↑cexp 14021  !cfa 14233   ∥ cdvds 16219  ℙcprime 16638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-prm 16639

This theorem is referenced by:  ppivalnnnprmge6  48105