Theorem nprmdvdsfacm1 48084

Description: A non-prime integer greater than 5 divides the factorial of the integer decreased by 1 (see remark in [Ribenboim] p. 181). Note: not valid for 𝑁 = 4, but for 𝑁 = 1! (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmdvdsfacm1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem nprmdvdsfacm1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12550	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		6nn 12259	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12540	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℤ
4		4re 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		6re 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
6		4lt6 12347	. . . . . . . 8 ⊢ 4 < 6
7	4, 5, 6	ltleii 11258	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≤ 6
8		eluz2 12783	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 6))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1343	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘4)
10		uzss 12800	. . . . . 6 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘4) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘4))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘4)
12	11	sseli 3918	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘4))
13		nprmmul3 47986	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
15		elfzo2nn 47774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℕ)
16	15	ad2antrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑎 ∈ ℕ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℕ)
18		elfzo2nn 47774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℕ)
19	18	ad2antll 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑏 ∈ ℕ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℕ)
21		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 < 𝑏)
22		elfzo1 13656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^𝑏) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 < 𝑏))
23	17, 20, 21, 22	syl3anbrc 1345	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (1..^𝑏))
24		2eluzge1 12821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
25		fzoss1 13630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁)
27	26	sseli 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
28	27	ad2antll 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
30		muldvdsfacm1 47832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (1..^𝑏) ∧ 𝑏 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
31	23, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
32		breq1 5089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
33	32	ad2antll 730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
34	31, 33	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
35	34	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
36	35	rexlimdvva 3195	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
37		nprmdvdsfacm1lem4 48083	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
38	37	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
39	38	rexlimdva 3139	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
40	36, 39	jaod 860	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → ((∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
41	14, 40	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
42	41	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1c1 11028   · cmul 11032   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℕcn 12163  2c2 12225  4c4 12227  6c6 12229  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ..^cfzo 13597  ↑cexp 14012  !cfa 14224   ∥ cdvds 16210  ℙcprime 16629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16211  df-prm 16630

This theorem is referenced by:  ppivalnnnprmge6  48086