Theorem nprmdvdsfacm1 48404

Description: A non-prime integer greater than 5 divides the factorial of the integer decreased by 1 (see remark in [Ribenboim] p. 181). Note: not valid for 𝑁 = 4, but for 𝑁 = 1! (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmdvdsfacm1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem nprmdvdsfacm1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12634	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		6nn 12336	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12624	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℤ
4		4re 12331	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		6re 12337	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
6		4lt6 12431	. . . . . . . 8 ⊢ 4 < 6
7	4, 5, 6	ltleii 11339	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≤ 6
8		eluz2 12874	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 6))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1359	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘4)
10		uzss 12891	. . . . . 6 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘4) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘4))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘4)
12	11	sseli 3932	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘4))
13		nprmmul3 48306	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
15		elfzo2nn 48094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℕ)
16	15	ad2antrl 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑎 ∈ ℕ)
17	16	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℕ)
18		elfzo2nn 48094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℕ)
19	18	ad2antll 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑏 ∈ ℕ)
20	19	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℕ)
21		simprl 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 < 𝑏)
22		elfzo1 13748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^𝑏) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 < 𝑏))
23	17, 20, 21, 22	syl3anbrc 1361	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (1..^𝑏))
24		2eluzge1 12912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
25		fzoss1 13722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁)
27	26	sseli 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
28	27	ad2antll 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
29	28	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
30		muldvdsfacm1 48152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (1..^𝑏) ∧ 𝑏 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
31	23, 29, 30	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
32		breq1 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
33	32	ad2antll 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
34	31, 33	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
35	34	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
36	35	rexlimdvva 3221	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
37		nprmdvdsfacm1lem4 48403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
38	37	3expia 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
39	38	rexlimdva 3165	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
40	36, 39	jaod 872	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → ((∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
41	14, 40	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
42	41	imp 411	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∉ wnel 3063  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447  ℕcn 12239  2c2 12301  4c4 12303  6c6 12305  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ..^cfzo 13689  ↑cexp 14104  !cfa 14316   ∥ cdvds 16316  ℙcprime 16735

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-prm 16736

This theorem is used by:  ppivalnnnprmge6  48406