Theorem nprmdvdsfacm1 48529

Description: A non-prime integer greater than 5 divides the factorial of the integer decreased by 1 (see remark in [Ribenboim] p. 181). Note: not valid for 𝑁 = 4, but for 𝑁 = 1! (Contributed by AV, 7-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmdvdsfacm1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem nprmdvdsfacm1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12655	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		6nn 12357	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12645	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℤ
4		4re 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		6re 12358	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
6		4lt6 12452	. . . . . . . 8 ⊢ 4 < 6
7	4, 5, 6	ltleii 11360	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≤ 6
8		eluz2 12896	. . . . . . 7 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 6))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘4)
10		uzss 12913	. . . . . 6 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘4) → (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘4))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘6) ⊆ (ℤ≥‘4)
12	11	sseli 3930	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘4))
13		nprmmul3 48431	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
15		elfzo2nn 48219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℕ)
16	15	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑎 ∈ ℕ)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℕ)
18		elfzo2nn 48219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℕ)
19	18	ad2antll 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑏 ∈ ℕ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℕ)
21		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 < 𝑏)
22		elfzo1 13770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^𝑏) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 < 𝑏))
23	17, 20, 21, 22	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑎 ∈ (1..^𝑏))
24		2eluzge1 12934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
25		fzoss1 13744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁)
27	26	sseli 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
28	27	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑏 ∈ (1..^𝑁))
30		muldvdsfacm1 48277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (1..^𝑏) ∧ 𝑏 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
31	23, 29, 30	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
32		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
33	32	ad2antll 742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → (𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑎 · 𝑏) ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
34	31, 33	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
35	34	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
36	35	rexlimdvva 3221	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
37		nprmdvdsfacm1lem4 48528	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))
38	37	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
39	38	rexlimdva 3165	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
40	36, 39	jaod 873	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → ((∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
41	14, 40	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1))))
42	41	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → 𝑁 ∥ (!‘(𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3063  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1c1 11128   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℕcn 12260  2c2 12322  4c4 12324  6c6 12326  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ..^cfzo 13711  ↑cexp 14127  !cfa 14339   ∥ cdvds 16346  ℙcprime 16765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-prm 16766

This theorem is used by:  ppivalnnnprmge6  48531