Theorem lighneallem1 44945

Description: Lemma 1 for lighneal 44951. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneallem1	⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃↑𝑀))

Proof of Theorem lighneallem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12282	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
3		iddvdsexp 15917	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑀))
4	1, 2, 3	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑀))
5		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃↑𝑀) = (2↑𝑀))
6	5	breq2d 5082	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (2 ∥ (𝑃↑𝑀) ↔ 2 ∥ (2↑𝑀)))
7	6	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝑃↑𝑀) ↔ 2 ∥ (2↑𝑀)))
8	4, 7	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (𝑃↑𝑀))
9		iddvdsexp 15917	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑁))
10	1, 9	mpan 686	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∥ (2↑𝑁))
11	10	notnotd 144	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ¬ 2 ∥ (2↑𝑁))
12		2nn 11976	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
14		nnnn0 12170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	13, 14	nnexpcld 13888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12354	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
17		oddm1even 15980	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (2↑𝑁) ↔ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1)))
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (2↑𝑁) ↔ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1)))
19	11, 18	mtbid 323	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1))
20	19	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1))
21		nbrne1 5089	. . 3 ⊢ ((2 ∥ (𝑃↑𝑀) ∧ ¬ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1)) → (𝑃↑𝑀) ≠ ((2↑𝑁) − 1))
22	8, 20, 21	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ≠ ((2↑𝑁) − 1))
23	22	necomd 2998	1 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃↑𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  1c1 10803   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ↑cexp 13710   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  lighneal  44951