Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem1 46868
Description: Lemma 1 for lighneal 46874. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem1 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃𝑀))

Proof of Theorem lighneallem1
StepHypRef Expression
1 2z 12616 . . . . 5 2 ∈ ℤ
2 simp2 1135 . . . . 5 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
3 iddvdsexp 16248 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑀))
41, 2, 3sylancr 586 . . . 4 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑀))
5 oveq1 7421 . . . . . 6 (𝑃 = 2 → (𝑃𝑀) = (2↑𝑀))
65breq2d 5154 . . . . 5 (𝑃 = 2 → (2 ∥ (𝑃𝑀) ↔ 2 ∥ (2↑𝑀)))
763ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝑃𝑀) ↔ 2 ∥ (2↑𝑀)))
84, 7mpbird 257 . . 3 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (𝑃𝑀))
9 iddvdsexp 16248 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑁))
101, 9mpan 689 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∥ (2↑𝑁))
1110notnotd 144 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ¬ 2 ∥ (2↑𝑁))
12 2nn 12307 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
14 nnnn0 12501 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1513, 14nnexpcld 14231 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
1615nnzd 12607 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
17 oddm1even 16311 . . . . . 6 ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (2↑𝑁) ↔ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1)))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (2↑𝑁) ↔ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1)))
1911, 18mtbid 324 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1))
20193ad2ant3 1133 . . 3 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1))
21 nbrne1 5161 . . 3 ((2 ∥ (𝑃𝑀) ∧ ¬ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1)) → (𝑃𝑀) ≠ ((2↑𝑁) − 1))
228, 20, 21syl2anc 583 . 2 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ≠ ((2↑𝑁) − 1))
2322necomd 2991 1 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  1c1 11131  cmin 11466  cn 12234  2c2 12289  cz 12580  cexp 14050  cdvds 16222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-seq 13991  df-exp 14051  df-dvds 16223
This theorem is referenced by:  lighneal  46874
  Copyright terms: Public domain W3C validator