Theorem lighneallem1 47592

Description: Lemma 1 for lighneal 47598. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneallem1	⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃↑𝑀))

Proof of Theorem lighneallem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12649	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
3		iddvdsexp 16317	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑀))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑀))
5		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃↑𝑀) = (2↑𝑀))
6	5	breq2d 5155	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (2 ∥ (𝑃↑𝑀) ↔ 2 ∥ (2↑𝑀)))
7	6	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝑃↑𝑀) ↔ 2 ∥ (2↑𝑀)))
8	4, 7	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (𝑃↑𝑀))
9		iddvdsexp 16317	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑁))
10	1, 9	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∥ (2↑𝑁))
11	10	notnotd 144	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ¬ 2 ∥ (2↑𝑁))
12		2nn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
14		nnnn0 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	13, 14	nnexpcld 14284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12640	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
17		oddm1even 16380	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (2↑𝑁) ↔ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1)))
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (2↑𝑁) ↔ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1)))
19	11, 18	mtbid 324	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1))
20	19	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1))
21		nbrne1 5162	. . 3 ⊢ ((2 ∥ (𝑃↑𝑀) ∧ ¬ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1)) → (𝑃↑𝑀) ≠ ((2↑𝑁) − 1))
22	8, 20, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ≠ ((2↑𝑁) − 1))
23	22	necomd 2996	1 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃↑𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  1c1 11156   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  ℤcz 12613  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-dvds 16291

This theorem is referenced by:  lighneal  47598