Theorem lighneallem1 47084

Description: Lemma 1 for lighneal 47090. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneallem1	⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃↑𝑀))

Proof of Theorem lighneallem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12632	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
3		iddvdsexp 16265	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑀))
4	1, 2, 3	sylancr 585	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑀))
5		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃↑𝑀) = (2↑𝑀))
6	5	breq2d 5161	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (2 ∥ (𝑃↑𝑀) ↔ 2 ∥ (2↑𝑀)))
7	6	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝑃↑𝑀) ↔ 2 ∥ (2↑𝑀)))
8	4, 7	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (𝑃↑𝑀))
9		iddvdsexp 16265	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑁))
10	1, 9	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∥ (2↑𝑁))
11	10	notnotd 144	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ¬ 2 ∥ (2↑𝑁))
12		2nn 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
14		nnnn0 12517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	13, 14	nnexpcld 14248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12623	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
17		oddm1even 16328	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (2↑𝑁) ↔ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1)))
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (2↑𝑁) ↔ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1)))
19	11, 18	mtbid 323	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1))
20	19	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1))
21		nbrne1 5168	. . 3 ⊢ ((2 ∥ (𝑃↑𝑀) ∧ ¬ 2 ∥ ((2↑𝑁) − 1)) → (𝑃↑𝑀) ≠ ((2↑𝑁) − 1))
22	8, 20, 21	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑀) ≠ ((2↑𝑁) − 1))
23	22	necomd 2985	1 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃↑𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  1c1 11146   − cmin 11481  ℕcn 12250  2c2 12305  ℤcz 12596  ↑cexp 14067   ∥ cdvds 16239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14008  df-exp 14068  df-dvds 16240

This theorem is referenced by:  lighneal  47090