MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1elbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om1elbas 24987
Description: Elementhood in the base set of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om1bas.o 𝑂 = (𝐽 Ξ©1 π‘Œ)
om1bas.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
om1bas.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
om1bas.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‚))
Assertion
Ref Expression
om1elbas (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝐡 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ)))

Proof of Theorem om1elbas
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 om1bas.o . . . 4 𝑂 = (𝐽 Ξ©1 π‘Œ)
2 om1bas.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 om1bas.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
4 om1bas.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‚))
51, 2, 3, 4om1bas 24986 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)})
65eleq2d 2815 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝐡 ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)}))
7 fveq1 6901 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜0) = (πΉβ€˜0))
87eqeq1d 2730 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ↔ (πΉβ€˜0) = π‘Œ))
9 fveq1 6901 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜1) = (πΉβ€˜1))
109eqeq1d 2730 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘“β€˜1) = π‘Œ ↔ (πΉβ€˜1) = π‘Œ))
118, 10anbi12d 630 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ) ↔ ((πΉβ€˜0) = π‘Œ ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ)))
1211elrab 3684 . . 3 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)} ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((πΉβ€˜0) = π‘Œ ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ)))
13 3anass 1092 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((πΉβ€˜0) = π‘Œ ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ)))
1412, 13bitr4i 277 . 2 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((π‘“β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘“β€˜1) = π‘Œ)} ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ))
156, 14bitrdi 286 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝐡 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (πΉβ€˜0) = π‘Œ ∧ (πΉβ€˜1) = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  1c1 11149  Basecbs 17189  TopOnctopon 22840   Cn ccn 23156  IIcii 24823   Ξ©1 comi 24956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-tset 17261  df-topon 22841  df-om1 24961
This theorem is referenced by:  om1addcl  24988  pi1blem  24994  pi1eluni  24997
  Copyright terms: Public domain W3C validator