Theorem om1bas 25396

Description: The base set of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
om1bas.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
om1bas.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
om1bas.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
om1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
om1bas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)})

Distinct variable groups:   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑂(𝑓)

Proof of Theorem om1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om1bas.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
2		om1bas.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
3		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)} = {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)})
4		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (*𝑝‘𝐽))
5		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↑ko II) = (𝐽 ↑ko II))
6		om1bas.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		om1bas.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	om1val 25395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = {⟨(Base‘ndx), {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)}⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩})
9	8	fveq2d 6918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)}⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}))
10	1, 9	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)}⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}))
11		ovex 7482	. . . 4 ⊢ (II Cn 𝐽) ∈ V
12	11	rabex 5305	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)} ∈ V
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)}⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)}⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}
14	13	topgrpbas 17574	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)} ∈ V → {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)}⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}))
15	12, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)}⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩})
16	10, 15	eqtr4di 2816	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  {ctp 4592  ⟨cop 4838  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  0cc0 11237  1c1 11238  ndxcnx 17412  Basecbs 17428  +_gcplusg 17469  TopSetcts 17475  TopOnctopon 23272   Cn ccn 23586   ↑_ko cxko 23924  IIcii 25240  *_𝑝cpco 25365   Ω₁ comi 25366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-fz 13678  df-struct 17366  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-plusg 17482  df-tset 17488  df-topon 23273  df-om1 25371

This theorem is used by:  om1elbas  25397  om1plusg  25399  om1tset  25400