Theorem pi1blem 25375

Description: Lemma for pi1buni 25376. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1val.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
pi1blem	⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))

Proof of Theorem pi1blem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elima 6067	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
3		isphtpc 25330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
4	3	bilani 510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
5	4	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
6	5	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
7		phtpc01 25332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
8	7	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
9	8	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = (𝑥‘0))
10		pi1val.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
11		pi1val.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12		pi1val.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
13		pi1bas.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
14	10, 11, 12, 13	om1elbas 25368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
15	14	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
16	15	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
17	16	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
18	9, 17	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥‘0) = 𝑌)
19	8	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = (𝑥‘1))
20	16	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
21	19, 20	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
22	10, 11, 12, 13	om1elbas 25368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
24	6, 18, 21, 23	mpbir3and 1361	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
25	24	rexlimdvaa 3168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐾))
26	2, 25	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾))
27	26	ssrdv 3919	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾)
28		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
29	22, 28	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
30	29	ssrdv 3919	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽))
31	27, 30	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5106   “ cima 5658  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  0cc0 11213  1c1 11214  Basecbs 17402  TopOnctopon 23243   Cn ccn 23557  IIcii 25211  PHtpycphtpy 25304   ≃_phcphtpc 25305   Ω₁ comi 25337   π₁ cpi1 25339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-icc 13496  df-fz 13653  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-struct 17340  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-tset 17462  df-topgen 17629  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-top 23227  df-topon 23244  df-bases 23279  df-cn 23560  df-ii 25213  df-htpy 25306  df-phtpy 25307  df-phtpc 25328  df-om1 25342

This theorem is used by:  pi1buni  25376  pi1bas3  25379  pi1addf  25383  pi1addval  25384  pi1grplem  25385