Theorem pi1blem 24937

Description: Lemma for pi1buni 24938. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1val.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
pi1blem	⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))

Proof of Theorem pi1blem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elima 6016	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥) → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
4		isphtpc 24891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
5	3, 4	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
6	5	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
7	6	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
8		phtpc01 24893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
9	8	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
10	9	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = (𝑥‘0))
11		pi1val.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
12		pi1val.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13		pi1val.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
14		pi1bas.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
15	11, 12, 13, 14	om1elbas 24930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
16	15	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
17	16	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
18	17	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
19	10, 18	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥‘0) = 𝑌)
20	9	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = (𝑥‘1))
21	17	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
22	20, 21	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
23	11, 12, 13, 14	om1elbas 24930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
25	7, 19, 22, 24	mpbir3and 1343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
26	25	rexlimdvaa 3131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐾))
27	2, 26	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾))
28	27	ssrdv 3941	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾)
29		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
30	23, 29	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
31	30	ssrdv 3941	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽))
32	28, 31	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284   class class class wbr 5092   “ cima 5622  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010  Basecbs 17120  TopOnctopon 22795   Cn ccn 23109  IIcii 24766  PHtpycphtpy 24865   ≃_phcphtpc 24866   Ω₁ comi 24899   π₁ cpi1 24901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-icc 13255  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-cn 23112  df-ii 24768  df-htpy 24867  df-phtpy 24868  df-phtpc 24889  df-om1 24904

This theorem is referenced by:  pi1buni  24938  pi1bas3  24941  pi1addf  24945  pi1addval  24946  pi1grplem  24947