Theorem pi1blem 25270

Description: Lemma for pi1buni 25271. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1val.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
pi1blem	⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))

Proof of Theorem pi1blem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elima 6061	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
3		isphtpc 25225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
4	3	bilani 510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
5	4	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
6	5	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
7		phtpc01 25227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
8	7	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
9	8	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = (𝑥‘0))
10		pi1val.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
11		pi1val.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12		pi1val.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
13		pi1bas.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
14	10, 11, 12, 13	om1elbas 25263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
15	14	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
16	15	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
17	16	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
18	9, 17	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥‘0) = 𝑌)
19	8	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = (𝑥‘1))
20	16	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
21	19, 20	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
22	10, 11, 12, 13	om1elbas 25263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
24	6, 18, 21, 23	mpbir3and 1361	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
25	24	rexlimdvaa 3164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐾))
26	2, 25	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾))
27	26	ssrdv 3937	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾)
28		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
29	22, 28	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
30	29	ssrdv 3937	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽))
31	27, 30	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   “ cima 5658  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  1c1 11128  Basecbs 17304  TopOnctopon 23138   Cn ccn 23452  IIcii 25106  PHtpycphtpy 25199   ≃_phcphtpc 25200   Ω₁ comi 25232   π₁ cpi1 25234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-icc 13408  df-fz 13565  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-tset 17364  df-topgen 17531  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-top 23122  df-topon 23139  df-bases 23174  df-cn 23455  df-ii 25108  df-htpy 25201  df-phtpy 25202  df-phtpc 25223  df-om1 25237

This theorem is used by:  pi1buni  25271  pi1bas3  25274  pi1addf  25278  pi1addval  25279  pi1grplem  25280