Theorem pi1blem 24997

Description: Lemma for pi1buni 24998. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1val.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
pi1blem	⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))

Proof of Theorem pi1blem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3444	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elima 6024	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥) → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
4		isphtpc 24951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
5	3, 4	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
6	5	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
7	6	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
8		phtpc01 24953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
9	8	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
10	9	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = (𝑥‘0))
11		pi1val.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
12		pi1val.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13		pi1val.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
14		pi1bas.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
15	11, 12, 13, 14	om1elbas 24990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
16	15	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
17	16	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
18	17	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
19	10, 18	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥‘0) = 𝑌)
20	9	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = (𝑥‘1))
21	17	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
22	20, 21	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
23	11, 12, 13, 14	om1elbas 24990	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
25	7, 19, 22, 24	mpbir3and 1343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
26	25	rexlimdvaa 3138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐾))
27	2, 26	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾))
28	27	ssrdv 3939	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾)
29		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
30	23, 29	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
31	30	ssrdv 3939	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽))
32	28, 31	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11028  1c1 11029  Basecbs 17138  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23170  IIcii 24826  PHtpycphtpy 24925   ≃_phcphtpc 24926   Ω₁ comi 24959   π₁ cpi1 24961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-icc 13270  df-fz 13426  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-tset 17198  df-topgen 17365  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22892  df-cn 23173  df-ii 24828  df-htpy 24927  df-phtpy 24928  df-phtpc 24949  df-om1 24964

This theorem is referenced by:  pi1buni  24998  pi1bas3  25001  pi1addf  25005  pi1addval  25006  pi1grplem  25007