MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1blem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1blem 24484
Description: Lemma for pi1buni 24485. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2 (𝜑𝑌𝑋)
pi1val.o 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k (𝜑𝐾 = (Base‘𝑂))
Assertion
Ref Expression
pi1blem (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))

Proof of Theorem pi1blem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3477 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21elima 6054 . . . 4 (𝑥 ∈ (( ≃ph𝐽) “ 𝐾) ↔ ∃𝑦𝐾 𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)
3 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦( ≃ph𝐽)𝑥) → 𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)
4 isphtpc 24439 . . . . . . . . 9 (𝑦( ≃ph𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
53, 4sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦( ≃ph𝐽)𝑥) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
65adantrl 714 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
76simp2d 1143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
8 phtpc01 24441 . . . . . . . . 9 (𝑦( ≃ph𝐽)𝑥 → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
98ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
109simpld 495 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = (𝑥‘0))
11 pi1val.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
12 pi1val.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13 pi1val.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑋)
14 pi1bas.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 = (Base‘𝑂))
1511, 12, 13, 14om1elbas 24477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
1615biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
1716adantrr 715 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
1817simp2d 1143 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
1910, 18eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑥‘0) = 𝑌)
209simprd 496 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = (𝑥‘1))
2117simp3d 1144 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
2220, 21eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
2311, 12, 13, 14om1elbas 24477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑥𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
257, 19, 22, 24mpbir3and 1342 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → 𝑥𝐾)
2625rexlimdvaa 3155 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦𝐾 𝑦( ≃ph𝐽)𝑥𝑥𝐾))
272, 26biimtrid 241 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ≃ph𝐽) “ 𝐾) → 𝑥𝐾))
2827ssrdv 3984 . 2 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾)
29 simp1 1136 . . . 4 ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
3023, 29syl6bi 252 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐾𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
3130ssrdv 3984 . 2 (𝜑𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽))
3228, 31jca 512 1 (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wrex 3069  wss 3944  c0 4318   class class class wbr 5141  cima 5672  cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  1c1 11093  Basecbs 17126  TopOnctopon 22341   Cn ccn 22657  IIcii 24320  PHtpycphtpy 24413  phcphtpc 24414   Ω1 comi 24446   π1 cpi1 24448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-icc 13313  df-fz 13467  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-tset 17198  df-topgen 17371  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-top 22325  df-topon 22342  df-bases 22378  df-cn 22660  df-ii 24322  df-htpy 24415  df-phtpy 24416  df-phtpc 24437  df-om1 24451
This theorem is referenced by:  pi1buni  24485  pi1bas3  24488  pi1addf  24492  pi1addval  24493  pi1grplem  24494
  Copyright terms: Public domain W3C validator