MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1blem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1blem 24787
Description: Lemma for pi1buni 24788. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g 𝐺 = (𝐽 Ο€1 π‘Œ)
pi1val.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
pi1val.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
pi1val.o 𝑂 = (𝐽 Ξ©1 π‘Œ)
pi1bas.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ))
pi1bas.k (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜π‘‚))
Assertion
Ref Expression
pi1blem (πœ‘ β†’ ((( ≃phβ€˜π½) β€œ 𝐾) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† (II Cn 𝐽)))

Proof of Theorem pi1blem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3477 . . . . 5 π‘₯ ∈ V
21elima 6064 . . . 4 (π‘₯ ∈ (( ≃phβ€˜π½) β€œ 𝐾) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)
3 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯) β†’ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)
4 isphtpc 24741 . . . . . . . . 9 (𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯ ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpyβ€˜π½)π‘₯) β‰  βˆ…))
53, 4sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpyβ€˜π½)π‘₯) β‰  βˆ…))
65adantrl 713 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpyβ€˜π½)π‘₯) β‰  βˆ…))
76simp2d 1142 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽))
8 phtpc01 24743 . . . . . . . . 9 (𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯ β†’ ((π‘¦β€˜0) = (π‘₯β€˜0) ∧ (π‘¦β€˜1) = (π‘₯β€˜1)))
98ad2antll 726 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)) β†’ ((π‘¦β€˜0) = (π‘₯β€˜0) ∧ (π‘¦β€˜1) = (π‘₯β€˜1)))
109simpld 494 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)) β†’ (π‘¦β€˜0) = (π‘₯β€˜0))
11 pi1val.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝐽 Ξ©1 π‘Œ)
12 pi1val.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
13 pi1val.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
14 pi1bas.k . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜π‘‚))
1511, 12, 13, 14om1elbas 24780 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ)))
1615biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ))
1716adantrr 714 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ))
1817simp2d 1142 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)) β†’ (π‘¦β€˜0) = π‘Œ)
1910, 18eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)) β†’ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ)
209simprd 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)) β†’ (π‘¦β€˜1) = (π‘₯β€˜1))
2117simp3d 1143 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)) β†’ (π‘¦β€˜1) = π‘Œ)
2220, 21eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)) β†’ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ)
2311, 12, 13, 14om1elbas 24780 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↔ (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ)))
2423adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↔ (π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ)))
257, 19, 22, 24mpbir3and 1341 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
2625rexlimdvaa 3155 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐾 𝑦( ≃phβ€˜π½)π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ 𝐾))
272, 26biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (( ≃phβ€˜π½) β€œ 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾))
2827ssrdv 3988 . 2 (πœ‘ β†’ (( ≃phβ€˜π½) β€œ 𝐾) βŠ† 𝐾)
29 simp1 1135 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (π‘₯β€˜0) = π‘Œ ∧ (π‘₯β€˜1) = π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽))
3023, 29syl6bi 253 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 β†’ π‘₯ ∈ (II Cn 𝐽)))
3130ssrdv 3988 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† (II Cn 𝐽))
3228, 31jca 511 1 (πœ‘ β†’ ((( ≃phβ€˜π½) β€œ 𝐾) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† (II Cn 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114  Basecbs 17149  TopOnctopon 22633   Cn ccn 22949  IIcii 24616  PHtpycphtpy 24715   ≃phcphtpc 24716   Ξ©1 comi 24749   Ο€1 cpi1 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-icc 13336  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-tset 17221  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cn 22952  df-ii 24618  df-htpy 24717  df-phtpy 24718  df-phtpc 24739  df-om1 24754
This theorem is referenced by:  pi1buni  24788  pi1bas3  24791  pi1addf  24795  pi1addval  24796  pi1grplem  24797
  Copyright terms: Public domain W3C validator