Theorem pi1blem 23745

Description: Lemma for pi1buni 23746. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1val.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))

Assertion

Ref	Expression
pi1blem	⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))

Proof of Theorem pi1blem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3413	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elima 5910	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
3		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥) → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
4		isphtpc 23700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
5	3, 4	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
6	5	adantrl 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
7	6	simp2d 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
8		phtpc01 23702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
9	8	ad2antll 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
10	9	simpld 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = (𝑥‘0))
11		pi1val.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
12		pi1val.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13		pi1val.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
14		pi1bas.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
15	11, 12, 13, 14	om1elbas 23738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
16	15	biimpa 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
17	16	adantrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
18	17	simp2d 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
19	10, 18	eqtr3d 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥‘0) = 𝑌)
20	9	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = (𝑥‘1))
21	17	simp3d 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
22	20, 21	eqtr3d 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
23	11, 12, 13, 14	om1elbas 23738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
24	23	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
25	7, 19, 22, 24	mpbir3and 1339	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
26	25	rexlimdvaa 3209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝐾 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐾))
27	2, 26	syl5bi 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾))
28	27	ssrdv 3900	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾)
29		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
30	23, 29	syl6bi 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
31	30	ssrdv 3900	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽))
32	28, 31	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾 ∧ 𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227   class class class wbr 5035   “ cima 5530  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  0cc0 10580  1c1 10581  Basecbs 16546  TopOnctopon 21615   Cn ccn 21929  IIcii 23581  PHtpycphtpy 23674   ≃_phcphtpc 23675   Ω₁ comi 23707   π₁ cpi1 23709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-icc 12791  df-fz 12945  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-plusg 16641  df-tset 16647  df-topgen 16780  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-top 21599  df-topon 21616  df-bases 21651  df-cn 21932  df-ii 23583  df-htpy 23676  df-phtpy 23677  df-phtpc 23698  df-om1 23712

This theorem is referenced by:  pi1buni  23746  pi1bas3  23749  pi1addf  23753  pi1addval  23754  pi1grplem  23755