Theorem uzind4i 12821

Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. This is a stronger version of uzind4 12817 assuming that 𝜓 holds unconditionally. Notice that 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) implies that the lower bound 𝑀 is an integer (𝑀 ∈ ℤ, see eluzel2 12754). (Contributed by NM, 4-Sep-2005.) (Revised by AV, 13-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4i.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind4i.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind4i.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind4i.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind4i.5	⊢ 𝜓
uzind4i.6	⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind4i	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzind4i.1	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		uzind4i.2	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3		uzind4i.3	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
4		uzind4i.4	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
5		uzind4i.5	. . 3 ⊢ 𝜓
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
7		uzind4i.6	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	uzind4 12817	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025   + caddc 11027  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750

This theorem is referenced by:  uzwo  12822  om2uzrani  13873  seqfveq2  13945  monoord  13953  seqhomo  13970  leexp2r  14095  cvgrat  15804  ntrivcvgfvn0  15820  ruclem9  16161  dvdsfac  16251  smuval2  16407  smupvallem  16408  prmreclem4  16845  vdwlem13  16919  2expltfac  17018  telgsumfzs  19916  aaliou3lem2  26305  chtub  27177  bclbnd  27245