Theorem uzind4i 12984

Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. This is a stronger version of uzind4 12980 assuming that 𝜓 holds unconditionally. Notice that 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) implies that the lower bound 𝑀 is an integer (𝑀 ∈ ℤ, see eluzel2 12917). (Contributed by NM, 4-Sep-2005.) (Revised by AV, 13-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4i.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind4i.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind4i.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind4i.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind4i.5	⊢ 𝜓
uzind4i.6	⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind4i	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzind4i.1	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		uzind4i.2	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3		uzind4i.3	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
4		uzind4i.4	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
5		uzind4i.5	. . 3 ⊢ 𝜓
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
7		uzind4i.6	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	uzind4 12980	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  1c1 11150   + caddc 11152  ℤcz 12640  ℤ_≥cuz 12912

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913

This theorem is used by:  uzwo  12985  om2uzrani  14041  seqfveq2  14113  monoord  14121  seqhomo  14138  leexp2r  14263  cvgrat  15997  ntrivcvgfvn0  16013  ruclem9  16351  dvdsfac  16441  smuval2  16597  smupvallem  16598  prmreclem4  17036  vdwlem13  17110  2expltfac  17209  telgsumfzs  20142  aaliou3lem2  26611  chtub  27480  bclbnd  27548