MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzind4i 12840
Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. This is a stronger version of uzind4 12836 assuming that 𝜓 holds unconditionally. Notice that 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) implies that the lower bound 𝑀 is an integer (𝑀 ∈ ℤ, see eluzel2 12773). (Contributed by NM, 4-Sep-2005.) (Revised by AV, 13-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4i.1 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
uzind4i.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
uzind4i.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
uzind4i.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzind4i.5 𝜓
uzind4i.6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzind4i (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4i
StepHypRef Expression
1 uzind4i.1 . 2 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
2 uzind4i.2 . 2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
3 uzind4i.3 . 2 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
4 uzind4i.4 . 2 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
5 uzind4i.5 . . 3 𝜓
65a1i 11 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
7 uzind4i.6 . 2 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜒𝜃))
81, 2, 3, 4, 6, 7uzind4 12836 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059  cz 12504  cuz 12768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769
This theorem is referenced by:  uzwo  12841  om2uzrani  13863  seqfveq2  13936  monoord  13944  seqhomo  13961  leexp2r  14085  cvgrat  15773  ntrivcvgfvn0  15789  ruclem9  16125  dvdsfac  16213  smuval2  16367  smupvallem  16368  prmreclem4  16796  vdwlem13  16870  2expltfac  16970  telgsumfzs  19771  aaliou3lem2  25719  chtub  26576  bclbnd  26644
  Copyright terms: Public domain W3C validator