Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzind4i 12302
 Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. This is a stronger version of uzind4 12298 assuming that 𝜓 holds unconditionally. Notice that 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) implies that the lower bound 𝑀 is an integer (𝑀 ∈ ℤ, see eluzel2 12240). (Contributed by NM, 4-Sep-2005.) (Revised by AV, 13-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4i.1 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
uzind4i.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
uzind4i.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
uzind4i.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzind4i.5 𝜓
uzind4i.6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzind4i (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4i
StepHypRef Expression
1 uzind4i.1 . 2 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
2 uzind4i.2 . 2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
3 uzind4i.3 . 2 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
4 uzind4i.4 . 2 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
5 uzind4i.5 . . 3 𝜓
65a1i 11 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
7 uzind4i.6 . 2 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜒𝜃))
81, 2, 3, 4, 6, 7uzind4 12298 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜏)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1c1 10531   + caddc 10533  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236 This theorem is referenced by:  uzwo  12303  om2uzrani  13319  seqfveq2  13392  monoord  13400  seqhomo  13417  leexp2r  13538  cvgrat  15234  ntrivcvgfvn0  15250  ruclem9  15586  dvdsfac  15671  smuval2  15824  smupvallem  15825  prmreclem4  16248  vdwlem13  16322  2expltfac  16421  telgsumfzs  19105  aaliou3lem2  24942  chtub  25799  bclbnd  25867
 Copyright terms: Public domain W3C validator