Theorem orbstaval 18128

Description: Value of the function at a given equivalence class element. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩)

Assertion

Ref	Expression
orbstaval	⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘[𝐵] ∼ ) = (𝐵 ⊕ 𝐴))

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑘   𝑢,𝑘, ⊕   𝐴,𝑘,𝑢   𝑘,𝐺,𝑢   𝐵,𝑘,𝑢   𝑘,𝑋,𝑢   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢)   𝐹(𝑢,𝑘)   𝐻(𝑢,𝑘)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbstaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orbsta.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩)
2		ovexd 6956	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑘 ⊕ 𝐴) ∈ V)
3		gasta.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		gasta.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
5	3, 4	gastacl 18125	. . 3 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		orbsta.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
7	3, 6	eqger 18028	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝑋)
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → ∼ Er 𝑋)
9	3	fvexi 6460	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑋 ∈ V)
11		oveq1 6929	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 ⊕ 𝐴) = (𝐵 ⊕ 𝐴))
12	3, 4, 6, 1	orbstafun 18127	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → Fun 𝐹)
13	1, 2, 8, 10, 11, 12	qliftval 8119	1 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘[𝐵] ∼ ) = (𝐵 ⊕ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398  ⟨cop 4404   ↦ cmpt 4965  ran crn 5356  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   Er wer 8023  [cec 8024  Basecbs 16255  SubGrpcsubg 17972   ~_QG cqg 17974   GrpAct cga 18105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-subg 17975  df-eqg 17977  df-ga 18106

This theorem is referenced by:  orbsta  18129