Theorem orbstafun 17944

Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 17946. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩)

Assertion

Ref	Expression
orbstafun	⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → Fun 𝐹)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑘   𝑢,𝑘, ⊕   𝐴,𝑘,𝑢   𝑘,𝐺,𝑢   𝑘,𝑋,𝑢   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢)   𝐹(𝑢,𝑘)   𝐻(𝑢,𝑘)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbstafun

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orbsta.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩)
2		ovexd 6823	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑘 ⊕ 𝐴) ∈ V)
3		gasta.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		gasta.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
5	3, 4	gastacl 17942	. . 3 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		orbsta.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
7	3, 6	eqger 17845	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝑋)
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → ∼ Er 𝑋)
9	3	fvexi 6341	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑋 ∈ V)
11		oveq1 6798	. 2 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴))
12		simpr 471	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → 𝑘 ∼ ℎ)
13		subgrcl 17800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	3	subgss 17796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
15		eqid 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
16		eqid 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	3, 15, 16, 6	eqgval 17844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻)))
18	13, 14, 17	syl2anc 573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻)))
19	5, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻)))
20	19	biimpa 462	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻))
21	20	simp1d 1136	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → 𝑘 ∈ 𝑋)
22	20	simp2d 1137	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → ℎ ∈ 𝑋)
23	21, 22	jca 501	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋))
24	3, 4, 6	gastacos 17943	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋)) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴)))
25	23, 24	syldan 579	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴)))
26	12, 25	mpbid 222	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴))
27	1, 2, 8, 10, 11, 26	qliftfund 7983	1 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → Fun 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  ⟨cop 4322   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  ran crn 5250  Fun wfun 6023  ‘cfv 6029  (class class class)co 6791   Er wer 7891  [cec 7892  Basecbs 16057  +_gcplusg 16142  Grpcgrp 17623  inv_gcminusg 17624  SubGrpcsubg 17789   ~_QG cqg 17791   GrpAct cga 17922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-ec 7896  df-qs 7900  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-subg 17792  df-eqg 17794  df-ga 17923

This theorem is referenced by:  orbstaval  17945  orbsta  17946