MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbstafun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orbstafun 17944
Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 17946. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta.f 𝐹 = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
Assertion
Ref Expression
orbstafun (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Fun 𝐹)
Distinct variable groups:   ,𝑘   𝑢,𝑘,   𝐴,𝑘,𝑢   𝑘,𝐺,𝑢   𝑘,𝑋,𝑢   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐹(𝑢,𝑘)   𝐻(𝑢,𝑘)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbstafun
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta.f . 2 𝐹 = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
2 ovexd 6823 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑘 𝐴) ∈ V)
3 gasta.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 gasta.2 . . . 4 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
53, 4gastacl 17942 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 orbsta.r . . . 4 = (𝐺 ~QG 𝐻)
73, 6eqger 17845 . . 3 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
85, 7syl 17 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Er 𝑋)
93fvexi 6341 . . 3 𝑋 ∈ V
109a1i 11 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝑋 ∈ V)
11 oveq1 6798 . 2 (𝑘 = → (𝑘 𝐴) = ( 𝐴))
12 simpr 471 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑘 )
13 subgrcl 17800 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
143subgss 17796 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
15 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (invg𝐺) = (invg𝐺)
16 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
173, 15, 16, 6eqgval 17844 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻𝑋) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
1813, 14, 17syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
195, 18syl 17 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
2019biimpa 462 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻))
2120simp1d 1136 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑘𝑋)
2220simp2d 1137 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑋)
2321, 22jca 501 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘𝑋𝑋))
243, 4, 6gastacos 17943 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑘𝑋𝑋)) → (𝑘 ↔ (𝑘 𝐴) = ( 𝐴)))
2523, 24syldan 579 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘 ↔ (𝑘 𝐴) = ( 𝐴)))
2612, 25mpbid 222 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘 𝐴) = ( 𝐴))
271, 2, 8, 10, 11, 26qliftfund 7983 1 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Fun 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3723  cop 4322   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ran crn 5250  Fun wfun 6023  cfv 6029  (class class class)co 6791   Er wer 7891  [cec 7892  Basecbs 16057  +gcplusg 16142  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624  SubGrpcsubg 17789   ~QG cqg 17791   GrpAct cga 17922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-ec 7896  df-qs 7900  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-subg 17792  df-eqg 17794  df-ga 17923
This theorem is referenced by:  orbstaval  17945  orbsta  17946
  Copyright terms: Public domain W3C validator