MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbstafun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orbstafun 19223
Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 19225. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta.f 𝐹 = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
Assertion
Ref Expression
orbstafun (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Fun 𝐹)
Distinct variable groups:   ,𝑘   𝑢,𝑘,   𝐴,𝑘,𝑢   𝑘,𝐺,𝑢   𝑘,𝑋,𝑢   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐹(𝑢,𝑘)   𝐻(𝑢,𝑘)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbstafun
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta.f . 2 𝐹 = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
2 ovexd 7437 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑘 𝐴) ∈ V)
3 gasta.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 gasta.2 . . . 4 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
53, 4gastacl 19221 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 orbsta.r . . . 4 = (𝐺 ~QG 𝐻)
73, 6eqger 19101 . . 3 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
85, 7syl 17 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Er 𝑋)
93fvexi 6896 . . 3 𝑋 ∈ V
109a1i 11 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝑋 ∈ V)
11 oveq1 7409 . 2 (𝑘 = → (𝑘 𝐴) = ( 𝐴))
12 simpr 484 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑘 )
13 subgrcl 19054 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
143subgss 19050 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
15 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (invg𝐺) = (invg𝐺)
16 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
173, 15, 16, 6eqgval 19100 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻𝑋) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
1813, 14, 17syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
195, 18syl 17 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
2019biimpa 476 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻))
2120simp1d 1139 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑘𝑋)
2220simp2d 1140 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑋)
2321, 22jca 511 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘𝑋𝑋))
243, 4, 6gastacos 19222 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑘𝑋𝑋)) → (𝑘 ↔ (𝑘 𝐴) = ( 𝐴)))
2523, 24syldan 590 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘 ↔ (𝑘 𝐴) = ( 𝐴)))
2612, 25mpbid 231 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘 𝐴) = ( 𝐴))
271, 2, 8, 10, 11, 26qliftfund 8794 1 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Fun 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  wss 3941  cop 4627   class class class wbr 5139  cmpt 5222  ran crn 5668  Fun wfun 6528  cfv 6534  (class class class)co 7402   Er wer 8697  [cec 8698  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Grpcgrp 18859  invgcminusg 18860  SubGrpcsubg 19043   ~QG cqg 19045   GrpAct cga 19201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-subg 19046  df-eqg 19048  df-ga 19202
This theorem is referenced by:  orbstaval  19224  orbsta  19225
  Copyright terms: Public domain W3C validator