Theorem orbstafun 19243

Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 19245. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩)

Assertion

Ref	Expression
orbstafun	⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → Fun 𝐹)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑘   𝑢,𝑘, ⊕   𝐴,𝑘,𝑢   𝑘,𝐺,𝑢   𝑘,𝑋,𝑢   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢)   𝐹(𝑢,𝑘)   𝐻(𝑢,𝑘)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbstafun

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orbsta.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩)
2		ovexd 7422	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑘 ⊕ 𝐴) ∈ V)
3		gasta.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		gasta.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
5	3, 4	gastacl 19241	. . 3 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		orbsta.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
7	3, 6	eqger 19110	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝑋)
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → ∼ Er 𝑋)
9	3	fvexi 6872	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑋 ∈ V)
11		oveq1 7394	. 2 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴))
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → 𝑘 ∼ ℎ)
13		subgrcl 19063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	3	subgss 19059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
15		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
16		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	3, 15, 16, 6	eqgval 19109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻)))
18	13, 14, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻)))
19	5, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻)))
20	19	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻))
21	20	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → 𝑘 ∈ 𝑋)
22	20	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → ℎ ∈ 𝑋)
23	21, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋))
24	3, 4, 6	gastacos 19242	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋)) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴)))
25	23, 24	syldan 591	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴)))
26	12, 25	mpbid 232	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴))
27	1, 2, 8, 10, 11, 26	qliftfund 8776	1 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → Fun 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639  Fun wfun 6505  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   Er wer 8668  [cec 8669  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  SubGrpcsubg 19052   ~_QG cqg 19054   GrpAct cga 19221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-subg 19055  df-eqg 19057  df-ga 19222

This theorem is referenced by:  orbstaval  19244  orbsta  19245