MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbstafun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orbstafun 19050
Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 19052. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta.f 𝐹 = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
Assertion
Ref Expression
orbstafun (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Fun 𝐹)
Distinct variable groups:   ,𝑘   𝑢,𝑘,   𝐴,𝑘,𝑢   𝑘,𝐺,𝑢   𝑘,𝑋,𝑢   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐹(𝑢,𝑘)   𝐻(𝑢,𝑘)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbstafun
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta.f . 2 𝐹 = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
2 ovexd 7386 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑘 𝐴) ∈ V)
3 gasta.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 gasta.2 . . . 4 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
53, 4gastacl 19048 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 orbsta.r . . . 4 = (𝐺 ~QG 𝐻)
73, 6eqger 18939 . . 3 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
85, 7syl 17 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Er 𝑋)
93fvexi 6853 . . 3 𝑋 ∈ V
109a1i 11 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝑋 ∈ V)
11 oveq1 7358 . 2 (𝑘 = → (𝑘 𝐴) = ( 𝐴))
12 simpr 485 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑘 )
13 subgrcl 18892 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
143subgss 18888 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
15 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (invg𝐺) = (invg𝐺)
16 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
173, 15, 16, 6eqgval 18938 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻𝑋) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
1813, 14, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
195, 18syl 17 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
2019biimpa 477 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻))
2120simp1d 1142 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑘𝑋)
2220simp2d 1143 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑋)
2321, 22jca 512 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘𝑋𝑋))
243, 4, 6gastacos 19049 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑘𝑋𝑋)) → (𝑘 ↔ (𝑘 𝐴) = ( 𝐴)))
2523, 24syldan 591 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘 ↔ (𝑘 𝐴) = ( 𝐴)))
2612, 25mpbid 231 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘 𝐴) = ( 𝐴))
271, 2, 8, 10, 11, 26qliftfund 8700 1 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Fun 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3405  Vcvv 3443  wss 3908  cop 4590   class class class wbr 5103  cmpt 5186  ran crn 5632  Fun wfun 6487  cfv 6493  (class class class)co 7351   Er wer 8603  [cec 8604  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  Grpcgrp 18708  invgcminusg 18709  SubGrpcsubg 18881   ~QG cqg 18883   GrpAct cga 19028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-ec 8608  df-qs 8612  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-0g 17283  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-subg 18884  df-eqg 18886  df-ga 19029
This theorem is referenced by:  orbstaval  19051  orbsta  19052
  Copyright terms: Public domain W3C validator