Theorem orbstafun 19238

Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 19240. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩)

Assertion

Ref	Expression
orbstafun	⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → Fun 𝐹)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑘   𝑢,𝑘, ⊕   𝐴,𝑘,𝑢   𝑘,𝐺,𝑢   𝑘,𝑋,𝑢   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢)   𝐹(𝑢,𝑘)   𝐻(𝑢,𝑘)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbstafun

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orbsta.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩)
2		ovexd 7391	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑘 ⊕ 𝐴) ∈ V)
3		gasta.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		gasta.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
5	3, 4	gastacl 19236	. . 3 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		orbsta.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
7	3, 6	eqger 19105	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝑋)
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → ∼ Er 𝑋)
9	3	fvexi 6846	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑋 ∈ V)
11		oveq1 7363	. 2 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴))
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → 𝑘 ∼ ℎ)
13		subgrcl 19059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	3	subgss 19055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
15		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
16		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	3, 15, 16, 6	eqgval 19104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻)))
18	13, 14, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻)))
19	5, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻)))
20	19	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻))
21	20	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → 𝑘 ∈ 𝑋)
22	20	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → ℎ ∈ 𝑋)
23	21, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋))
24	3, 4, 6	gastacos 19237	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋)) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴)))
25	23, 24	syldan 591	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴)))
26	12, 25	mpbid 232	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴))
27	1, 2, 8, 10, 11, 26	qliftfund 8738	1 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → Fun 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3397  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ran crn 5623  Fun wfun 6484  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   Er wer 8630  [cec 8631  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  Grpcgrp 18861  inv_gcminusg 18862  SubGrpcsubg 19048   ~_QG cqg 19050   GrpAct cga 19216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19051  df-eqg 19053  df-ga 19217

This theorem is referenced by:  orbstaval  19239  orbsta  19240