MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbstafun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orbstafun 18202
Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 18204. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta.f 𝐹 = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
Assertion
Ref Expression
orbstafun (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Fun 𝐹)
Distinct variable groups:   ,𝑘   𝑢,𝑘,   𝐴,𝑘,𝑢   𝑘,𝐺,𝑢   𝑘,𝑋,𝑢   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐹(𝑢,𝑘)   𝐻(𝑢,𝑘)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbstafun
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta.f . 2 𝐹 = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
2 ovexd 7004 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑘 𝐴) ∈ V)
3 gasta.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 gasta.2 . . . 4 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
53, 4gastacl 18200 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 orbsta.r . . . 4 = (𝐺 ~QG 𝐻)
73, 6eqger 18103 . . 3 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
85, 7syl 17 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Er 𝑋)
93fvexi 6507 . . 3 𝑋 ∈ V
109a1i 11 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝑋 ∈ V)
11 oveq1 6977 . 2 (𝑘 = → (𝑘 𝐴) = ( 𝐴))
12 simpr 477 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑘 )
13 subgrcl 18058 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
143subgss 18054 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
15 eqid 2772 . . . . . . . . . 10 (invg𝐺) = (invg𝐺)
16 eqid 2772 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
173, 15, 16, 6eqgval 18102 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻𝑋) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
1813, 14, 17syl2anc 576 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
195, 18syl 17 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑘 ↔ (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻)))
2019biimpa 469 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘𝑋𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑘)(+g𝐺)) ∈ 𝐻))
2120simp1d 1122 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑘𝑋)
2220simp2d 1123 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → 𝑋)
2321, 22jca 504 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘𝑋𝑋))
243, 4, 6gastacos 18201 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑘𝑋𝑋)) → (𝑘 ↔ (𝑘 𝐴) = ( 𝐴)))
2523, 24syldan 582 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘 ↔ (𝑘 𝐴) = ( 𝐴)))
2612, 25mpbid 224 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘 ) → (𝑘 𝐴) = ( 𝐴))
271, 2, 8, 10, 11, 26qliftfund 8175 1 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Fun 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  {crab 3086  Vcvv 3409  wss 3825  cop 4441   class class class wbr 4923  cmpt 5002  ran crn 5401  Fun wfun 6176  cfv 6182  (class class class)co 6970   Er wer 8078  [cec 8079  Basecbs 16329  +gcplusg 16411  Grpcgrp 17881  invgcminusg 17882  SubGrpcsubg 18047   ~QG cqg 18049   GrpAct cga 18180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-ec 8083  df-qs 8087  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-subg 18050  df-eqg 18052  df-ga 18181
This theorem is referenced by:  orbstaval  18203  orbsta  18204
  Copyright terms: Public domain W3C validator