Theorem orbstafun 19351

Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 19353. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩)

Assertion

Ref	Expression
orbstafun	⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → Fun 𝐹)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑘   𝑢,𝑘, ⊕   𝐴,𝑘,𝑢   𝑘,𝐺,𝑢   𝑘,𝑋,𝑢   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢)   𝐹(𝑢,𝑘)   𝐻(𝑢,𝑘)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbstafun

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orbsta.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ⟨[𝑘] ∼ , (𝑘 ⊕ 𝐴)⟩)
2		ovexd 7483	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑘 ⊕ 𝐴) ∈ V)
3		gasta.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		gasta.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
5	3, 4	gastacl 19349	. . 3 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		orbsta.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
7	3, 6	eqger 19218	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝑋)
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → ∼ Er 𝑋)
9	3	fvexi 6934	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑋 ∈ V)
11		oveq1 7455	. 2 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴))
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → 𝑘 ∼ ℎ)
13		subgrcl 19171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	3	subgss 19167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
15		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
16		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	3, 15, 16, 6	eqgval 19217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻)))
18	13, 14, 17	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻)))
19	5, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻)))
20	19	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑘)(+g‘𝐺)ℎ) ∈ 𝐻))
21	20	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → 𝑘 ∈ 𝑋)
22	20	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → ℎ ∈ 𝑋)
23	21, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋))
24	3, 4, 6	gastacos 19350	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑘 ∈ 𝑋 ∧ ℎ ∈ 𝑋)) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴)))
25	23, 24	syldan 590	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ∼ ℎ ↔ (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴)))
26	12, 25	mpbid 232	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑘 ∼ ℎ) → (𝑘 ⊕ 𝐴) = (ℎ ⊕ 𝐴))
27	1, 2, 8, 10, 11, 26	qliftfund 8861	1 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → Fun 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   Er wer 8760  [cec 8761  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  SubGrpcsubg 19160   ~_QG cqg 19162   GrpAct cga 19329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-eqg 19165  df-ga 19330

This theorem is referenced by:  orbstaval  19352  orbsta  19353