Theorem gastacl 19437

Description: The stabilizer subgroup in a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}

Assertion

Ref	Expression
gastacl	⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑢, ⊕   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gasta.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
2	1	ssrab3 4030	. . 3 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝑋
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
4		gagrp 19420	. . . . . 6 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
6		gasta.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	6, 7	grpidcl 19090	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
9	5, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
10	7	gagrpid 19422	. . . 4 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → ((0g‘𝐺) ⊕ 𝐴) = 𝐴)
11		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (0g‘𝐺) → (𝑢 ⊕ 𝐴) = ((0g‘𝐺) ⊕ 𝐴))
12	11	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (0g‘𝐺) → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ ((0g‘𝐺) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
13	12, 1	elrab2 3649	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ ((0g‘𝐺) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
14	9, 10, 13	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐻)
15	14	ne0d 4288	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ≠ ∅)
16		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
17	16, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
18		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ⊕ 𝐴) = (𝑥 ⊕ 𝐴))
19	18	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴))
20	19, 1	elrab2 3649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴))
21	20	bilani 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴))
22	21	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ 𝑋)
23	22	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → 𝑦 ∈ 𝐻)
25		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑢 ⊕ 𝐴) = (𝑦 ⊕ 𝐴))
26	25	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝑦 ⊕ 𝐴) = 𝐴))
27	26, 1	elrab2 3649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ⊕ 𝐴) = 𝐴))
28	24, 27	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ⊕ 𝐴) = 𝐴))
29	28	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
30		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
31	6, 30	grpcl 19066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
32	17, 23, 29, 31	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
33		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → 𝐴 ∈ 𝑌)
34	6, 30	gaass 19425	. . . . . . . . 9 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ⊕ 𝐴) = (𝑥 ⊕ (𝑦 ⊕ 𝐴)))
35	16, 23, 29, 33, 34	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ⊕ 𝐴) = (𝑥 ⊕ (𝑦 ⊕ 𝐴)))
36	28	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑦 ⊕ 𝐴) = 𝐴)
37	36	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥 ⊕ (𝑦 ⊕ 𝐴)) = (𝑥 ⊕ 𝐴))
38	21	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴)
39	38	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴)
40	35, 37, 39	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ⊕ 𝐴) = 𝐴)
41		oveq1 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → (𝑢 ⊕ 𝐴) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ⊕ 𝐴))
42	41	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
43	42, 1	elrab2 3649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
44	32, 40, 43	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻)
45	44	anassrs 473	. . . . 5 ⊢ (((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻)
46	45	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻)
47		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
48	47, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
49		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
50	6, 49	grpinvcl 19112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑋)
51	48, 22, 50	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑋)
52		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ 𝑌)
53	6, 49	gacan 19433	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌)) → ((𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
54	47, 22, 52, 52, 53	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
55	38, 54	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (((invg‘𝐺)‘𝑥) ⊕ 𝐴) = 𝐴)
56		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑢 ⊕ 𝐴) = (((invg‘𝐺)‘𝑥) ⊕ 𝐴))
57	56	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
58	57, 1	elrab2 3649	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
59	51, 55, 58	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻)
60	46, 59	jca 521	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))
61	60	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))
62	6, 30, 49	issubg2 19266	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐻 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐻 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 (∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))))
63	5, 62	syl 18	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐻 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐻 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 (∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))))
64	3, 15, 61, 63	mpbir3and 1361	1 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  0_gc0g 17525  Grpcgrp 19058  inv_gcminusg 19059  SubGrpcsubg 19244   GrpAct cga 19417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-subg 19247  df-ga 19418

This theorem is used by:  gastacos  19438  orbstafun  19439  orbstaval  19440  orbsta  19441  orbsta2  19442  sylow1lem5  19730