Theorem gastacl 19089

Description: The stabilizer subgroup in a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}

Assertion

Ref	Expression
gastacl	⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑢, ⊕   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gasta.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
2	1	ssrab3 4040	. . 3 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝑋
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
4		gagrp 19072	. . . . . 6 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
6		gasta.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	6, 7	grpidcl 18778	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
10	7	gagrpid 19074	. . . 4 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → ((0g‘𝐺) ⊕ 𝐴) = 𝐴)
11		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (0g‘𝐺) → (𝑢 ⊕ 𝐴) = ((0g‘𝐺) ⊕ 𝐴))
12	11	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (0g‘𝐺) → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ ((0g‘𝐺) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
13	12, 1	elrab2 3648	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ ((0g‘𝐺) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
14	9, 10, 13	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐻)
15	14	ne0d 4295	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ≠ ∅)
16		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
17	16, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
18		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ 𝐻)
19		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ⊕ 𝐴) = (𝑥 ⊕ 𝐴))
20	19	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴))
21	20, 1	elrab2 3648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴))
22	18, 21	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴))
23	22	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24	23	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
25		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → 𝑦 ∈ 𝐻)
26		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑢 ⊕ 𝐴) = (𝑦 ⊕ 𝐴))
27	26	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝑦 ⊕ 𝐴) = 𝐴))
28	27, 1	elrab2 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ⊕ 𝐴) = 𝐴))
29	25, 28	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ⊕ 𝐴) = 𝐴))
30	29	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
31		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
32	6, 31	grpcl 18756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
33	17, 24, 30, 32	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
34		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → 𝐴 ∈ 𝑌)
35	6, 31	gaass 19077	. . . . . . . . 9 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ⊕ 𝐴) = (𝑥 ⊕ (𝑦 ⊕ 𝐴)))
36	16, 24, 30, 34, 35	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ⊕ 𝐴) = (𝑥 ⊕ (𝑦 ⊕ 𝐴)))
37	29	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑦 ⊕ 𝐴) = 𝐴)
38	37	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥 ⊕ (𝑦 ⊕ 𝐴)) = (𝑥 ⊕ 𝐴))
39	22	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴)
40	39	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴)
41	36, 38, 40	3eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ⊕ 𝐴) = 𝐴)
42		oveq1 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → (𝑢 ⊕ 𝐴) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ⊕ 𝐴))
43	42	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
44	43, 1	elrab2 3648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
45	33, 41, 44	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻)
46	45	anassrs 468	. . . . 5 ⊢ (((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻)
47	46	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻)
48		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
49	48, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
50		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
51	6, 50	grpinvcl 18798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑋)
52	49, 23, 51	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑋)
53		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ 𝑌)
54	6, 50	gacan 19085	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌)) → ((𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
55	48, 23, 53, 53, 54	syl13anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝑥 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
56	39, 55	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (((invg‘𝐺)‘𝑥) ⊕ 𝐴) = 𝐴)
57		oveq1 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑢 ⊕ 𝐴) = (((invg‘𝐺)‘𝑥) ⊕ 𝐴))
58	57	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
59	58, 1	elrab2 3648	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
60	52, 56, 59	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻)
61	47, 60	jca 512	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))
62	61	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))
63	6, 31, 50	issubg2 18943	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐻 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐻 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 (∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))))
64	5, 63	syl 17	. 2 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐻 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐻 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 (∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))))
65	3, 15, 62, 64	mpbir3and 1342	1 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {crab 3407   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  0_gc0g 17321  Grpcgrp 18748  inv_gcminusg 18749  SubGrpcsubg 18922   GrpAct cga 19069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-ga 19070

This theorem is referenced by:  gastacos  19090  orbstafun  19091  orbstaval  19092  orbsta  19093  orbsta2  19094  sylow1lem5  19384