MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gastacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gastacl 19267
Description: The stabilizer subgroup in a group action. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
Assertion
Ref Expression
gastacl (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑢,   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gasta.2 . . . 4 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
21ssrab3 4080 . . 3 𝐻𝑋
32a1i 11 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻𝑋)
4 gagrp 19250 . . . . . 6 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
54adantr 479 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
6 gasta.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
7 eqid 2728 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
86, 7grpidcl 18929 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
95, 8syl 17 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
107gagrpid 19252 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((0g𝐺) 𝐴) = 𝐴)
11 oveq1 7433 . . . . . 6 (𝑢 = (0g𝐺) → (𝑢 𝐴) = ((0g𝐺) 𝐴))
1211eqeq1d 2730 . . . . 5 (𝑢 = (0g𝐺) → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ ((0g𝐺) 𝐴) = 𝐴))
1312, 1elrab2 3687 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝑋 ∧ ((0g𝐺) 𝐴) = 𝐴))
149, 10, 13sylanbrc 581 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
1514ne0d 4339 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ≠ ∅)
16 simpll 765 . . . . . . . . 9 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
1716, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
18 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → 𝑥𝐻)
19 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 𝐴) = (𝑥 𝐴))
2019eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝑥 𝐴) = 𝐴))
2120, 1elrab2 3687 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐻 ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥 𝐴) = 𝐴))
2218, 21sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → (𝑥𝑋 ∧ (𝑥 𝐴) = 𝐴))
2322simpld 493 . . . . . . . . 9 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → 𝑥𝑋)
2423adantrr 715 . . . . . . . 8 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → 𝑥𝑋)
25 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → 𝑦𝐻)
26 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑦 → (𝑢 𝐴) = (𝑦 𝐴))
2726eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝑦 𝐴) = 𝐴))
2827, 1elrab2 3687 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐻 ↔ (𝑦𝑋 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝐴))
2925, 28sylib 217 . . . . . . . . 9 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑦𝑋 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝐴))
3029simpld 493 . . . . . . . 8 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → 𝑦𝑋)
31 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
326, 31grpcl 18905 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
3317, 24, 30, 32syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
34 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → 𝐴𝑌)
356, 31gaass 19255 . . . . . . . . 9 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝐴𝑌)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) 𝐴) = (𝑥 (𝑦 𝐴)))
3616, 24, 30, 34, 35syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) 𝐴) = (𝑥 (𝑦 𝐴)))
3729simprd 494 . . . . . . . . 9 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑦 𝐴) = 𝐴)
3837oveq2d 7442 . . . . . . . 8 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 (𝑦 𝐴)) = (𝑥 𝐴))
3922simprd 494 . . . . . . . . 9 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → (𝑥 𝐴) = 𝐴)
4039adantrr 715 . . . . . . . 8 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 𝐴) = 𝐴)
4136, 38, 403eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) 𝐴) = 𝐴)
42 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → (𝑢 𝐴) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦) 𝐴))
4342eqeq1d 2730 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) 𝐴) = 𝐴))
4443, 1elrab2 3687 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) 𝐴) = 𝐴))
4533, 41, 44sylanbrc 581 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻)
4645anassrs 466 . . . . 5 (((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻)
4746ralrimiva 3143 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → ∀𝑦𝐻 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻)
48 simpll 765 . . . . . . 7 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
4948, 4syl 17 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
50 eqid 2728 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
516, 50grpinvcl 18951 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑋)
5249, 23, 51syl2anc 582 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑋)
53 simplr 767 . . . . . . 7 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → 𝐴𝑌)
546, 50gacan 19263 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑥𝑋𝐴𝑌𝐴𝑌)) → ((𝑥 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥) 𝐴) = 𝐴))
5548, 23, 53, 53, 54syl13anc 1369 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑥 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥) 𝐴) = 𝐴))
5639, 55mpbid 231 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → (((invg𝐺)‘𝑥) 𝐴) = 𝐴)
57 oveq1 7433 . . . . . . 7 (𝑢 = ((invg𝐺)‘𝑥) → (𝑢 𝐴) = (((invg𝐺)‘𝑥) 𝐴))
5857eqeq1d 2730 . . . . . 6 (𝑢 = ((invg𝐺)‘𝑥) → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥) 𝐴) = 𝐴))
5958, 1elrab2 3687 . . . . 5 (((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥) 𝐴) = 𝐴))
6052, 56, 59sylanbrc 581 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻)
6147, 60jca 510 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐻) → (∀𝑦𝐻 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))
6261ralrimiva 3143 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑥𝐻 (∀𝑦𝐻 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))
636, 31, 50issubg2 19103 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐻𝑋𝐻 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐻 (∀𝑦𝐻 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))))
645, 63syl 17 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐻𝑋𝐻 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐻 (∀𝑦𝐻 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻))))
653, 15, 62, 64mpbir3and 1339 1 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  {crab 3430  wss 3949  c0 4326  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898  SubGrpcsubg 19082   GrpAct cga 19247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-ga 19248
This theorem is referenced by:  gastacos  19268  orbstafun  19269  orbstaval  19270  orbsta  19271  orbsta2  19272  sylow1lem5  19564
  Copyright terms: Public domain W3C validator