Theorem ormklocald 47447

Description: If elements of a certain sequence are ordered with respect to a certain relation, then its consecutive elements satisfy that relation (so-called "local monotonicity"). (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ormklocald.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑆)
ormklocald.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1))(𝐵‘𝑘) ∈ 𝑆)
ormklocald.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))

Assertion

Ref	Expression
ormklocald	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑅   𝑡,𝑇   𝜑,𝑘,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑡,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem ormklocald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
2	1	isseti 3472	. . . 4 ⊢ ∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1)
3		elfzoelz 13664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
4	3	zred 12677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℝ)
5	4	ltp1d 12122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
6		breq2 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 ↔ 𝑘 < (𝑘 + 1)))
7	5, 6	syl5ibrcom 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
8	7	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
9		1z 12601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		fzoaddel 13723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
11	9, 10	mpan2 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
12		0p1e1 12338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	oveq1i 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)) = (1..^(𝑇 + 1))
14	11, 13	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1)))
15		eleq1 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
16	14, 15	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
17	16	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
18		ormklocald.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
19	18	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → ∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
20	19	r19.21bi 3254	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
21	20	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡))))
22	17, 21	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡))))
23	8, 22	mpdd 43	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
24		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑡) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
25	24	breq2d 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡) ↔ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
26	23, 25	mpbidi 243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
27	26	eximdv 1937	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
28	2, 27	mpi 20	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
29		ax5e 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑡(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
30	28, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
31	30	ralrimiva 3154	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076   class class class wbr 5100   Or wor 5554  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   < clt 11216  ℤcz 12568  ..^cfzo 13659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660

This theorem is referenced by: (None)