Theorem ormklocald 46862

Description: If elements of a certain sequence are ordered with respect to a certain relation, then its consecutive elements satisfy that relation (so-called "local monotonicity"). (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ormklocald.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑆)
ormklocald.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1))(𝐵‘𝑘) ∈ 𝑆)
ormklocald.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))

Assertion

Ref	Expression
ormklocald	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑅   𝑡,𝑇   𝜑,𝑘,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑡,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem ormklocald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7462	. . . . 5 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
2	1	isseti 3497	. . . 4 ⊢ ∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1)
3		elfzoelz 13695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
4	3	zred 12718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℝ)
5	4	ltp1d 12194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
6		breq2 5145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 ↔ 𝑘 < (𝑘 + 1)))
7	5, 6	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
9		1z 12643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		fzoaddel 13752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
11	9, 10	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
12		0p1e1 12384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	oveq1i 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)) = (1..^(𝑇 + 1))
14	11, 13	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1)))
15		eleq1 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
16	14, 15	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
18		ormklocald.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
19	18	r19.21bi 3250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → ∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
20	19	r19.21bi 3250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
21	20	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡))))
22	17, 21	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡))))
23	8, 22	mpdd 43	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
24		fveq2 6904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑡) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
25	24	breq2d 5153	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡) ↔ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
26	23, 25	mpbidi 241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
27	26	eximdv 1917	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
28	2, 27	mpi 20	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
29		ax5e 1912	. . 3 ⊢ (∃𝑡(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
30	28, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
31	30	ralrimiva 3145	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3060   class class class wbr 5141   Or wor 5589  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  0cc0 11151  1c1 11152   + caddc 11154   < clt 11291  ℤcz 12609  ..^cfzo 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-fz 13544  df-fzo 13691

This theorem is referenced by: (None)