Theorem ormklocald 46861

Description: If elements of a certain sequence are ordered with respect to a certain relation, then its consecutive elements satisfy that relation (so-called "local monotonicity"). (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ormklocald.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑆)
ormklocald.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1))(𝐵‘𝑘) ∈ 𝑆)
ormklocald.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))

Assertion

Ref	Expression
ormklocald	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑅   𝑡,𝑇   𝜑,𝑘,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑡,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem ormklocald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
2	1	isseti 3481	. . . 4 ⊢ ∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1)
3		elfzoelz 13681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
4	3	zred 12705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℝ)
5	4	ltp1d 12180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
6		breq2 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 ↔ 𝑘 < (𝑘 + 1)))
7	5, 6	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
9		1z 12630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		fzoaddel 13738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
11	9, 10	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
12		0p1e1 12370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)) = (1..^(𝑇 + 1))
14	11, 13	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1)))
15		eleq1 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
16	14, 15	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
18		ormklocald.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
19	18	r19.21bi 3237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → ∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
20	19	r19.21bi 3237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
21	20	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡))))
22	17, 21	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡))))
23	8, 22	mpdd 43	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
24		fveq2 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑡) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
25	24	breq2d 5135	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡) ↔ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
26	23, 25	mpbidi 241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
27	26	eximdv 1916	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
28	2, 27	mpi 20	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
29		ax5e 1911	. . 3 ⊢ (∃𝑡(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
30	28, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
31	30	ralrimiva 3133	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050   class class class wbr 5123   Or wor 5571  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  0cc0 11137  1c1 11138   + caddc 11140   < clt 11277  ℤcz 12596  ..^cfzo 13676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677

This theorem is referenced by: (None)