Theorem ormklocald 46845

Description: If elements of a certain sequence are ordered with respect to a certain relation, then its consecutive elements satisfy that relation (so-called "local monotonicity"). (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ormklocald.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑆)
ormklocald.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1))(𝐵‘𝑘) ∈ 𝑆)
ormklocald.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))

Assertion

Ref	Expression
ormklocald	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝑅   𝑡,𝑇   𝜑,𝑘,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑡,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem ormklocald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7402	. . . . 5 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
2	1	isseti 3462	. . . 4 ⊢ ∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1)
3		elfzoelz 13596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
4	3	zred 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℝ)
5	4	ltp1d 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
6		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 ↔ 𝑘 < (𝑘 + 1)))
7	5, 6	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑘 < 𝑡))
9		1z 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		fzoaddel 13654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
11	9, 10	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)))
12		0p1e1 12279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	oveq1i 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 + 1)..^(𝑇 + 1)) = (1..^(𝑇 + 1))
14	11, 13	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1)))
15		eleq1 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
16	14, 15	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))))
18		ormklocald.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
19	18	r19.21bi 3227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → ∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
20	19	r19.21bi 3227	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
21	20	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡))))
22	17, 21	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡))))
23	8, 22	mpdd 43	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
24		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑡) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
25	24	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡) ↔ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
26	23, 25	mpbidi 241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑡 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
27	26	eximdv 1917	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (∃𝑡 𝑡 = (𝑘 + 1) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
28	2, 27	mpi 20	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → ∃𝑡(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
29		ax5e 1912	. . 3 ⊢ (∃𝑡(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
30	28, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
31	30	ralrimiva 3125	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5102   Or wor 5538  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184  ℤcz 12505  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by: (None)