Theorem ormkglobd 47705

Description: If all adjacent elements of a certain sequence are ordered according to a relation which is a total order on S, then any element is so related to anything to right of it (so-called "global monotonicity"). Deduction form. (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ormkglobd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑆)
ormkglobd.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1))(𝐵‘𝑘) ∈ 𝑆)
ormkglobd.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
ormkglobd	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘,𝑡   𝜑,𝑘,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡)   𝑅(𝑡)   𝑆(𝑡)

Proof of Theorem ormkglobd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2a1 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 → 𝜑)))
2	1	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)))) → (𝑘 < 𝑡 → 𝜑))
3		2a1 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑘 < 𝑡 → 𝑘 ∈ (0..^𝑇))))
4	3	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 → 𝑘 ∈ (0..^𝑇)))
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)))) → (𝑘 < 𝑡 → 𝑘 ∈ (0..^𝑇)))
6	2, 5	jcad 522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)))) → (𝑘 < 𝑡 → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇))))
7		elfzoelz 13714	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → 𝑡 ∈ ℤ)
8	7	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → 𝑡 ∈ ℤ)
9	8	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 → 𝑡 ∈ ℤ))
10		elfzoelz 13714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11, 8	zltp1led 12673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑡))
13	12	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 → (𝑘 + 1) ≤ 𝑡))
14	8	zred 12725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
15		elfzoel2 13713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑇 ∈ ℤ)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → 𝑇 ∈ ℤ)
17	16	zred 12725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
18		1red 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
19	14, 17, 18	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
20		elfzop1le2 13728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)) → (𝑡 + 1) ≤ (𝑇 + 1))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑡 + 1) ≤ (𝑇 + 1))
22		leadd1 11706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑡 ≤ 𝑇 ↔ (𝑡 + 1) ≤ (𝑇 + 1)))
23	22	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑡 + 1) ≤ (𝑇 + 1) → 𝑡 ≤ 𝑇))
24	19, 21, 23	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → 𝑡 ≤ 𝑇)
25	24	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 → 𝑡 ≤ 𝑇))
26	9, 13, 25	3jcad 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 → (𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑇)))
27	26	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)))) → (𝑘 < 𝑡 → (𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑇)))
28	6, 27	jcad 522	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1)))) → (𝑘 < 𝑡 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑇))))
29	28	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑇)))))
30		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑘 + 1) → (𝐵‘𝑎) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
31	30	breq2d 5115	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑘 + 1) → ((𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑎) ↔ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
32		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐵‘𝑎) = (𝐵‘𝑏))
33	32	breq2d 5115	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑎) ↔ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)))
34		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵‘𝑎) = (𝐵‘(𝑏 + 1)))
35	34	breq2d 5115	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑎) ↔ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑏 + 1))))
36		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (𝐵‘𝑎) = (𝐵‘𝑡))
37	36	breq2d 5115	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ((𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑎) ↔ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))
38		ormkglobd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)(𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
39	38	r19.21bi 3254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1)))
40		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝜑)
41		ormkglobd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑆)
42	40, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑅 Or 𝑆)
43		elfzofz 13731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ (0...𝑇))
44		fzval3 13790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ ℤ → (0...𝑇) = (0..^(𝑇 + 1)))
45	15, 44	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (0...𝑇) = (0..^(𝑇 + 1)))
46	43, 45	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1)))
47		ormkglobd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1))(𝐵‘𝑘) ∈ 𝑆)
48	47	r19.21bi 3254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1))) → (𝐵‘𝑘) ∈ 𝑆)
49	46, 48	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝐵‘𝑘) ∈ 𝑆)
50	49	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝐵‘𝑘) ∈ 𝑆)
51		simp21 1225	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
52		0red 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 0 ∈ ℝ)
53		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑇))
54	53, 10	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑘 ∈ ℤ)
55	54	zred 12725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑘 ∈ ℝ)
56		1red 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 1 ∈ ℝ)
57	55, 56	readdcld 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
58	51	zred 12725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
59		elfzole1 13723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → 0 ≤ 𝑘)
60	53, 59	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 0 ≤ 𝑘)
61		0le1 11761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 0 ≤ 1)
63	55, 56, 60, 62	addge0d 11814	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
64		simp22 1226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑏)
65	52, 57, 58, 63, 64	letrd 11391	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 0 ≤ 𝑏)
66		elnn0z 12628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏))
67	51, 65, 66	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
68	53, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑇 ∈ ℤ)
69	68	peano2zd 12728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝑇 + 1) ∈ ℤ)
70	68	zred 12725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑇 ∈ ℝ)
71	70, 56	readdcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
72		simp23 1227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑏 < 𝑇)
73	70	ltp1d 12169	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑇 < (𝑇 + 1))
74	58, 70, 71, 72, 73	lttrd 11395	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑏 < (𝑇 + 1))
75		elfzo0z 13757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (0..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑏 < (𝑇 + 1)))
76	67, 69, 74, 75	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑏 ∈ (0..^(𝑇 + 1)))
77		eleq1w 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1)) ↔ 𝑏 ∈ (0..^(𝑇 + 1))))
78	77	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (0..^(𝑇 + 1)))))
79		fveq2 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑏))
80	79	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝐵‘𝑘) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵‘𝑏) ∈ 𝑆))
81	48, 80	imbitrid 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1))) → (𝐵‘𝑏) ∈ 𝑆))
82	78, 81	sylbird 263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (0..^(𝑇 + 1))) → (𝐵‘𝑏) ∈ 𝑆))
83		ax6ev 2002	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑘 𝑘 = 𝑏
84	82, 83	exlimiiv 1964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (0..^(𝑇 + 1))) → (𝐵‘𝑏) ∈ 𝑆)
85	40, 76, 84	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝐵‘𝑏) ∈ 𝑆)
86		1nn0 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
87	86	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 1 ∈ ℕ0)
88	67, 87	nn0addcld 12593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
89	58, 70, 56, 72	ltadd1dd 11849	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝑏 + 1) < (𝑇 + 1))
90		elfzo0z 13757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 + 1) ∈ (0..^(𝑇 + 1)) ↔ ((𝑏 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑏 + 1) < (𝑇 + 1)))
91	88, 69, 89, 90	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝑏 + 1) ∈ (0..^(𝑇 + 1)))
92		ovex 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 + 1) ∈ V
93		eleq1 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑏 + 1) → (𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1)) ↔ (𝑏 + 1) ∈ (0..^(𝑇 + 1))))
94	93	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑏 + 1) ∈ (0..^(𝑇 + 1)))))
95		fveq2 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑏 + 1) → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘(𝑏 + 1)))
96	95	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑏 + 1) → ((𝐵‘𝑘) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵‘(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
97	48, 96	imbitrid 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑇 + 1))) → (𝐵‘(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
98	94, 97	sylbird 263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 ∧ (𝑏 + 1) ∈ (0..^(𝑇 + 1))) → (𝐵‘(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
99	92, 98	vtocle 3518	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 + 1) ∈ (0..^(𝑇 + 1))) → (𝐵‘(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)
100	40, 91, 99	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝐵‘(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)
101		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏))
102		elfzo0z 13757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (0..^𝑇) ↔ (𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ ℤ ∧ 𝑏 < 𝑇))
103	67, 68, 72, 102	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → 𝑏 ∈ (0..^𝑇))
104		eleq1w 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝑏 ∈ (0..^𝑇) ↔ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)))
105	104	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑇)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇))))
106		fveq2 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝐵‘𝑏) = (𝐵‘𝑘))
107		fvoveq1 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → (𝐵‘(𝑏 + 1)) = (𝐵‘(𝑘 + 1)))
108	106, 107	breq12d 5116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → ((𝐵‘𝑏)𝑅(𝐵‘(𝑏 + 1)) ↔ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑘 + 1))))
109	39, 108	imbitrrid 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝐵‘𝑏)𝑅(𝐵‘(𝑏 + 1))))
110	105, 109	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑇)) → (𝐵‘𝑏)𝑅(𝐵‘(𝑏 + 1))))
111		ax6evr 2048	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑘 𝑏 = 𝑘
112	110, 111	exlimiiv 1964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (0..^𝑇)) → (𝐵‘𝑏)𝑅(𝐵‘(𝑏 + 1)))
113	40, 103, 112	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝐵‘𝑏)𝑅(𝐵‘(𝑏 + 1)))
114	42, 50, 85, 100, 101, 113	sotrd 5589	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑇) ∧ (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑏)) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘(𝑏 + 1)))
115	10	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → 𝑘 ∈ ℤ)
116	115	peano2zd 12728	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
117	15	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → 𝑇 ∈ ℤ)
118		elfzop1le2 13728	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑇) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑇)
119	118	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑇)
120	31, 33, 35, 37, 39, 114, 116, 117, 119	fzindd 12723	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑇)) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑇)) → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡))
121	29, 120	syl8 77	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (0..^𝑇) ∧ 𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))) → (𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡))))
122	121	ralrimivv 3203	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑇)∀𝑡 ∈ (1..^(𝑇 + 1))(𝑘 < 𝑡 → (𝐵‘𝑘)𝑅(𝐵‘𝑡)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   class class class wbr 5103   Or wor 5562  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ...cfz 13561  ..^cfzo 13709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710

This theorem is used by: (None)