Theorem et-sqrtnegnre 45589

Description: The square root of a negative number is not a real number. (Contributed by Ender Ting, 5-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
et-sqrtnegnre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem et-sqrtnegnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0red 11217	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4	2, 3	ltnled 11361	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
5	4	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝐴))
6	5	impcom 409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 0 ≤ 𝐴)
7	1, 6	jcnd 163	. . 3 ⊢ ((𝐴 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐴))
8	7	ancoms 460	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐴))
9		recn 11200	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	sqsqrtd 15386	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
11		sqge0 14101	. . 3 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → 0 ≤ ((√‘𝐴)↑2))
12		breq2 5153	. . . 4 ⊢ (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 → (0 ≤ ((√‘𝐴)↑2) ↔ 0 ≤ 𝐴))
13	12	biimpd 228	. . 3 ⊢ (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 → (0 ≤ ((√‘𝐴)↑2) → 0 ≤ 𝐴))
14	10, 11, 13	syl2imc 41	. 2 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐴))
15	8, 14	nsyl 140	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110   < clt 11248   ≤ cle 11249  2c2 12267  ↑cexp 14027  √csqrt 15180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183

This theorem is referenced by: (None)