Theorem et-sqrtnegnre 45462

Description: The square root of a negative number is not a real number. (Contributed by Ender Ting, 5-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
et-sqrtnegnre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem et-sqrtnegnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0red 11204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4	2, 3	ltnled 11348	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
5	4	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝐴))
6	5	impcom 409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 0 ≤ 𝐴)
7	1, 6	jcnd 163	. . 3 ⊢ ((𝐴 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐴))
8	7	ancoms 460	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐴))
9		recn 11187	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	sqsqrtd 15373	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
11		sqge0 14088	. . 3 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → 0 ≤ ((√‘𝐴)↑2))
12		breq2 5148	. . . 4 ⊢ (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 → (0 ≤ ((√‘𝐴)↑2) ↔ 0 ≤ 𝐴))
13	12	biimpd 228	. . 3 ⊢ (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 → (0 ≤ ((√‘𝐴)↑2) → 0 ≤ 𝐴))
14	10, 11, 13	syl2imc 41	. 2 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐴))
15	8, 14	nsyl 140	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5144  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  ℝcr 11096  0cc0 11097   < clt 11235   ≤ cle 11236  2c2 12254  ↑cexp 14014  √csqrt 15167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9424  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-seq 13954  df-exp 14015  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170

This theorem is referenced by: (None)