MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprzcl 12583
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem suprzcl
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 12506 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
2 sstr 3952 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
31, 2mpan2 689 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
4 suprcl 12115 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
53, 4syl3an1 1163 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
65ltm1d 12087 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ))
7 peano2rem 11468 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
84, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
9 suprlub 12119 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
108, 9mpdan 685 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
113, 10syl3an1 1163 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
126, 11mpbid 231 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
13 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
1413sselda 3944 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
151, 14sselid 3942 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
165adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧𝐴)
1913, 18sseldd 3945 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
20 zre 12503 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
22 peano2re 11328 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
25 suprub 12116 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
263, 25syl3anl1 1412 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2726adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
28 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
29 1red 11156 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 1 ∈ ℝ)
3016, 29, 21ltsubaddd 11751 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1)))
3128, 30mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
3231adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
3315, 17, 24, 27, 32lelttrd 11313 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 < (𝑧 + 1))
3419adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
35 zleltp1 12554 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤𝑧𝑤 < (𝑧 + 1)))
3614, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤𝑧𝑤 < (𝑧 + 1)))
3733, 36mpbird 256 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤𝑧)
3837ralrimiva 3143 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ∀𝑤𝐴 𝑤𝑧)
39 suprleub 12121 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤𝐴 𝑤𝑧))
403, 39syl3anl1 1412 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤𝐴 𝑤𝑧))
4121, 40syldan 591 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤𝐴 𝑤𝑧))
4238, 41mpbird 256 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
43 suprub 12116 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
443, 43syl3anl1 1412 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
4544adantrr 715 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
4616, 21letri3d 11297 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧 ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
4742, 45, 46mpbir2and 711 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧)
4847, 18eqeltrd 2838 . 2 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
4912, 48rexlimddv 3158 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cz 12499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500
This theorem is referenced by:  suprfinzcl  12617  rpnnen1lem2  12902  rpnnen1lem1  12903  pgpssslw  19396  plyeq0lem  25571  fourierdlem20  44358  fourierdlem64  44401
  Copyright terms: Public domain W3C validator