Theorem suprzcl 12600

Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
suprzcl	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem suprzcl

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12522	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		sstr 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3	1, 2	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
4		suprcl 12107	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl3an1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	5	ltm1d 12079	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ))
7		peano2rem 11452	. . . . . 6 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
9		suprlub 12111	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
10	8, 9	mpdan 688	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
11	3, 10	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
12	6, 11	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
13		simpl1 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
14	13	sselda 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
15	1, 14	sselid 3920	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
16	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
19	13, 18	sseldd 3923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
20		zre 12519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
22		peano2re 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
25		suprub 12108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
26	3, 25	syl3anl1 1415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
27	26	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
28		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
29		1red 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 1 ∈ ℝ)
30	16, 29, 21	ltsubaddd 11737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1)))
31	28, 30	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
33	15, 17, 24, 27, 32	lelttrd 11295	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 < (𝑧 + 1))
34	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
35		zleltp1 12569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤 < (𝑧 + 1)))
36	14, 34, 35	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤 < (𝑧 + 1)))
37	33, 36	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ 𝑧)
38	37	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧)
39		suprleub 12113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧))
40	3, 39	syl3anl1 1415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧))
41	21, 40	syldan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧))
42	38, 41	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
43		suprub 12108	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
44	3, 43	syl3anl1 1415	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
45	44	adantrr 718	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
46	16, 21	letri3d 11279	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧 ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
47	42, 45, 46	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧)
48	47, 18	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
49	12, 48	rexlimddv 3145	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  supcsup 9346  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℤcz 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516

This theorem is referenced by:  suprfinzcl  12634  rpnnen1lem2  12918  rpnnen1lem1  12919  pgpssslw  19580  plyeq0lem  26185  fourierdlem20  46573  fourierdlem64  46616