Theorem suprzcl 12050

Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
suprzcl	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem suprzcl

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 11976	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		sstr 3923	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3	1, 2	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
4		suprcl 11588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl3an1 1160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	5	ltm1d 11561	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ))
7		peano2rem 10942	. . . . . 6 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
9		suprlub 11592	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
10	8, 9	mpdan 686	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
11	3, 10	syl3an1 1160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
12	6, 11	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
13		simpl1 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
14	13	sselda 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
15	1, 14	sseldi 3913	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
16	5	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
17	16	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
19	13, 18	sseldd 3916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
20		zre 11973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
22		peano2re 10802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
24	23	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
25		suprub 11589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
26	3, 25	syl3anl1 1409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
27	26	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
28		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
29		1red 10631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 1 ∈ ℝ)
30	16, 29, 21	ltsubaddd 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1)))
31	28, 30	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
32	31	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
33	15, 17, 24, 27, 32	lelttrd 10787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 < (𝑧 + 1))
34	19	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
35		zleltp1 12021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤 < (𝑧 + 1)))
36	14, 34, 35	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤 < (𝑧 + 1)))
37	33, 36	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ 𝑧)
38	37	ralrimiva 3149	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧)
39		suprleub 11594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧))
40	3, 39	syl3anl1 1409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧))
41	21, 40	syldan 594	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧))
42	38, 41	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
43		suprub 11589	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
44	3, 43	syl3anl1 1409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
45	44	adantrr 716	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
46	16, 21	letri3d 10771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧 ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
47	42, 45, 46	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧)
48	47, 18	eqeltrd 2890	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
49	12, 48	rexlimddv 3250	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  supcsup 8888  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℤcz 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970

This theorem is referenced by:  suprfinzcl  12085  rpnnen1lem2  12364  rpnnen1lem1  12365  pgpssslw  18731  plyeq0lem  24807  fourierdlem20  42769  fourierdlem64  42812