Theorem suprzcl 12400

Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
suprzcl	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem suprzcl

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 12326	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		sstr 3934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3	1, 2	mpan2 688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
4		suprcl 11935	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	5	ltm1d 11907	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ))
7		peano2rem 11288	. . . . . 6 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
9		suprlub 11939	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
10	8, 9	mpdan 684	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
11	3, 10	syl3an1 1162	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
12	6, 11	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
13		simpl1 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
14	13	sselda 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
15	1, 14	sselid 3924	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
16	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18		simprl 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
19	13, 18	sseldd 3927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
20		zre 12323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
22		peano2re 11148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
25		suprub 11936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
26	3, 25	syl3anl1 1411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
27	26	adantlr 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
28		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
29		1red 10977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 1 ∈ ℝ)
30	16, 29, 21	ltsubaddd 11571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1)))
31	28, 30	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
33	15, 17, 24, 27, 32	lelttrd 11133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 < (𝑧 + 1))
34	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
35		zleltp1 12371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤 < (𝑧 + 1)))
36	14, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤 < (𝑧 + 1)))
37	33, 36	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ 𝑧)
38	37	ralrimiva 3110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧)
39		suprleub 11941	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧))
40	3, 39	syl3anl1 1411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧))
41	21, 40	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑧))
42	38, 41	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
43		suprub 11936	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
44	3, 43	syl3anl1 1411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
45	44	adantrr 714	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
46	16, 21	letri3d 11117	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧 ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
47	42, 45, 46	mpbir2and 710	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧)
48	47, 18	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
49	12, 48	rexlimddv 3222	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∀wral 3066  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  supcsup 9177  ℝcr 10871  1c1 10873   + caddc 10875   < clt 11010   ≤ cle 11011   − cmin 11205  ℤcz 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320

This theorem is referenced by:  suprfinzcl  12435  rpnnen1lem2  12716  rpnnen1lem1  12717  pgpssslw  19217  plyeq0lem  25369  fourierdlem20  43639  fourierdlem64  43682