MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprzcl 11704
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem suprzcl
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 11631 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
2 sstr 3769 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
31, 2mpan2 682 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝐴 ⊆ ℝ)
4 suprcl 11237 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
53, 4syl3an1 1202 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
65ltm1d 11210 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ))
7 peano2rem 10602 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
84, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ)
9 suprlub 11241 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) ∈ ℝ) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
108, 9mpdan 678 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
113, 10syl3an1 1202 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧))
126, 11mpbid 223 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
13 simpl1 1242 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
1413sselda 3761 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
151, 14sseldi 3759 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
165adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1716adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18 simprl 787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧𝐴)
1913, 18sseldd 3762 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℤ)
20 zre 11628 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
22 peano2re 10463 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
2423adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
25 suprub 11238 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
263, 25syl3anl1 1533 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2726adantlr 706 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
28 simprr 789 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)
29 1red 10294 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 1 ∈ ℝ)
3016, 29, 21ltsubaddd 10877 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1)))
3128, 30mpbid 223 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
3231adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) < (𝑧 + 1))
3315, 17, 24, 27, 32lelttrd 10449 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 < (𝑧 + 1))
3419adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑧 ∈ ℤ)
35 zleltp1 11675 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑤𝑧𝑤 < (𝑧 + 1)))
3614, 34, 35syl2anc 579 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤𝑧𝑤 < (𝑧 + 1)))
3733, 36mpbird 248 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤𝑧)
3837ralrimiva 3113 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → ∀𝑤𝐴 𝑤𝑧)
39 suprleub 11243 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤𝐴 𝑤𝑧))
403, 39syl3anl1 1533 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤𝐴 𝑤𝑧))
4121, 40syldan 585 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤𝐴 𝑤𝑧))
4238, 41mpbird 248 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
43 suprub 11238 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
443, 43syl3anl1 1533 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
4544adantrr 708 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → 𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
4616, 21letri3d 10433 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧 ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑧𝑧 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
4742, 45, 46mpbir2and 704 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑧)
4847, 18eqeltrd 2844 . 2 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 1) < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
4912, 48rexlimddv 3182 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  supcsup 8553  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cz 11624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625
This theorem is referenced by:  suprfinzcl  11739  rpnnen1lem2  12015  rpnnen1lem1  12016  pgpssslw  18293  plyeq0lem  24257  fourierdlem20  40981  fourierdlem64  41024
  Copyright terms: Public domain W3C validator