Theorem prprreueq 48301

Description: There is a unique proper unordered pair over a given set 𝑉 fulfilling a wff iff there is a unique subset of 𝑉 of size two fulfilling this wff. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
prprreueq	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑉)𝜑 ↔ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 𝑉((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   𝑊,𝑝

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑝)

Proof of Theorem prprreueq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprelb 48297	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2)))
2	1	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2) ∧ 𝜑)))
3		anass 474	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 2) ∧ 𝜑) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑)))
4	2, 3	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ∧ 𝜑) ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑))))
5	4	eubidv 2617	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃!𝑝(𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ∧ 𝜑) ↔ ∃!𝑝(𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑))))
6		df-reu 3373	. 2 ⊢ (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑉)𝜑 ↔ ∃!𝑝(𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑉) ∧ 𝜑))
7		df-reu 3373	. 2 ⊢ (∃!𝑝 ∈ 𝒫 𝑉((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑) ↔ ∃!𝑝(𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑)))
8	5, 6, 7	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑉)𝜑 ↔ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 𝑉((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃!weu 2599  ∃!wreu 3370  𝒫 cpw 4565  ‘cfv 6540  2c2 12305  ♯chash 14377  Pairs_propercprpr 48293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-fz 13546  df-hash 14378  df-prpr 48294

This theorem is used by:  inlinecirc02preu  49600