Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prprsprreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prprsprreu 44204
 Description: There is a unique proper unordered pair over a given set 𝑉 fulfilling a wff iff there is a unique unordered pair over 𝑉 of size two fulfilling this wff. (Contributed by AV, 30-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
prprsprreu (𝑉𝑊 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper𝑉)𝜑 ↔ ∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑝)

Proof of Theorem prprsprreu
StepHypRef Expression
1 prprspr2 44203 . . . . . . 7 (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2}
21rabeq2i 3436 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2))
32a1i 11 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (𝑝 ∈ (Pairsproper𝑉) ↔ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)))
43anbi1d 632 . . . 4 (𝑉𝑊 → ((𝑝 ∈ (Pairsproper𝑉) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2) ∧ 𝜑)))
5 anass 472 . . . 4 (((𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2) ∧ 𝜑) ↔ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ ((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑)))
64, 5syl6bb 290 . . 3 (𝑉𝑊 → ((𝑝 ∈ (Pairsproper𝑉) ∧ 𝜑) ↔ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ ((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑))))
76eubidv 2647 . 2 (𝑉𝑊 → (∃!𝑝(𝑝 ∈ (Pairsproper𝑉) ∧ 𝜑) ↔ ∃!𝑝(𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ ((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑))))
8 df-reu 3113 . 2 (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper𝑉)𝜑 ↔ ∃!𝑝(𝑝 ∈ (Pairsproper𝑉) ∧ 𝜑))
9 df-reu 3113 . 2 (∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑) ↔ ∃!𝑝(𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ ((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑)))
107, 8, 93bitr4g 317 1 (𝑉𝑊 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper𝑉)𝜑 ↔ ∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜑)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2628  ∃!wreu 3108  ‘cfv 6332  2c2 11698  ♯chash 13706  Pairscspr 44162  Pairspropercprpr 44197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-hash 13707  df-spr 44163  df-prpr 44198 This theorem is referenced by:  reuprpr  44208
 Copyright terms: Public domain W3C validator