Theorem inlinecirc02preu 48894

Description: Intersection of a line with a circle: A line passing through a point within a circle around the origin intersects the circle at exactly two different points, expressed with restricted uniqueness (and without the definition of proper pairs). (Contributed by AV, 16-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
inlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
inlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
inlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
inlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
inlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
inlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
inlinecirc02preu	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 𝑃((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝑝 = (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   0 ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝐸(𝑝)   𝐼(𝑝)

Proof of Theorem inlinecirc02preu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inlinecirc02p.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		inlinecirc02p.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3		inlinecirc02p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4		inlinecirc02p.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
5		inlinecirc02p.0	. . . 4 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
6		inlinecirc02p.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
7		inlinecirc02p.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	inlinecirc02p 48893	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairsproper‘𝑃))
9		reueq 3691	. . 3 ⊢ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ∈ (Pairsproper‘𝑃) ↔ ∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑃)𝑝 = (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
10	8, 9	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑃)𝑝 = (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)))
11	3	ovexi 7386	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
12		prprreueq 47625	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ V → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑃)𝑝 = (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 𝑃((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝑝 = (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)))))
13	11, 12	mp1i 13	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑃)𝑝 = (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ ∃!𝑝 ∈ 𝒫 𝑃((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝑝 = (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)))))
14	10, 13	mpbid 232	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ∃!𝑝 ∈ 𝒫 𝑃((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝑝 = (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃!wreu 3344  Vcvv 3436   ∩ cin 3896  𝒫 cpw 4549  {csn 4575  {cpr 4577   class class class wbr 5093   × cxp 5617  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  ℝcr 11011  0cc0 11012  1c1 11013   < clt 11152  2c2 12186  ℝ⁺crp 12896  ♯chash 14243  distcds 17176  ℝ^crrx 25316  Pairs_propercprpr 47617  Line_Mcline 48833  Spherecsph 48834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091  ax-mulf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ico 13257  df-icc 13258  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-clim 15401  df-sum 15600  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-prds 17357  df-pws 17359  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20261  df-dvdsr 20281  df-unit 20282  df-invr 20312  df-dvr 20325  df-rhm 20396  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-drng 20652  df-field 20653  df-staf 20760  df-srng 20761  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-xmet 21290  df-met 21291  df-cnfld 21298  df-refld 21548  df-dsmm 21675  df-frlm 21690  df-nm 24503  df-tng 24505  df-tcph 25102  df-rrx 25318  df-ehl 25319  df-prpr 47618  df-line 48835  df-sph 48836

This theorem is referenced by: (None)