Theorem psr1bas2 22221

Description: The base set of the ring of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psr1val.1	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
psr1bas2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psr1bas2.o	⊢ 𝑂 = (1o mPwSer 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
psr1bas2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem psr1bas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psr1bas2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		psr1bas2.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (1o mPwSer 𝑅)
3		psr1val.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
4	3	psr1val 22217	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)‘∅)
5		0ss 4344	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (1o × 1o)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ⊆ (1o × 1o))
7	2, 4, 6	opsrbas 22072	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑆))
8	7	mptru 1557	. 2 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑆)
9	1, 8	eqtr4i 2778	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1550  ⊤wtru 1551   ⊆ wss 3895  ∅c0 4276   × cxp 5634  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  1_oc1o 8414  Basecbs 17217   mPwSer cmps 21925  PwSer₁cps1 22206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ple 17278  df-psr 21930  df-opsr 21934  df-psr1 22211

This theorem is referenced by:  psr1bas  22222  ply1bas  22226  psr1bascl  22231  ressply1bas2  22258  coe1mul2  22301  rhmpsr1  43104