Theorem ressply1bas2 22133

Description: The base set of a restricted polynomial algebra consists of power series in the subring which are also polynomials (in the parent ring). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1bas2.w	⊢ 𝑊 = (PwSer1‘𝐻)
ressply1bas2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
ressply1bas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressply1bas2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Proof of Theorem ressply1bas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. 2 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2727	. 2 ⊢ (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		ressply1bas2.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (PwSer1‘𝐻)
6		ressply1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	4, 5, 6	ply1bas 22101	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
8		1on 8492	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
10		ressply1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		eqid 2727	. 2 ⊢ (1o mPwSer 𝐻) = (1o mPwSer 𝐻)
12		ressply1bas2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
13	5, 12, 11	psr1bas2 22096	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘(1o mPwSer 𝐻))
14		ressply1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
15		eqid 2727	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
16		ressply1bas2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
17	14, 15, 16	ply1bas 22101	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
18	1, 2, 3, 7, 9, 10, 11, 13, 17	ressmplbas2 21952	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3943  Oncon0 6363  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1_oc1o 8473  Basecbs 17171   ↾_s cress 17200  SubRingcsubrg 20495   mPwSer cmps 21824   mPoly cmpl 21826  PwSer₁cps1 22081  Poly₁cpl1 22083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-psr 21829  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-ply1 22088

This theorem is referenced by:  ressply1bas  22134  ressdeg1  33177  ressply1invg  33180  ressply1evl  33183  evls1addd  33184  evls1subd  33185  evls1muld  33186  evls1vsca  33187  irngss  33297  evls1maprhm  33305  algextdeglem7  33327  algextdeglem8  33328